Loi des grands nombres et théorème de la limite centrale

L’assurance dommage du point de vue de l’offre :
L’assurance est entreprises privée, elle cherche donc le profit maximal (sauf
mutuelle)
Elle assure la contrepartie pour des risques que les particuliers ne peuvent
assurer seuls.
Pour ce faire, elle mobilise le principe de mutualisation des risques qui permet
de répartir le risque sur une large population.
Le risque pour l’assurance est toutefois de mal anticiper ces risques. Mais des
risques à l’actifs peuvent également apparaître.
L’assurance est donc menacée par un risque de ruine. C’est pour cette raison
qu’elle est contrôlée et qu’elle doit disposer d’importantes réserves afin de faire
face à des situations extrêmes.
La comptabilité des assurances ressemble dans ces grands principes à la comptabilité
des autres entreprises.
Mais à la place d’avoir un compte achat et vente de marchandises. Elle a un compte
sinistres et primes, auquel vient s’ajouter les revenus tirés des placements financiers.
Les engagements vis-à-vis des assurés sont appelés provisions techniques des
assurances.
Elles sont inscrites au passifs des assurances et représentent les montants que
l’assurance prévoit de distribuer aux assurés dans l’éventualité de réalisation des
sinistres couverts par le contrat d’assurance.
Elles sont composées de 2 parties, celles pour primes non-acquises et celle pour
paiement de sinistre. Les primes non acquises sont liées au décalage temporel avec
l’exercice comptable.
Le calcul des provisions techniques, éléments aléatoires, fait l’objet de développements
statistiques importants qui permettent aux assurances de mobiliser les niveaux avec
une marge d’erreur suffisantes pour éviter les risques de liquidité et de solvabilité.
Plus les immobilisations sont importantes et plus cela coûte à l’assurance.
Les assurances ne conservent pas toutes les primes d’assurances sous formes de
liquidité mais en place une grande partie sur les marchés financiers afin de produire
des revenus additionnels.
Le compte de résultat est établi en comptabilité analytique, ce qui pose un
problème pour les frais généraux.
L’estimation de la probabilité de ruine et l’établissement du niveau optimal de
réserves optimal.
Résultats net de la compagnie d’assurance :
R = (1+)*P-S
Avec  facteur de chargement, S est une variable aléatoires, R aussi.
Si le déficit de l’assurance dépasse K, elle est ruinée.
On cherche donc à minorer que R devienne inférieur à (– K)
Prob (R < - K) <  , avec  seuil de sécurité établi à l’avance
Définition de l’espérance mathématique de gain de l’assurance
E(R) = (1 + )*P – E(S) = (1+)*P – P = P
Sa variance est :
Var(R) = var (S) = ²
Grâce à l’inégalité de Bienaymé-Tchebytchev on peut écrire :
Prob (P - t  R   +t) >1 – 1/t²
Si on choisit t tel que
K= t - P
Puis
t
On a alors :
K  P


1
Prob R  P   2
t
Soit Prob [(- K > R) ou (R > 2 P – K)]

1
2
La ruine ou la non ruine sont exclusif l’un de l’autre
Prob [(- K  R)  Prob (R  2 ] 
Prob [(- K  R) ] 
1
2
1
2
Le coefficient de sécurité  permet de majorer le risque de ruine.
Le coefficient de sécurité  varie avec de K,  et P, et inversement avec .
Plus K est élevé et plus la probabilité de ruine est faible. K constitue donc un
instrument de gestion du risque de ruine. Il représente le niveau des réserves
techniques .
Il en va de même pour  et P. Le niveau des recettes contribuant à réduire le risque
de faillite.
A l’inverse si la variance des risque s’accroit cela a pour conséquence de réduire 
Loi des grands nombres et théorème de la limite centrale
Soit un ensemble de n variables aléatoires X1, X2, …, Xn, de même loi,
indépendantes 2 à 2, d’espérance mathématique m et de variance ².
Z  Xi / n moyennearithmétique de cesvariables
i
Z est une variable aléatoire dont l’espérance mathématique est donnée par:
 EX / n  m
i
Et la variance par :
2


var
X
/
n


i
2
n
Avec l’application de l’inégalité de Bienaymé-Tchebytchev :


2
Pr ob  X i / n  m    1  2
n
Plus n est grand est plus Z se rapproche de l’espérance mathématique m, c’est
l’illustration de la loi faible des grands nombres
De plus à partir de la variable centrée réduite :
Yn
X


i
 n.m
 n
Dont la moyenne vaut 0 et de variance =1.
Lorsque n tend vers l’infini, la distribution limite quelle que soit la loi des Xi est
celle d’une loi centrée réduite. C’est le théorème de la limite centrale.
On peut s’en servir en théorie de l’assurance lorsqu’on est face à un portefeuille
de n polices identiques et pour des sinistres indépendants deux à deux.
Si S est le montant total des sinistres assurés et P la prime versée (supposée égale
à la valeur actuarielle, c’est-à-dire égale à l’espérance du sinistre)
On peut écrire :
Yn

S  n.P 

 n
La suite des variables Yn converge en loi vers la variable Z qui suit une loi normale
La probabilité que le gain net R dépasse le montant – K est donné par la relation suivante :
K  nP 

Prob 1   nP  S   K   Prob Y 


n


Avec Y qui représente la limite de Yn
Par rapport au coefficient de sécurité β on a :
ProbZ      
Le passage à une variable centrée réduite permet de mieux comprendre le sens du
coefficient de sécurité.
La probabilité de ruine pour un niveau de réserve donné K est donnée par la valeur de
la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite pour le coefficient de
sécurité β=β(K)
β correspond donc à la valeur seuil à ne pas dépasser si on souhaite éviter la ruine.
Ainsi, on se donne au départ une probabilité de ruine a priori à partir de laquelle on
en déduit le coefficient de sécurité.
Ce dernier permet d’établir le montant de réserves K pour éviter la ruine dans le
contexte précédemment défini.
On rappelle la formule générale
t
K  P


Prob [(- K  R) ] 
1
2
On voit donc assez logiquement que la recherche d’un surplus de sécurité pèse lourdement
sur le montant des réserves techniques.
Ces immobilisation grève le résultat de l’assurance. Il peut donc y avoir des tensions dans le
fonction de l’assurance entre les assurés, l’assureur et les apporteurs de capitaux.
L’assuré souhaite un niveau de protection élevé à travers une couverture importante
L’assureur souhaite développé son activité en limitant le niveau des primes.
L’actionnaire souhaite avoir le meilleur rendement(limitation de la couverture,
augmentation des primes.
Les façon de réduire les frais de l’assurance est de réduire la volatilité des rendements en
réduisant la variance, ici l’ecart-type des sinistres et leur espérance.
Ceci peut être réalisé par une bonne discrimination des risques dans les limites du cadre
légal (risque adverse, choisir les bon risque).
En favorisant, la prévention et limitant les comportement à risque(aléas moral).
En accroissant le nombre des assurés (mutualisation).
Dans les conditions initial de l’exemple, il paraît peu raisonnable de lancer ce produit, car
la probabilité de ruine qui dépasse nettement 5 % est trop importante.
Le législateur interdirait surement ce type d’assurance.
Une façon d’accroître la diversification pour les assurances et plus surement pour les
banques a été développés la banque assurance.
De cet façon on peut réaliser des économies de commercialisation : structure personnel,
etc.
En en supposant une décorrélation des performances des activités bancaires et
d’assurances on réduit l’écart-type des risques des 2 activités. Les besoins en réserves
sans trouvent amoindris et les possibilités de développement sont accrus.
Globalement, les banques assurances avaient été plus performantes que les purs players
durant la premier moitié des années 2000.
Par la suite, les tensions sur les dettes souverains ont pesé sur leur performance
(assurance vie 90% de l’activité, décollecte, corrélation des risque)
En dehors de ces conditions particulières, la B-A doit être plus performante.
Asymétrie informationnelle en situation de monopole :
Introduction des notions
d’aléas moral et de sélection adverse
Il a était supposé jusqu’ici que les assureurs possédaient une information exhaustive sur les
assurés.
En réalité cette information est imparfaite, ce qui entraîne des coûts informationnels, soit
en terme de pertes liée à la mauvaise connaissance des assurés, soit en raison des coûts de
production de cette connaissance.
Généralement toute l’information susceptible d’altérer les termes du contrat d’assurance ne
sont pas à la disposition de l’assurance.
L’assureur peut à travers un questionnaire tenter d’établir le profile de risque a priori d’un
assurer en raison de son âge, son sexe
mais sans pouvoir extraire complètement de ces informations la connaissance du
comportement de l’agent en termes de précaution ou même de compétence.
Le risque lié à la sélection adverse est un risque ex ante
Pour l’assureur le risque est de recruter beaucoup de mauvais risques. C’est-à-dire des assurés
dont le risque de sinistralité est plus élevé que la moyenne.
L’aléa moral est un risque ex post,
L’assuré se sachant protégé adoptera un comportement plus risqué ou simplement fera moins
attention. Dans le pire des cas, des phénomènes de fraude à l’assurance peuvent apparaître.
Cette asymétrie d’information va porter préjudice aux profits de l’assurance, mais elle peut
tenter de réduire les coûts liés au manque d’information en définissant un menu de contrat
dans lequel les risques élevés seront incités à prendre le contrat qui est définit pour eux et
idem pour les risques faibles.
La sélection adverse
L’assurance fait face à une population hétérogène de souscripteurs.
Pour faciliter la présentation, on ne retient que 2 cas types, les bons et les mauvais
risques. Avec π1 probabilité de sinistralité des bas risques et π2 probabilité de sinistralité
des hauts risques, donc π1< π2.
On suppose que les 2 types d’agents possède la même fonction d’utilité :
Vi  iuW  P  S  I   1i uW  P avec i  1,2
Par la suite les indices 1 et 2 seront omis.
Rappel de la définition de la prime et du niveau d’indemnité :
P=gαS, g la prime par euro assuré et I =α S, α le taux de couverture de l’assurance
Le taux de couverture alpha va permettre à l’assureur de décliner un menu de contrat
visant les différentes catégories d’assuré.
De manière générale on doit vérifier les conditions de 1er et de 2nd ordre
dV
0
d
uW2  gS  S   1 uW1  gS   0
uW2  g 11uW1 g  0
La condition de premier ordre est indépendante du niveau de Sinistre quelque soit le
profile de risque on obtient :
uW2  1   g
1

*
uW1 

1 g
La condition de second ordre est toujours
satisfaite pour un agent risquophobe u’’<0.
Comme π1<π2, il vient :
1  1
1

1  2
2
Le taux de couverture optimal du risque sera plus élevé pour les
risques faibles que pour les risques élevés .
*
*
 2  1
Plus qu’ailleurs, en asymétrie d’information face à une population hétérogène,
l’assurance complète où g =π et impossible.
En effet si l’assurance propose un seul contrat g = π1 soit le
contrat optimal pour les risques faibles où l’assurance est
complète et où l’on se trouve au niveau de la prime actuarielle
π1*S= P1
Tous les assurés vont vouloir s’assurer y compris et surtout les
risques élevés.
Par conséquent, l’équilibre financier de l’assurance va être mis en
défaut puisque la prime est établie pour le niveau des risques
faibles.
1   1Selon le principe indemnitaire, on ne
 1 peut se trouver dans cette zone.
1  2
2
1  1
1

1  2
2
L’assurance ne peut conduire à un
enrichissement du fait de la survenu
d’un sinistre
Sur la bissectrice on se trouve en
assurance complète, avec la prime
actuarielle
Le point B correspond au contrat optimal pour les bas risques,
le point H pour les hauts risques
Si l’assurance propose comme seul contrat le point H, les bons
risques ne vont pas s’assurer car la prime sera trop élevée.
On passe en dessus de leur utilité de réservation.
Ici l’assurance est optimale, mais l’assurance n’attire qu’une partie
du marchés les clients risqués.
Une solution moyenne peut-être proposée. Établir un contrat à
partir du niveau de risque moyen.
Le point A correspond au contrat avec la prime moyenne. Ce contrat n’intéressera pas les
risques faibles et seuls les risques élevés vont être recrutés.
Ceci illustre le phénomène de sélection adverse, le contrant n’est
souscrit que par les mauvais risques. L’équilibre financier n’est donc
pas assuré puisque les risques vont apparaître avec une probabilité
supérieur à la moyenne.
Le menu C et D pourra être proposé. Les risques élevés vont se positionner sur C et les
risques faibles sur D.
L’assurance doit établir le menu optimal dont les caractéristiques sont les suivantes:
Les agents doivent choisir le contrat qui leur est destiné.
Pour cela il faut que le contrat soit doté de contraintes incitatives adéquates.
Il faut que chaque prospect souhaite souscrire un contrat d’assurance.
L’utilité produit par l’assurance doit placer l’agent au dessus de son utilité de
réservation.
Il faut définir des contrainte de participation.
Lorsque le menu de contrat respecte les deux critères précédant il reste à l’assurance
à établir le menu qui lui permet de maximiser son profit.
Les bas risques vont accepter de s’assurer sur la courbe d’indifférence OB. Au dessus, les hauts
risques viendraient également rompant la discrimination du contrat.
La sensibilité des obligations au taux d’intérêt : la duration
Lorsqu’une assurance place les cotisations des assurés, elle en place une majorité sous
forme d’obligations pour des raisons réglementaires.
Les obligations sont en principe moins risquées que les actions.
Les actions constituent un titre de propriété d’une proportion de l’entreprises qui l’a
émise. Elle donne lieu à des dividendes au titre de la rémunération du risque.
L’obligation est un titre de créance qui donne lieu à un taux d’intérêt, le coupon.
Sa durée est habituellement supérieure à 2 ans (billets de trésorerie)
Sa maturité peut aller jusqu’à 50 ans, il existe même des obligations perpétuelles.
Le prix des obligations peut varier sur le marché de l’occasion en fonction de l’offre et de
la demande. Ceci peut être à l’origine de variation importantes de la valeur des
obligatoins.
Ceci constitue donc un problème pour les assureurs.
Le problème de l’actualisation : La valeur d’un contrat d’assurance va dépendre de la variation
des taux d’intérêt :
V0 =  P / (1+ r_n)^n
La sensibilité de la valeur du taux d’intérêt est définie par :
(V0/V0)/r
Tout calcul d’actualisation dépend fortement des variations du taux d’intérêt.
Si une obligation est à taux fixe sur prix = 1/r
Si une obligation A est émise en 2014 avec un taux de 5 % avec une valeur de 100.
Si une obligation B est émise en 2015 avec un taux de 10 % avec une valeur de 100.
La valeur de l’obligation A devra diminue de 50% pour rétablir l’équilibre de marché.
Pour que l’obligation A puisse délivrer un rendement de 10 % alors qu’elle est à taux fixe, il est
nécessaire que ça valeur diminue de moitié.
La détention jusqu’au terme permettra à l’assurance de récupérer son capital, mais la valeur
actualiser de l’obligation aura sensiblement diminuer.
Mêle si en principe le risque est moindre sur le marché obligataire que sur le marché
action, il existe a travers les variations de taux. C’est le risque de taux.
Il concerne l’ensemble des éléments du bilan d’une assurance qui dépend d’un taux
d’intérêt.
Exercice
Soit 2 obligations A et B. Elles veulent toutes 2, 500 euros.
Taux du coupon 7 % avec un amortissement in fine. Les intérêts sont payés chaque
années et la capital est remboursé à la fin.
La première A à une maturité de 5 ans, B de 8 ans.
Calculer la valeur actualisée de l’obligation A
i : taux d’intérêt du marché
n : durée de vie de l’obligation
Coupons = taux * nominal
Les assureurs ont besoin d’évaluer ce risque en calculant la sensibilité a priori d’une
obligation.
Pour cela, il est nécessaire de calculer la durée de vie de l’obligation. Qui mobilise les
notions de maturité, la durée de vie moyenne et la duration.
La maturité, c’est l’écart entre la date présente et la date du dernier remboursement
du titre.
Au départ de notre exemple, la maturité de A et B, sont respectivement de 5 et 8 ans.
La maturité est peu informative.
La durée de vie moyenne un peu plus.
Mais ici on ne tient ni compte de l’actualisation, ni des intérêts versés.
La duration permet de remédier à ces problèmes.
DU =
t
1
2
3
4
5
6
7
8
Flux(F)
35,00
35,00
35,00
35,00
535,00
Obligation A
(F*t)/(1+i) (F)/(1+i)^
F*t
^t
t
35,00
32,71
32,71
70,00
61,14
30,57
105,00
85,71
28,57
140,00 106,81
26,70
2675,00 1907,24 381,45
total 2193,61 500,00
Du(A) = 2193,61/500 = 4,39
Du(B) = 3194,64/500 = 6,39
Flux(F)
35,00
35,00
35,00
35,00
35,00
35,00
35,00
535,00
Obligation B
(F*t)/(1+i (F)/(1+i)^
F*t
)^t
t
35,00
32,71
32,71
70,00
61,14
30,57
105,00
85,71
28,57
140,00 106,81
26,70
175,00 124,77
24,95
210,00 139,93
23,32
245,00 152,57
21,80
4280,00 2491,00 311,37
total 3194,64 500,00
Formule de la sensibilité a priori :
= -5,97
-4,10
Une hausse de 1 point de taux d’intérêt implique une réduction de 4,1 % de la
valeur de A, de 5,97 de B.
Le risque de taux est fonction de la durée de l’obligation
Exercice tarification assurance vie.
Une assurance propose un contrat d’assurance vie.
Le client est âgé de 63 ans. Il souhaiterais recevoir dans 12 ans un capital 100 000
euros si il est toujours en vie, sortie en capital.
Pour calculer le risque de survie l’assurance dispose de la table de mortalité suivante.
Une prime unique est versé en début de contrat. Elle sera placée au taux de 7 %.
100 personnes vont contracter ce contrat.
Quel sera le montant de la prime pure.
Probabilité de survie à 75 ans pour un homme de 63 ans = 12p63 = L75/L63 = 77
104/90 343 = 0,85346
Principe de la prime réciproque
P = A =  * K * (1+r)^(-12) = 0,85346 * 100000*(1+0,07)^(-12) = 37894,64 euros
Chaque assuré devra versé une prime d’entrée de 37894,64 euros.
L’assureur va pouvoir placer 100 * 37894,64 *(1+0,07)^12 = 8 534 598, 947
Les 100 000 ne seront versés qu’aux survivants après 12 ans.
88 personnes ont survécues
88 * 100 000 = 8 800 000
Le profit de l’assureur est donc négatif car, il y a eu une sous-estimation du
nombre de survivant. La table prévoyait 85 survivant et non 88. Il faut donc
débourser 300 000 euros supplémentaires.
8 534 598, 947 – 8 800 000 = 265 401, 053
L’erreur important provient du faible nombre de contrat.
Pour équilibrer son compte quel aurait du être le taux auquel il aurait du placer
l’argent ?
M = 3 789 464 *(1 +r)^12 = 8 800 000 = V
(1+r*) = (8 800 000/3 789 464)^(1/12) => r* = 1,0727 – 1 = 7,27 %