estimation2006

Échantillonnage-Estimation
1)Position du
problème :
• Si la population est trop
nombreuse on ne peut étudier
toutes les unités
statistiques .
•
1)Position du
problème :
• Si la population est trop
nombreuse on ne peut étudier
toutes les unités
statistiques .
• On prend alors un
échantillon de la population.
•
1)Position du
problème :
• Si la population est trop
nombreuse on ne peut étudier
toutes les unités statistiques .
• On prend alors un échantillon de
la population.
• Le problème est de savoir le
degré de confiance que l’on peut
accorder aux résultats obtenus sur
cette population partielle.
2)définitions
• L’échantillonnage consiste
connaissant les propriétés
sur la population à
déterminer les propriétés sur
les échantillons
• Le problème contraire c’est
l’estimation
• Le problème contraire c’est
l’estimation
• Remarque :Un tirage non
exhaustif c’est un tirage
avec remise
3)Échantillonnage
a)Distribution
d’échantillonnage des
moyennes
• Soit une population de
moyenne m et d’écart type σ
a)Distribution
d’échantillonnage des
moyennes
• Soit une population de
moyenne m et d’écart type σ
• Soit X la variable aléatoire
d’échantillonnage des
moyennes.
•
a)Distribution
d’échantillonnage des
moyennes
• Soit une population de moyenne m
et d’écart type σ
• Soit X la variable aléatoire
d’échantillonnage des moyennes.
•X est la variable aléatoire qui à
chaque échantillon aléatoire
prélevé avec remise et d’effectif
n fixé ,associe la moyenne de cet
échantillon.
• Soit X la variable aléatoire
d’échantillonnage des moyennes.
•X est la variable aléatoire qui à
chaque échantillon aléatoire
prélevé avec remise et d’effectif
n fixé ,associe la moyenne de cet
échantillon.
• Pour n assez grand, X suit une loi
Normale
(m ,  /
n)
b)Distribution
d’échantillonnage des
proportions:
• Soit une population dont une
proportion p d’éléments
vérifie une propriété donnée.
b)Distribution
d’échantillonnage des
proportions:
• Soit une population dont une
proportion p d’éléments
vérifie une propriété donnée.
• Soit F la variable aléatoire
d’échantillonnage des
proportions.
b)Distribution
d’échantillonnage des
proportions:
• Soit une population dont une
proportion p d’éléments vérifie
une propriété donnée.
• Soit F la variable aléatoire
d’échantillonnage des proportions.
• F est la variable aléatoire qui à
chaque échantillon aléatoire
prélevé avec remise et d’effectif
n fixé ,associe la proportion dans
cet échantillon.
b)Distribution
d’échantillonnage des
proportions:
• Soit F la variable aléatoire
d’échantillonnage des proportions.
• F est la variable aléatoire qui à
chaque échantillon aléatoire
prélevé avec remise et d’effectif
n fixé ,associe la proportion dans
cet échantillon.
• Pour n assez grand, F suit une loi
Normale
p
(
1

p
)
( p,
n )
4)Estimation
a)Estimation ponctuelle
• Une estimation ponctuelle de
m ( moyenne inconnue dans la
population )
•
a)Estimation ponctuelle
• Une estimation ponctuelle de
m ( moyenne inconnue dans la
population )
• c’est x moyenne de
l’échantillon
•
a)Estimation ponctuelle
• Une estimation ponctuelle de
p ( proportion inconnue dans
la population )
•
•
a)Estimation ponctuelle
• Une estimation ponctuelle de
p ( proportion inconnue dans
la population )
• c’est f la proportion dans
l’échantillon
a)Estimation ponctuelle
• Une estimation ponctuelle de
σ ( écart type inconnu de la
population )
a)Estimation ponctuelle
• Une estimation ponctuelle de
σ ( écart type inconnu de la
population )
n

échantillon 
• c’est s =
avec n
n1
la taille de l’échantillon
b)Estimation par
intervalle de confiance
• principe
b)Estimation par
intervalle de confiance
• principe
• On cherche un intervalle qui
contient la valeur estimée
avec une certaine probabilité
α (95% , 99% )
cas d’une moyenne
• dans la population : m est
inconnue et σ est supposé
connu
cas d’une moyenne
• dans la population : m est
inconnue et σ est supposé
connu
• dans l’échantillon de taille
n, la moyenne est:
x
• Soit X la variable aléatoire
d’échantillonnage des
moyennes.
• Soit X la variable aléatoire
d’échantillonnage des moyennes.
•X est la variable aléatoire qui à
chaque échantillon aléatoire
prélevé avec remise et d’effectif
n fixé ,associe la moyenne de cet
échantillon.
• Soit X la variable aléatoire
d’échantillonnage des moyennes.
•X est la variable aléatoire qui à
chaque échantillon aléatoire
prélevé avec remise et d’effectif
n fixé ,associe la moyenne de cet
échantillon.
• X suit une loi Normale (m ,
 / n)
• Soit X la variable aléatoire
d’échantillonnage des moyennes.
•X est la variable aléatoire qui à
chaque échantillon aléatoire
prélevé avec remise et d’effectif
n fixé ,associe la moyenne de cet
échantillon.
• X suit une loi Normale (m ,
• Soit T la variable aléatoire
centrée réduite associée à X
 / n)
• Le coefficient de confiance α
étant donné (choisi à
l’avance )ou le risque (1-α),
on cherche t tel que :
•
P(-t<T<t)=α
• Π(t) – Π(-t)
• Π(t) – [(1- Π(t)]
• 2 [Π(t)] – 1
•
Π(t)
d’où t
=
=
=
=
α
α
α
(1+α )/2
• Π(t) – Π(-t)
= α
• Π(t) – [(1- Π(t)] = α
• 2 [Π(t)] – 1
= α
•
Π(t)
= (1+α )/2
d’où t
•
• Si α =0,95 alors t = 1,96
• On en déduit l’intervalle de
confiance, centré sur x , de
la moyenne inconnue m de la
population avec un
coefficient de confiance α
• On en déduit l’intervalle de
confiance, centré sur x , de
la moyenne inconnue m de la
population avec un
coefficient de confiance α
[ x  t /
n , x  t / n ]
cas d’une proportion
• dans la population : la
proportion p est inconnue
cas d’une proportion
• dans la population : la
proportion p est inconnue
• dans l’échantillon de taille
n, la proportion est f
cas d’une proportion
• Soit F la variable aléatoire
d’échantillonnage des proportions.
• F est la variable aléatoire qui à
chaque échantillon aléatoire
prélevé avec remise et d’effectif
n fixé ,associe la proportion dans
cet échantillon.
• F suit une loi Normale
( p,
.
p(1 p) )
n
• Soit T la variable aléatoire
centrée réduite associée à F
• Le coefficient de confiance α
étant donné (choisi à
l’avance )ou le risque (1-α),
on cherche t tel que :
•
P(-t<T<t)=α
• On en déduit l’intervalle de
confiance, centré sur f, de
la proportion inconnue p de
la population avec un
coefficient de confiance α
• On en déduit l’intervalle de
confiance, centré sur f, de
la proportion inconnue p de
la population avec un
coefficient de confiance α
[f t
f(1 f)
n1
, f t
f(1 f) ]
n1
FIN