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Fractions
Objectifs:
- Simplifier des fractions.
- Utiliser la propriété suivante et sa réciproque:
a
c
« si

b d
alors a x d = b x c » (b ≠ 0 et d ≠ 0).
- Savoir additionner, soustraire, multiplier et
diviser des fractions.
I. Valeurs approchées d’un quotient
On a
5
= 5 ÷ 8 = 0,625
8
et
6
= 6 ÷ (-2) = -3
2
Les divisions se terminent.
Ici , le quotient
a
b
est un nombre décimal.
On peut donner sa valeur exacte.
Mais
15
= 15 ÷ 7 = 2,142857143…
7
La division ne se termine pas.
Pour donner une valeur approchée d’un nombre, on peut faire
une troncature ou un arrondi.
Mais
15
= 15 ÷ 7 = 2,142857143…
7
La division ne se termine pas.
Pour donner une valeur approchée d’un nombre, on peut faire
une troncature ou un arrondi.
15
Troncature de
7
15
Arrondi de 7
à l’unité
2
2 ou 3
au dixième
2,1
2,1 ou 2,2
au centième
2,14
2,14 ou 2,15
au millième
2,142
2,142 ou 2,143
2,143
On « coupe » l’écriture Il s’agit du nombre le plus proche.
du nombre à l’endroitEx : si on fait un arrondi au centième il
faut regarder le chiffre suivant,
demandé.
c'est-à-dire, celui des millièmes…
II. Quotients égaux
1) Fractions égales
Le quotient de deux nombres en écriture fractionnaire
ne change pas si l’on multiplie ( ou si l’on divise) par un
même nombre non nul le numérateur et le dénominateur.
Autrement dit :
ka a

kb b
avec k ≠ 0
Remarque : Cette règle sert à simplifier des fractions ou
à les « réduire » au même dénominateur.
Exemples :
1,8 18
3
15 45




4,2 42 7 35 105
2) Propriété du produit en croix
Pour tous nombres
Si
a, b, c et d (b ≠ 0 et d ≠ 0)
a c

b d
Réciproquement : Si
alors
axd=bxc
axd=bxc
alors
Exemple : Trouver le nombre p tel que
On a
a c

b d
p 3

7 4
4xp=7x3
4 x p = 21
donc
21
p
4
ou encore
p = 5,25
III. Addition et soustraction
1) Fractions de même dénominateur
Pour additionner ou soustraire deux fractions de
même dénominateur:
1- On additionne ou on soustrait les numérateurs
2- On garde le dénominateur commun
Autrement dit :
Exemple :
a b a b
 
d d
d
et
a b a b
 
d d
d
3 9 39
12
 

11 11
11
11
Calculatrice : pour effectuer du calcul fractionnaire
avec la machine, on utilise la touche d
c
2) Fractions de dénominateurs différents
On se ramène au cas précédent en « réduisant » d’abord
les fractions au même dénominateur.
Exemples :
2 7
23 7
6 7
67
1
 





3 9
33 9
9
9
9
9
Le premier multiple commun dans les tables de 3 et de 9
est 9 donc le dénominateur commun de 3 et 9 est 9.
5
3
5  8  3 40  3
40  3 37






8
18
8
8
8
8
8
Le premier multiple commun dans les tables de 1 et de 8
est 8 donc le dénominateur commun de 1 et 8 est 8.
 2 1 2 4 15
8 5
85 3
 





5
4
5 4
4  5 20 20
20
20
Le premier multiple commun dans les tables de 5 et de 4
est 20 donc le dénominateur commun de 5 et 4 est 20.
IV. Multiplication
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs
entre eux et les dénominateurs entre eux.
Autrement dit :
a c ac
 
b d bd
(avec b ≠ 0 et d ≠ 0)
Exemple :
4  49 4   49
4  49
477
28


 


35
3
35  3
35  3
7 53
15

Attention
 3
et
On décompose les numérateurs
et dénominateurs afin de
simplifier
calcul final.
3  5 le15
5

7
7
non pas

7
5
35
 3  
7
35
V. Nombre inverse et division
1) Le nombre inverse
Lorsque le produit de deux nombres est égal à 1, on dit
qu’ils sont inverses l’un de l’autre.
1
x
L’inverse de x est
a
L’inverse de
est
b
2 3
Exemples :
 1
3 2
1
 4
1
4
b
a
(avec x ≠ 0)
(avec a ≠ 0 et b ≠ 0)
donc
3
est l'inverse de
2
donc
1
est l'inverse de
4
2
3
4
2) La division
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
a c a d
  
Autrement dit :
b d b c
(avec b ≠ 0, c ≠ 0 et d ≠ 0)
Exemples :
3 5
3
8
38
32 4
6




 
 
4 8
4 5
45
45
5
Diviser par
-5/8
revient à multiplier
par son inverse c’est-à-dire
8/-5
5
5 1
5 1
5
3 


 
6
6
3
63
18
Diviser par
3
revient à multiplier
par son inverse c’est-à-dire
1/3
VI. Exemples de calcul prioritaire
Effectuer les calculs suivants en détaillant les étapes :
Le dénominateur
commun de 7 et 42
est 42
3
2 5  
A

  5  
42  
8
 7
  12 5   40 3 
A

 

 42 42   8 8 
 7 37

42 8
 7  37
A
67 8
A
37
A
48
On simplifie par 7
Le dénominateur
commun de 1 et 8
est 8
7 11
B

7 11
20
2
B 7 2
B   20  2
20 11
7
2
B

7 11
2
20
7

B
 2
B   20 11
2  10  11
7 2
B
710
2
2

 11
7
B
B   2  10
 11
110 On simplifie par 2
7
B
7
110
B
110
2 
3
3
2


Les calculs au numérateur
5
4
5
4
B
 22 33 et au dénominateur sont
B
7
7
prioritaires


2

2  44
5
5
2
BB 
2
77
3
3  
7 
2 
2
2
7

B
  
 22  
  2
2
 
B
5
4  
2 
4
2
5
22 33 
77
BB  

2

2  
 Le
Le dénominateur
55 44   dénominateur
22


commun de 5 et 4
commun de 1 et 2
8
 15  est
42 7
7 
4

 8
est
20   15 
B



    
B


20 20
20   2
2 2
2 
20
88 15
15 44 77
BB 

  
20 20
20  22 22
20
7 11
11
7
B



B

20 2
2
20
77 11
11
BB  

Diviser par 11/2 revient à multiplier
20
20 22
par son inverse c’est-à-dire 2/11
7
2
7
2
B



B

20 11
11
20