Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Relations trigonométriques
dans le triangle rectangle
...
Introduction
Qu’appelle-t-on dans un triangle rectangle :
- l’hypoténuse ?
- le côté opposé à un angle ?
- le côté adjacent à un angle ?
...
L’hypoténuse
...
B
C
A
...
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
C’est toujours le côté le plus long.
B
BC est l’hypoténuse
C
A
...
Le côté opposé à un angle
...
B
C
A
...
Le côté opposé à l’angle C
est le côté de l’angle droit du triangle qui
n’est pas un côté de l’angle C.
B
AB est
le côté
opposé
C
A
...
Le côté adjacent à un angle
...
B
C
A
...
Le côté adjacent à l’angle C
est le côté de l’angle droit du triangle qui
est aussi un côté de l’angle C.
B
C
A
AC est le côté adjacent
...
I - Définitions :
Dans un triangle rectangle :
- l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est le côté le plus long.
- le côté opposé à l’angle  est le côté de l’angle droit du triangle qui n’est pas
un côté de l’angle .
- le côté adjacent à l’angle  est le côté de l’angle droit du triangle qui est aussi
un côté de l’angle .
hypoténuse
côté opposé

côté adjacent
...
Relations trigonométriques
Dans un triangle rectangle, qu’est-ce que :
- le sinus d’un angle ?
- le cosinus d’un angle ?
- la tangente d’un angle ?
...
Le sinus d’un angle
Fichier Géoplan
...
côté opposé
sin  
hypoténuse
AB
sin Ĉ 
BC
B
hypoténuse
côté opposé
C

A
...
Le cosinus d’un angle
Fichier Géoplan
...
côté adjacent
cos 
hypoténuse
AC
cosĈ 
BC
B
hypoténuse
C

A
côté adjacent
...
La tangente d’un angle
Fichier Géoplan
...
côté opposé
tan  
côté adjacent
AB
tan Ĉ 
AC
B
côté opposé
C

A
côté adjacent
...
II - Relations trigonométriques :
sin  
côté opposé
hypoténuse
cos 
côté adjacent
hypoténuse
sin Ĉ 
AB
BC
cosĈ 
AC
BC
tan  
côté opposé
côté adjacent
AB
tan Ĉ 
AC
B
hypoténuse
côté opposé
C

côté adjacent
A
...
Pour s’en souvenir :
Sinus = Opposé / Hypoténuse
SOH
Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
CAH
Tangente = Opposé / Adjacent
TOA
SOH CAH TOA
...
III - Quelques applications :
SOH CAH TOA
1) Exemple n°1 :
5 cm
N
30°
P
On connaît le côté NP
adjacent à l’angle P.
M
On connaît l’angle P.
On peut donc calculer :
- son sinus,
- son cosinus,
- sa tangente.
Dans le triangle MNP, on demande
de calculer la longueur du côté MN.
On veut calculer le côté MN
opposé à l ’angle P.
La formule à utiliser est donc :
Choix de la formule à utiliser
MN
tan P̂ 
NP
...
III - Quelques applications :
MN
tan P̂ 
NP
1) Exemple n°1 :
5 cm
N
30°
P
MN
tan 30 
5
5  tan 30  MN
M
MN  5  tan 30
Dans le triangle MNP, on demande
de calculer la longueur du côté MN.
MN  5  0,577
MN  2,89 cm
Calcul de la longueur MN
...
2) Exemple n°2 :
R
SOH CAH TOA
On connaît le côté ST
opposé à l’angle R.
40°
S
6 cm
T
Dans le triangle RST, on demande de
calculer la longueur du côté RT.
On connaît l’angle R.
On peut donc calculer :
- son sinus,
- son cosinus,
- sa tangente.
On veut calculer le côté RT
hypoténuse du triangle.
La formule à utiliser est donc :
Choix de la formule à utiliser
ST
sin R̂ 
RT
...
2) Exemple n°2 :
R
40°
S
6 cm
T
Dans le triangle RST, on demande de
calculer la longueur du côté RT.
Calcul de la longueur RT
ST
sin R̂ 
RT
6
sin 40 
RT
RT  sin 40  6
6
RT 
sin 40
6
RT 
0 ,643
RT  9,33 cm
...
3) Exemple n°3 :
I
SOH CAH TOA
11,3 cm
J
6,5 cm
K
Dans le triangle IJK, on demande de
calculer la mesure de l’angle J.
On connaît le côté JK
adjacent à l’angle J.
On connaît le côté IJ
hypoténuse du triangle.
On veut calculer l’angle J.
On doit donc calculer :
- son sinus,
- ou son cosinus,
- ou sa tangente.
La formule à utiliser est donc :
Choix de la formule à utiliser
JK
cos Ĵ 
IJ
...
3) Exemple n°3 :
I
11,3 cm
J
6,5 cm
K
Dans le triangle IJK, on demande de
calculer la mesure de l’angle J.
JK
cos Ĵ 
IJ
6 ,5
cos Ĵ 
11,3
cos Ĵ  0 ,575
Ĵ  54,9
Calcul de la mesure de l’angle J
...
EN RÉSUMÉ
Dans un triangle rectangle, on utilise les relations
trigonométriques :
- pour calculer la longueur d’un côté quand on
connaît la mesure d’un angle aigu et la longueur
d’un autre côté.
- pour calculer la mesure d’un angle aigu quand
on connaît la longueur de deux des côtés.
FIN