La méthode d`Euler (1707

y
La méthode d’Euler
(1707-1783)
Ou comment connaître (à peu près) le futur
avec
y
- des conditions initiales connues,
- Une équa diff du premier degré que l’on ne
sait pas résoudre
t
t
Les contenus (p.85 B.O.)
Chute verticale avec frottement (Placée avant
la chute libre)
Application 2ème loi de N. à un mouvement de
chute verticale : forces appliquées au solide
(poids, poussée d’Archimède, force de
frottement fluide)
Équa diff du mouvement ;
Les contenus
(Suite)
Résolution de l’équa diff par une méthode
numérique itérative
Régime initial et asymptotique (dit « permanent »)
Vitesse limite ; notion de temps caractéristique
Connaissances et savoir-faire
exigibles
- Appliquer la deuxième loi de Newton à un corps en
chute verticale dans un fluide et établir l’équation
différentielle du mouvement, la force de frottement étant
donnée.
- Connaître le principe de la méthode d’Euler pour
la résolution approchée d’une équa diff.
- Savoir exploiter des reproductions d’écrans d’ordinateur
(lors de l’utilisation d’un tableur-grapheur) correspondant
à des enregistrements expérimentaux
Connaissances et savoir-faire exigibles (suite)
- Savoir exploiter des courbes VG = f(t) pour :
-Reconnaître le régime initial et/ou le régime
asymptotique
-Évaluer le temps caractéristique
-Déterminer la vitesse limite
- Dans le cas de la résolution par la méthode itérative
de l’équa diff, discuter la pertinence des courbes
obtenues/ aux résultats expérimentaux
Principe mathématique de la
méthode
y
Y(t) = f (t, x(t))
t
dt
À un instant quelconque, on peut écrire :
y(t+dt) = y(t) + v(t).dt + O(t2)
Ordre en t2 négligé
De même, v(t+dt) = v(t) + a(t).dt + O(t2)
Ordre en t2 négligé
Cas de la chute libre avec frottement
Ecoulement à nombre de Reynolds supérieur à
1000 (turbulent)
Frottement f(t) = k.V2(t)
(avec k = ½.Cx .r.S. Balle de
Ping-pong ou balle de tennis)
2
d x
2
m 2  mg  kv
dt
Solutions :
gt
V  Vl tanh
Vl
2
Vl
gt
Y
ln cosh( )
g
Vl
Balle de tennis, boule de
pétanque :
Si on lâche à hauteur
d’homme, écart à l’arrivée
2 cm (!)
BUP 815
Méthode itérative
Date
Position
Vitesse
Accélération
ti
yi
vi
ai
ti+1
yi+1
vi+1
ai+1
mg
k = v2
lim(exp)
Donc
Yi+1 = Yi + Vi.dt
Vi+1 = Vi + Ai.dt
dV k 2
 V g
dt m
ai 1  g (1 
Vi 1
2
Vlim
2
)
Exploitation avec un
tableur type Excel
Altitude Vitesse Accélér V/Vli
ation
m
Pas
d’itération
Vlim(m/s)
Y
A2
V
B2
0,05 (ex)
5,8
0
Y1
A3
0
V1
B3 9,81 C3 0
a1
Y2 = A3
+ 0,05.B3
a
C2
D2
D3
Une seule ligne définie, toutes les autres
calculées par un simple « copier/coller »
Conditions initiales
Définitions des
cellules par des
« formules »
Rien à faire. Le
logiciel calcule
grâce à un
copier/coller
Y
0,00
0,00
0,02
0,07
0,15
0,24
0,36
0,49
0,63
V
0,00
0,49
0,98
1,45
1,90
2,29
2,63
2,89
3,09
V/Vlim
0,00
0,08
0,17
0,25
0,33
0,40
0,45
0,50
0,53
a
9,82
9,75
9,47
8,88
7,93
6,69
5,32
4,00
2,86