Notions de Mathématiques Actuarielles v0

Mathématiques Actuarielles :
Notions de base
Claire PELTIER
NEXIALOG
22 septembre 2011
Mathématiques Actuarielles : Notions de base
Claire PELTIER
A - Introduction
A - 1) Mutualisation des risques (Assurance par Répartition)
Dans ce mode de gestion des cotisations, l’assureur utilise au cours d’un même exercice la masse des primes
payées par l’ensemble des assurés, pour indemniser ceux d’entre eux qui seront sinistrés.
Ce mode de gestion est utilisé pour gérer les assurances dites « IARD » (Incendie, Accidents et Risques Divers).
Les assurances IARD regroupent les assurances de choses et de responsabilités (lesquelles constituent les
assurances de dommages) ainsi que les assurances individuelles accident et les assurances de santé (lesquelles
entrent dans la catégorie des assurances de personnes).
L’assureur IARD, gérant ses primes par répartition, paie ainsi les sinistres de l’année avec les primes de l’année.
Dans une branche d’activité donnée (incendie, vol, habitation…), le portefeuille de l’assureur est composé d’un
nombre important de contrats dont les résultats en cours d’exercice vont se compenser.
Soit en effet C une classe de N contrats supposés souscrits à la même date pour une même durée (exemple1 an)
On note
la variable aléatoire réelle des montants cumulés des sinistres du
è
contrat (k=1 à N). On
Mathématiques Actuarielles : Notions de base | 22/09/2011
suppose que ces risques sont indépendants et homogènes au sens où les variables aléatoires sont indépendantes et
1
identiquement distribuées, et qu’elles possèdent un moment d’ordre 2.
On pose :
=
à
: représente la somme maximale assurée pour le risque en question. Pourquoi ne pas demander à chaque
assuré cette somme
à chacun des assurés k ? Car l’équilibre entre l’assureur et l’assuré est toujours en faveur
de l’assureur. Les lois statistiques et probabilistes permettent de ne demander à l’assuré que la somme suivante :
=
é
=
En effet, notons S la variable aléatoire du cumule des pertes de l’assurance pour tous les contrats :
D’après la loi des grands nombres ̅ =
"
converge en probabilité vers m : ̅ .///////0
$%&'(' ) *é
→,-
=∑
C’est-à-dire : quel que soit le choix de 1 aussi petit soit il, lim
→-
67 7 8 9é | ̅ −
|>1 =0
Pour l’assureur, la probabilité de perdre 1 tend vers 0 quand N tend vers l’infini..
A - 2) Capitalisation des primes versées (Assurance par Capitalisation)
Dans ce mode de gestion des cotisations, l’assureur capitalise les primes souvent sur un long terme, selon la
technique des intérêts composés.
Les assurances gérées en capitalisation sont les assurances vie.
A la signature du contrat d’assurance, les engagements probabilisés et actualisés de l’assureur doivent être égaux
aux engagements actualisé et probabilisé de l’assuré.
=
é
>
Oùξ est la valeur actualisée et probabilisée des flux que l’assureur versera.
On note :
T(x) la durée de vie d’un individu d’âge x.
Quelle sera la prime pure à P versée par l’assuré d’âge x à la signature du contrat en échange d’un versement à
son décès d’un capital C déterminé à la signature du contrat ?
=@×
é
1 G
BC
F
1+
H
I
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Exemple :
2