TP1: Statistique application chapitre 2 Question 1 Le tableau suivant reprend le taux d'intérêt (en %) payé par 20 banques sur les dépôts d'épargne de leurs clients : Banque Intérêt Banque Intérêt Banque Intérêt Banque Intérêt 1 4 6 8 11 5 16 7 2 6 7 4 12 9 17 5 3 7 8 5 13 6 18 8 4 4 9 7 14 5 19 5 5 10 10 5 15 4 20 6 (a) Etant donné cette distribution, calculez le mode, la médiane et la moyenne ; (b) Comparez et discutez ces trois paramètres de position centrale. avec fi fréquence absolue Question 1 Mode, médiane et moyenne: paramètres de centre Le mode est la valeur qui revient le plus fréquemment. La médiane est la valeur du milieu ou le 50ème percentile. Nombre d'observations impair => observation centrale Nombre d'observations pair => la somme des observations centrales, divisée par deux. Moyenne Moyenne X X1 X 2 ........... X N N Moyenne = 1/N ΣxiFi avec Attention type de variables Fi fréquence absolue Question 1 Sur base des observations, nous construisons un tableau de fréquences : Xi = Taux d'intérêt Fi = fréquences C(xi) = fréquences cumulées xi Fi 4 4 4 16 5 6 10 30 6 3 13 18 7 3 16 21 8 2 18 16 9 1 19 9 10 1 20 10 Total 20 / avec fi fréquence absolue 120 Question 1 (a) Le mode est la valeur qui revient le plus fréquemment : le mode est ici x0 = 5. Nombre d'observations pair, observations centrales = 10 et 11ème observations. Médiane = (5 + 6) / 2 = 5.5 Moyenne = 1/n ΣxiFi = 1/20 (120) = 6 (b) Nous observons dans le cas présent que le mode et la médiane sont différents de la moyenne avec x0 < médiane < moyenne. Nous en déduisons par conséquent que la distribution des taux d'intérêt parmi les 20 banques belges est asymétrique, ici étalée vers la droite. Question 2 La répartition du nombre de familles ayant un enfant étudiant à l'université, classée en fonction des dépenses annuelles, est donnée par le tableau suivant : Dépenses annuelles (en euros) Effectif 300 ≤ X < 400 5 400 ≤ X < 500 60 500 ≤ X < 600 15 600 ≤ X < 700 95 700 ≤ X < 800 30 800 ≤ X < 1000 5 (a) Calculez la médiane de la distribution ; (b) Calculez le troisième quartile et expliquez ce qu'il vous indique ; (c) De quel côté cette série estelle étalée ? Pourquoi ? (d) Calculez la variance de la distribution. Question 1 • Médiane (variable continue par interpolation linéaire): Déterminer la classe médiane et calculer • 3ème quartile (75%) Variance • 1 2 s F (X X ) i i n 1 2 σ2 = 1/N Σ Fi (Xi – Xmoy)² Question 2 Sur base des observations, nous construisons un tableau de fréquences : Xi centre Fi C(Fi) Fréquences relatives Fréq. relatives fi (%) c(fi) (%) xi * Fi Fi*(xi-moy)² cumulées [300, 400[ 350 5 5 2.38 2.38 1750 309531 [400, 500[ 450 60 65 28.57 30.95 27000 1328656 [500, 600[ 550 15 80 7.14 38.09 8250 35736 [600, 700[ 650 95 175 45.24 83.33 61750 248944 [700, 800[ 750 30 205 14.29 97.62 22500 685757 [800, 1000[ 900 5 210 2.38 100 4500 453579 210 100 125750 3062202 moyenne 598.81 écarttype 14582 120.8 Question 2 (a) Calculez la médiane de la distribution ; La classe médiane est la suivante : [600, 700[. La médiane a pour valeur exacte : xmé = Q2 = 600 + 100*((50 – 38.09) / 45.24) = 626,3 euros. (b) Calculez le troisième quartile et expliquez ce qu'il vous indique ; La classe du troisième quartile Q3 est la suivante : [600,700[. La valeur exacte du troisième quartile est calculée comme suit : Q3 = 600 + 100*((75 – 38.09) / 45.24) = 681,5 euros. Cela signifie que 75% des familles dépensent moins de 681,5 euros pour leur enfant étudiant à l'université et que 25% des familles dépensent plus que ce montant. Question 2 (c) De quel côté cette série est-elle étalée ? Pourquoi ? Pour savoir si la distribution est symétrique ou pas, il faut comparer la médiane avec la moyenne et le mode. Si les trois sont égaux, la distribution est symétrique, sinon elle est asymétrique (étalée à gauche ou à droite). médiane =626,3 euros. mode = centre de la classe modale (la plus souvent observée), soit 650 euros. moyenne = (5 * 350 + 60 * 450 + 15 * 550 + 95 * 650 + 30 * 750 + 5 * 900) / 210 = 598,8 euros. Comme la moyenne < médiane < mode, la distribution est étalée vers la gauche. (d) Calculez la variance de la distribution. σ2 = (3062202 /210) = 14582 (euros)² ou encore l'écart type (σ) est de 120,8 euros. Question 3 Considérons la série d'observations suivante : -2 10 -1 14 4 2 6 10 8 3 Calculez l'étendue et l'écart absolu moyen de cette distribution. - L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite observation. Etendue = 14 - (-2) = 16. - L'écart absolu moyen = EAM -2 7.4 10 4.6 -1 6.4 14 8.6 4 1.4 2 3.4 EAM = 4.2 (moyenne = 5.4) 6 0.6 f 10 4.6 i Xi X 8 2.6 3 2.4 42 TP1: Probabilité application chapitre 3 Question 4 On tire une carte au hasard dans un jeu ordinaire de 52 cartes. On considère les événements suivants : A = la carte choisie est le roi de coeur ; B = la carte choisie est une carte coeur ; C = la carte choisie est soit l'as de pique, soit une carte coeur ; D = la carte choisie est une carte pique ou une carte coeur. Calculez (a) la probabilité des événements A, B, C, D ; (b) la probabilité des intersections suivantes : A et B ; A et C ; A et D ; (c) la probabilité des réunions suivantes : A ou B ; A ou C ; A ou D ; (d) Calculons les probabilités conditionnelles P(A/B), P(A/C) et P(A/D) . Comptabiliser le nombre de résultats possibles (événement) Question 4 a) La probabilité de tirer : - le roi de coeur : uncarte sur 52 correspond à cet événement => P(A) = 1/52 - une carte cœur : un quart des cares correspond à l’événement => P(B) = 13/52 - soit l'as de pique, soit une carte cœur : 2 événements indépendants, soit 1carte, l’as de pique et 13 cartes de cœur => P(C) = 1/52 + 13/52 = 14/52 - une carte pique ou une carte cœur : 2 événements indépendants, à savoir 13 cartes pique et 13 cœur => P(D) = 13/52 + 13/52= 26/52 b) Calculons la probabilité des intersections : Définition des probabilités conditionnelles P(A B) = P(A) * P(B / A) = 1/52 * 1 = P(B) * P(A / B) = 13/52 * 1/13 = 1/52 P(A C)= P(C) * P(A / C) = 14/52 * 1/14 = 1/52 P(A D)= P(D) * P(A / D)= 26/52 * 1/26 = 1/52 Question 4 c) Calculons la probabilité des réunions : Evenements composés : P(A B)= P(A) + P(B) - P(A B) = 1/52 + 13/52 - 1/52 = 13/52 = P(B) P(A C)= P(A) +P(C) - P(A C) = 1/52 + 14/52 - 1/52 = 14/52 = P(C) P(A D)= P(A) + P(D) + P(A D) = 1/52 + 26/52 - 1/52= 26/52 = P(D) d) Calculons les probabilités conditionnelles : P(A/B) = 1/13 P(A/C) = 1/14 P(A/D) = 1/26 Question 5 Trois chasseurs se promènent dans la campagne. La probabilité qu'ils atteignent leur cible est de respectivement 0,5 ; 0,7 et 0,8. Un lièvre passe. Les trois chasseurs tirent. (a) Quelle est la probabilité que le lièvre soit touché au moins une fois ? (b) Quelle est la probabilité que le lièvre ne soit touché que par un des trois chasseurs ? A = le 1er chasseur le touche => p(A)=0.5 B = le 2ème chasseur le touche => p(B)=0.7 C = le 3ème chasseur le touche => p(C)=0.8 Question 5 (a) Quelle est la probabilité que le lièvre soit touché au moins une fois ? On cherche P(X 1) P(X 1) = P(X 3) – P(X = 0) P(X 3) = 1 P(X = 0) ? les événements A, B et C sont indépendants. P(X = 0) = P( A B C )= P( A) * P( B) *¨(C ) 0,5 * 0,3 * 0,2 0,03 P(X 1) = P(X 3) – P(X = 0) = 1 – 0,03 = 0,97. (b) Quelle est la probabilité que le lièvre ne soit touché que par un des trois chasseurs ? P(X = 1)= P(A B C) P(A B C) P(A B C) 0,5 * 0,3 * 0,2 0,5 * 0,7 * 0,2 0,5 * 0,3 * 0,8 0,22 Question 6 Une boite contient 9 tickets numérotés de 1 à 9. Sachant que l'on tire un à un trois tickets, quelle est la probabilité pour que les numéros tirés soient alternativement (impair, pair, impair) ou (pair, impair, pair) ? Question 6 Une boite contient 9 tickets numérotés de 1 à 9. Sachant que l'on tire un à un trois tickets, quelle est la probabilité pour que les numéros tirés soient alternativement (impair, pair, impair) ou (pair, impair, pair) ? Définissons les événements suivants: P = le ticket porte un numéro pair ; I = le ticket porte un numéro impair. i Initialement, la boîte contient 5 tickets portant un numéro impair et 4 tickets portant un numéro pair. => P(P) = 4/9 et P(I) = 5/9. Le tirage se fait sans remise. Question 6 Une boite contient 9 tickets numérotés de 1 à 9. Sachant que l'on tire un à un trois tickets, quelle est la probabilité pour que les numéros tirés soient alternativement (impair, pair, impair) ou (pair, impair, pair) ? Définissons les événements suivants: P = le ticket porte un numéro pair ; I = le ticket porte un numéro impair. Initialement, la boîte contient 5 tickets portant un numéro impair et 4 tickets portant un numéro pair. => P(P) = 4/9 et P(I) = 5/9. Le tirage se fait sans remise. i On peut calculer la probabilité P[(I,P,I) (P,I,P)] = P[I,P,I] + P[P,I,P] - P[(I,P,I) (P,I,P)] Comme P[(I,P,I) (P,I,P)] = 0 P[(I,P,I) (P,I,P)] = (5/9*4/8*4/7) + (4/9*5/8* 3/7) = 0,277 Question 7 Dans une très grande entreprise, 25 % des hommes et 15 % des femmes gagnent plus de 2000 euros par mois. Il y a dans le personnel de cette entreprise 80 % d’hommes. a) On tire au hasard un nom sur la liste du personnel. On constate que la personne ainsi obtenue gagne plus de 2000 euros par mois. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un homme ? b) On tire deux noms au hasard et on constate que les deux personnes obtenues gagnent plus de 2000 euros par mois. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un homme et d’une femme ? Question 7 Soient les événements suivants : H : La personne choisie au hasard est un homme F : la personne choisie au hasard est une femme R : La personne choisie au hasard gagne plus de 2000 euros par mois. On connaît les probabilités suivantes : P(H)= 0.8 => P(F)= 0.2 et P(R/H)= 0.25 & P(R/ F)= 0.15 a) On demande de calculer P(H/R) Théorème de Bayes: P(H/R)= P(H R)/P(R)= P(H) * P(R/H) / P(R) = 0.8 * 0.25 / P(R) Question 7 a) suite P(R) = P(H) * P(R/H) + P(F) * P(R / F) = 0.8 * 0.25 + 0.2 * 0.15 = 0.2 + 0.03 = 0.23 P(H/R) = 0.8 * 0.25 / 0.23 = 0.2 / 0.23 = 0.87. b) On demande de calculer P(H F /R) Grand échantillon ("très grande entreprise") => les deux tirages sont indépendants : + théorème de bayes P(H F/R) = P(H/R) * P(F /R) = 0.87 * P(F /R) En appliquant le même raisonnement qu'en a), on trouve P(F/R)= P(F)*P(R/F) / P(R) = 0.2 * 0.15 / 0.23 = 0.03 / 0.23 = 0.13 = 1- P(H/R) (événement complémentaire) => P(H F/R) = 0.87 * 0.13 = 0.11. Question 8 Trouvez, au moyen des tables, les probabilités suivantes pour une variable normale standardisée Z: Chap 4: distribution de probabilité - variable aléatoire continue - loi normale P(Z 1.96) P(-0.9 Z 0) P(-1.56 Z -0.2) Question 8 Trouvez, au moyen des tables, les probabilités suivantes pour une variable normale standardisée Z: Chap 4: distribution de probabilité - variable aléatoire continue - loi normale P(Z 1.96) = 0,9750 P(-0.9 Z 0) = 0,5 – 0,184 = 0,316 P(-1.56 Z -0.2) = 0,421 – 0,059 = 0,362