Une droite sur un polyèdre

Géométries non planes
Sylvestre GALLOT et Bernard GENEVES
IREM de Grenoble
Institut Fourier-Mathématiques pures
& Equipe IAM-Imag
La géométrie après Euclide
• La géométrie Euclidienne est une construction logique et déductive qui s’appuie
sur des propriétés primitives, les axiomes.
• En modifiant un axiome qui posait question (le célèbre « axiome d’Euclide »),
Lobatchevski, Bólyai et Gauss ont pu reconstruire d’autres géométries
logiquement cohérentes.
• La sphère, le cube, les polyèdres fournissent des exemples concrets, sur lesquels
il est possible de définir une distance et de développer une géométrie qui n’obéit
plus à certains des axiomes d’Euclide.
• Commençons par le cas de la sphère, qui nous est peut-être le plus naturel, car
quiconque a pris un avion s’est posé la question de la ligne « droite » ou du plus
court chemin… Dans une géométrie comme celle de la sphère, que sont les
droites ? Les axiomes d’Euclide sont-ils satisfaits ?
Le cas de la sphère
• Il existe une représentation plane classique de la « sphère » terrestre (si
on admet cette approximation pour la terre), celle des cartographes ;
elle consiste à représenter chaque morceau de la sphère sur un morceau
de plan.
• Y a-t-il quelque espoir de construire des cartes qui soient « fidèles »,
c’est-à-dire qui conservent les droites, les angles, et (à l’échelle près)
les distances ?
• Commençons par regarder les cartographies les plus simples, comme
la projection cylindrique, dont la célèbre projection de Mercator est
une variante un peu plus sophistiquée.
La cartographie cylindrique entraîne-t-elle
des distorsions ?
• En agissant sur le point
m, on déplace la portion
de la sphère (en rouge) et
(par conséquent) sa
projection sur le cylindre
(en bleu).
• Selon l’endroit, observezvous des distorsions entre
la portion rouge de la
sphère et sa
représentation
cartographique en bleu ?
(Cette portion bleue du
cylindre peut facilement
être développée sur un
plan).
La cartographie cylindrique entraîne bien des
distorsions
•
Cliquer sur la figure pour lancer le
déplacement automatique.
• Au cours de ce déplacement, la
figure bleue ne change pas,
alors que les dimensions et
angles de la figure rouge
varient. La projection
cylindrique entraîne donc des
distorsions (c'est à dire des
modifications des distances, des
longueurs des courbes et des
angles)
Que sont les « droites » de la sphère ?
• Sur la sphère, les chemins qui
(localement) réalisent les plus courtes
distances, sont les intersections avec la
sphère des plans diamétraux (passant
par le centre de la sphère), aussi
appelés « grands cercles ». Ces grands
cercles sont comme les « droites » de
la sphère. Sur la figure, on a construit
une telle « droite » de la sphère en
intersectant celle-ci avec le plan violet.
•
On peut déplacer cette « droite » en agissant
sur les points A et B, ou faire tourner la sphère
en maintenant le clic droit. Vérifier ainsi
que le secteur violet est bien dans un
plan diamétral.
Représentation cartographique des
« droites » de la sphère
•
•
•
•
Sur la figure jointe, on a dessiné la
« droite » (le grand cercle) passant
par A et B ; le point M parcourt
cette droite.
la projection de M sur le cylindre
est le point M’, obtenu comme
intersection du cylindre avec la
perpendiculaire à l’axe passant par
M.
Déplacer le point M pour observer
le lieu parcouru par le point M’
(c’est l’image de la « droite » de la
sphère dans la carte obtenue par
projection cylindrique).
En mettant par la pensée la carte
cylindrique à plat, essayer de
deviner la représentation de ces
droites dans la carte ; que se passet-il quand la droite passe près du
pôle Nord (le réaliser en déplaçant
A et B) ?
Réponse : observer les distorsions
•
La droite AB est tracée dans un plan
tangent à la sphère ; l'arc rouge est la
trace sur la sphère du plan passant par le
centre O et contenant la droite AB.
•
L'arc rouge est une "droite" pour la
géométrie de la sphère.
•
La courbe verte est la projection sur le
cylindre de la "droite" sphérique rouge ;
en déplaçant A et B, on pourra vérifier
que la courbe verte n'est pas une droite
de la carte : en effet, lorsqu'on déroule le
cylindre sur le plan, la courbe verte ne
donne pas une droite du plan.
La géométrie de la sphère est-elle
euclidienne ?
• La « droite » AB passant par
A et B est obtenue par
intersection du plan OAB
avec la sphère ; La
« droite » CD passant par C
et D est obtenue par
intersection du plan OCD
avec la sphère .
• Y a-t-il une position des
droites AB et CD telle que
celles-ci ne se rencontrent
pas ?
• Existe-t-il une parallèle à la
droite AB ?
•
Saisir les points pour modifier la
position des plans et répondre ainsi
aux questions.
La géométrie de la sphère est-elle
euclidienne ?
•
En maintenant le clic droit, faites tourner la
figure, afin de situer les points A et B.
•
Au regard de la figure ci-contre,
que pensez-vous de la validité dans
ce cadre de l’axiome d’Euclide, qui
dit que par deux points passe une
seule droite ?
•
En déplaçant le point M, faites tourner
la droite passant par A,M et B.
•
Combien de « droites » de la sphère
(grands cercles) passent par les
points A et B ?
Vérifier que les points A et B sont
situés aux antipodes l’un de l’autre.
•
La géométrie de la sphère n’est pas
euclidienne
En effet :
• Par deux points (antipodaux)
passent plusieurs droites (en fait
une infinité).
• Par un point extérieur à une
droite ne passe aucune droite
parallèle à la première droite.
Aplatir une sphère
Nous venons d’observer qu’une carte
particulière, la projection cylindrique,
entraîne des distorsions dans la
représentation de la sphère.
• En fait toute carte, ou toute tentative pour développer un
morceau de sphère sur un plan entraîne soit des déchirures
(faire l’expérience avec une écorce d’orange) soit des
distorsions et des déformations qui modifient la longueur des
courbes et les distances entre points de la surface.
• Si l’on essayait de repasser une surface sphérique faite d’un
tissu inextensible, aussi petit que soit le fer à repasser, on
introduirait des plis.
Qu’est-ce qu’une surface polyèdrale ?
• C’est une surface obtenue par
recollement (le long de leurs
côtés) de polygones du plan. En
voici quelques exemples :
Un tétraèdre
un cube
un « origami »
Le cube
Pour changer le point de vue, déplacer la souris en gardant le bouton droit
enfoncé ; en tirant délicatement sur une face, on peut ouvrir le cube et le
développer
Surface polyédrale ?
…Cependant, l’objet cicontre n’est pas une surface
polyèdrale.
Les faces doivent être des
polygones ; les faces
adjacentes ont en commun
une arête, qui est un côté de
deux polygones exactement.
Une surface polyédrale
peut, en chacun de ses
points (sauf un nombre fini
appelés sommets), être
appliquée sur un plan.
Développer un polyèdre
• Dans une surface polyédrale, tout point M admet-il un voisinage qui
s'envoie sans distorsion (c’est à dire sans modification de la longueur
des courbes ni des distances) sur un morceau du plan ? Quand M est
sur une face c’est clair. Est-ce encore vrai quand M est situé sur une
arête?
Développer d’autres polyèdres
Surfaces en papier
• Prenez une morceau de feuille de papier, mettez-la à plat sur la table et tracez
une ou plusieurs courbes sur cette feuille. Déformez ensuite cette feuille pour
obtenir un cylindre, une surface ondulée, une surface en forme de toit, etc… Ces
déformations ont elles modifié la longueur des courbes que vous aviez tracées?
Imaginez un développement de la surface que vous venez d’obtenir.
• On pourra s’exercer sur des surfaces
en papier.
Surfaces polyédrales en papier
• Les surfaces polyédrales peuvent être réalisées avec du papier (en
découpant, en collant et en pliant), c’est la raison pour laquelle le
développement n’introduit aucune modification de la longueur des
courbes que vous pouvez tracer sur la surface.
Droites sur une surface
Droites sur un polyèdre
• Est droite toute courbe qui, au voisinage de chacun de ses points, admet un
développement qui envoie la portion de courbe sur une portion de droite du
plan.
Tracer un segment de droite : le principe
•
Sur le cube ci-joint, deux points A et B
ont été choisis sur des faces opposées ;
B’, image de B sur le patron, est joint au
point A par un segment de droite ; ce
segment est ensuite reporté sur le cube,
pour former une « droite » joignant A à
B.
On peut vérifier la construction en
déplaçant A et B, et en ouvrant le cube,
pour l’amener à coïncider avec le
patron.
•
On pourra s’exercer sur des surfaces en
papier, que l’on dépliera pour tracer à
plat les droites.
Prolonger une droite sur le cube
Le chemin tracé en trait rouge
plein sur le cube est développé
sur le patron en une droite du
plan (en trait rouge tireté). Ceci
prouve que ce chemin est une «
droite » du cube, puisque,
autour de tout point du chemin,
il existe un développement
dans lequel la portion de
chemin située de part et d’autre
du point est transformée en une
portion de droite du plan.
On peut ouvrir le cube pour
vérifier que ce développement
est correct.
En agissant sur le point m, on
peut changer la direction de la
droite.
On peut changer le point de
vue à l’aide du bouton droit
pour mieux voir et vérifier.
Un Test…
La géométrie du cube
est-elle euclidienne ?
On peut développer le
cube pour vérifier que
les courbes tracées sur
le cube, et joignant les
points A et B, sont
chacune des segments
de droite.
Combien y a-t-il de
droites joignant les
points A et B ?
La Géométrie du parallélépipède n’est
pas Euclidienne
• En effet, il existe plusieurs droites qui passent par les deux
points A et B
• La difficulté est de démontrer réellement que les deux
courbes verte et rouge sont deux droites.
Cliquer sur l’image pour obtenir la figure Cabri donnant
une démonstration visuelle…
La géométrie du cube n’est pas euclidienne
(suite)
En agissant sur le point m, on
peut changer la direction de la
droite du cube (en trait rouge
plein).
En particulier, on observera
que la droite peut repasser très
près de son point initial, et
même lorsque m est en position
extrême, se recouper ellemême (changer le point de vue
à l’aide du bouton droit pour le
vérifier).
Ces phénomènes sont
incompatibles avec une
géométrie euclidienne,
puisqu’ils impliquent que, par
deux points voisins du cube,
peuvent passer plusieurs
droites.
La Géométrie de la pyramide n’est pas
Euclidienne
Par le point I ne passe aucune parallèle à la droite verte…
« L’origami »
• L'origami est obtenu en
recollant le long de leurs côtés
quatre secteurs angulaires
égaux (figurés ici par des
triangles isocèles) IOL, IOJ,
JOK, LOK, dont l'angle au
sommet O est supérieur à 90°.
• Cette figure est manipulable :
déplacer la souris, bouton droit
enfoncé, pour changer le point
de vue, ou déplacer le point K,
pour replier l’origami.
Droites de l’origami
N
M
F
C
D
G
B
E
J
A
I
En amenant le point mobile M sur le point N de manière à ce qu'ils
coïncident, on opère un développement des moitiés droite et gauche de
l'origami; et on vérifie ainsi que le chemin vert est une droite de l'origami. On
vérifie également que la portion BD du chemin rouge est un segment de
droite.
En déplaçant en sens inverse le point mobile M jusqu'à ce que les points I et
J coïncident, on opère un développement de la face antérieure de l'origami;
on vérifie ainsi que la portion AC du chemin rouge est un segment de
droite. Le chemin rouge est donc réunion de 2 portions de droites qui ont en
commun le segment BC, c'est donc une droite de l'origami.
Sur les figures dynamiques, on peut
replier l’origami, et vérifier des
alignement et des propriétés sur un
patron, ou sur des projections.
Ici, on a trouvé un développement qui vaut à la fois pour
les droites verte et rouge. Après développement, ces 2
chemins se présentent comme des droites (sans cassure)
du plan, donc les chemins verts et rouge initiaux sont des
"droites" de l'origami.
Notez que l'existence d'un développement valable pour
une droite entière (et a fortiori l'existence d'un
développement valable simultanément pour 2 droites est
un phénomène exceptionnel.
La géométrie de l’origami est-elle
euclidienne ?
•
En rouge, on a tracé deux "droites" de
l'origami (vous pouvez modifier leur
direction de manière à obtenir d'autres
droites en déplaçant les points m et n le
long du segment ab).
En noir on a dessiné les projections de
ces droites sur le plan horizontal (vous
pouvez le vérifier en trouvant une "vue
de dessus" où les "droites" se confondent
avec leurs projections).
Pour que les "droites" (rouges) ne se
coupent pas il suffit que leurs projections
(en noir) ne se coupent pas.
Fixez une des deux "droites" et modifiez
la position de l'autre "droite" de manière
à ce qu'elle ne coupe pas la première,
tout en passant toujours par le point c qui
reste fixe.
Y-a-t-il 0, 1, 2 ou une infinité de
positions possibles qui répondent à la
question?
La géométrie de l’origami est-elle
euclidienne ?
•
Pour que les "droites" (rouges) ne se
coupent pas il suffit que leurs
projections (en noir) ne se coupent pas.
On a vu qu'en fixant une des deux
"droites", on peut modifier la position
de l'autre "droite" de manière à ce
qu'elle ne coupe pas la première, tout en
passant toujours par un même point qui
reste fixe... et qu'il y a une infinité de
positions possibles qui répondent à la
question.
Dans toutes ces positions, la seconde
droite est parallèle à la première,
puisqu'elle ne la rencontre pas.
Or l'axiome d'Euclide le plus célèbre
affirme que "par un point extérieur à
une droite passe une parallèle à cette
droite et une seule". La géométrie de
l'origami n'est donc pas euclidienne!
La Géométrie de l’origami n’est pas
Euclidienne
Cette figure dynamique permet de vérifier une fois de plus
que, sur l’origami, par un point extérieur à une droite
passent plusieurs droites ne rencontrant pas la première.
N
M
F
C
D
E
G
B
J
A
I
Nous avons vu que les chemins rouges et vert sont des "droites" de l'origami
Au fait, qu’est-ce qu’une géométrie ?
• Au XIXème siècle, il y avait un hiatus entre deux manières
de pratiquer la géométrie :
1. la méthode axiomatique « à la Euclide » applicable par
exemple à la géométrie euclidienne, à la géométrie
sphérique, à la géométrie de Lobachevsky
Dans ce point de vue, une géométrie est la donnée d’un
espace X, de ses « droites », de la longueur des segments
de ces « droites », etc… plus un certain nombre de
conditions : les « axiomes » de la géométrie Euclidienne
par exemple.
2. L’autre point de vue a son origine dans la pratique
courante de la géométrie des surfaces…
2. L’autre point de vue a son origine dans la
pratique courante de la géométrie des surfaces…
… c’est-à-dire la géométrie des surfaces dans l’espace
tridimensionnel, comme l’ellipsoïde ou la surface du globe
terrestre modélisée par Gauss dans sa cartographie du
Danemark.
Dans ce deuxième cas, on
admet de pouvoir travailler
avec des surfaces
« bosselées » ou
« déformées », c’est-à-dire où
la géométrie n’est pas la même
du voisinage d’un point au
voisinage d’un autre point.
Point de vue de physicien
Du point de vue du physicien, dans la modélisation
axiomatique traditionnelle de la géométrie, deux
observateurs situés en deux points différents sont
équivalents, c’est-à-dire qu’ils ont la même perception de
la géométrie de l’espace ; dans le cas des surfaces
(éventuellement bosselées), deux observateurs situés en
deux points différents ont une perception différente de la
géométrie.
Quel point de vue avons nous suivi jusqu’ici
?
• Quel point de vue avons-nous privilégié lorsque nous
avons décidé que, sur un polyèdre, est droite toute courbe
dont chaque point admet un développement local (sans
distorsion) sur une portion de plan qui envoie chaque
portion de la courbe sur une portion de droite ?
Y a-t-il moyen d’unifier
les différents points de
vue ?
Riemann
L’apport de Riemann et de ses successeurs a été d’unifier les
deux points de vue en admettant que l’axiomatique (ou
plutôt la manière de la quantifier) puisse varier d’un point
à un autre. Ceci se traduit par l’introduction d’une distance
entre couple de points qui n’est pas la distance euclidienne
« à vol d’oiseau ». Observons que, dans le cas euclidien, la
distance est déterminée par le produit scalaire. Pour définir
une géométrie « à la Riemann » dans le cas général, il
suffit d’admettre que ce produit scalaire varie avec le point.
Les distorsions de la projection cylindrique,
sont des variations du produit scalaire de la
sphère.
M
• La projection cylindrique entraîne des distorsions d’autant plus fortes qu’on
se rapproche des pôles. Pour compenser ce phénomène, il faut que la norme
d’un vecteur libre de la carte ne soit pas la même suivant qu’on se trouve
en un point de la carte proche de l’équateur ou proche d’un pôle.
La géométrie d’une surface décrite à travers
les variations du produit scalaire
Chaque point de la surface admet un voisinage qu’on peut
cartographier en le projetant sur le plan horizontal ou sur
un plan vertical; l’idée est toujours de décrire le produit
scalaire dans la carte ainsi obtenue
La distance
• On aurait pu partir directement de la donnée d’une distance (entre
paires de points) différente de la distance euclidienne. Cependant, dans
la théorie de Riemann, on impose à la distance de conserver quelques
propriétés de la distance euclidienne, à savoir :
• L’existence d’un point milieu ; plus précisément, pour tout couple de
points A et B, il existe un point M tel que d(A,M)=d(M,B) et
d(A,M)+d(M,B)=d(A,B)
• L’espace de la géométrie, vu avec un microscope centré en un de ses
points, tend vers un espace euclidien quand le grossissement G tend
vers l’infini. Par exemple, une surface vue par un microscope centré en
un de ses points M tend vers l’espace tangent en M, et l’ensemble des
points de la surface situés à distance 1/G de M tend (après
grossissement) vers un cercle euclidien de rayon 1.
Les droites et autres notions…
• Dans ce cadre, restent à définir
– Les droites
(et vérifier si les grands cercles de la sphère, et les droites des
surfaces polyédrales, sont des droites en ce sens)
– Les angles
– Les triangles
• Ces thèmes seront développés, accompagnés de figures
dynamiques commentées sur le site de l’Irem de Grenoble :
• http://www.ac-grenoble.fr/irem/
• Avec d’autres thèmes : la formule de Gauss-Bonnet,
l’optique et les surfaces polyédrales.
La somme des angles d’un triangle
• Dans le plan, afin d’évaluer la somme des angles d’un triangle ABC,
traçons la parallèle au côté BC passant par A :
A
B
La somme des angles
intérieurs au triangle
est égale à l’angle plat
en A.
C
Sur une surface polyédrale, ou sur une sphère, sur lesquelles il n’y a pas de
parallèles, ou bien trop de parallèles, cet argument ne fonctionne plus.
Que devient alors la somme des angles d’un triangle ? La valeur de cette somme
est-elle vraiment liée à la validité de l’axiome sur les parallèles ?
La formule de Gauss-Bonnet calcule cette somme, ou ce qui en tient lieu, et la relie
au défaut de planéité de la surface.
Une interprétation géométrique pour
l’optique
• En optique, les rayons lumineux obéissent à une stratégie
de plus court chemin ; cependant, le trajet d’un rayon
lumineux réfléchi sur un miroir obéit-il à cette loi ?
• En dupliquant la surface parcourue, et la dépliant le long
d’une arête figurant le miroir, on peut interpréter la
réflexion comme un déplacement sur une surface
polyédrale.
• En cours de publication sur le site de l’Irem de Grenoble :
http://www.ac-grenoble.fr/irem/