Chapitre 1 : Éléments de géométrie

Chapitre 1 :
Éléments de géométrie
La nature, en ébauchant Horace Davenport, avait
oublié de dessiner les côtés et on aurait très bien pu
imaginer Euclide s'il l'avait rencontré poussant du
coude un de ses amis pour lui dire : « Ne regarde pas
tout de suite, mais le type qui s'approche confirme
exactement ce que je viens de te dire à propos de la
ligne droite qui a une longueur et pas de largeur ».
P.G. Wodehouse, Bravo Oncle Fred !
1. Fondamentaux
Une feuille de papier (infinie et sans épaisseur)
modélise un objet mathématique appelé « plan » qui
est constitué d'une infinité de points.
1. Fondamentaux
Une feuille de papier (infinie et sans épaisseur)
modélise un objet mathématique appelé « plan » qui
est constitué d'une infinité de points.
Définition : Axiome
Un axiome est une vérité indémontrable qui est
admise. C'est un point de départ dans une théorie
mathématique.
La géométrie que nous pratiquons au collège est
appelée géométrie euclidienne, d'après Euclide (né
vers -325, mort vers -265), un mathématicien grec,
auteur du livre les Éléments.
La géométrie que nous pratiquons au collège est
appelée géométrie euclidienne, d'après Euclide (né
vers -325, mort vers -265), un mathématicien grec,
auteur du livre les Éléments.
Les axiomes de Hilbert « démarrent » la géométrie
euclidienne. Voici les 2 premiers (il y en a 20 en
tout) :
♦ Il existe une droite passant par 2 points.
♦ Cette droite est unique.
Objet
Figure
Notation
Remarques :
♦ La longueur du segment [AB] est
noté AB.
♦ On ne peut pas dessiner un point,
une droite, un segment ou une demidroite. En effet ces objets ont des
épaisseurs nulles (ils sont donc
invisibles) et pour la droite et la demidroite, des longueurs infinies.
Exercice 1 page 134
Placer trois points A, B et C non-alignés, puis
tracer :
a) En rouge, la droite (AB).
b) En bleu, la demi-droite [CA).
c) En vert, le segment [BC].
Exercice 2 page 134
Trouver 6 façons différentes de nommer la droite (d) :
Exercice 10 page 135
1) a)
Tracer une droite (d) puis placer deux points
distincts appartenant à cette droite, que l'on
nomme H et I.
b)
Placer un point J qui n'appartient pas à la
droite (d).
2)
Trouver 2 autres façons de nommer la droite
(d).
3)
Tracer les droites (HJ) et (IJ).
2. Vocabulaire
Définition : Points alignés
♥ On dit que des points sont alignés s'ils
appartiennent à la même droite.
Notation : Si le point C appartient à la droite (AB)
on note
.
Si le point C n'appartient pas à (AB)
on note
.
Exercice 14 page 135
a) A ……. (xy)
b) B ……. [Ax)
c) B ……. [AC]
d) D ……. (xy)
e) C ……. [AB)
f) A ……. [Bx)
Définition : Droites sécantes
♥ Deux droites sont dites sécantes si elles ont un
point commun, c'est à dire si elles se coupent.
Remarque : On ne dit pas que deux droites se
croisent, ce ne sont pas des voitures !
Exercices 16 et 17 page 135
Exercice 16 page 135
a) Les droites (d1) et (d2) sont ………………….. en A.
b) Les droites (d1) et (d2) se …………………… en A.
c) Le point A est le ………………………………………..
des droites (d1) et (d2).
Exercice 17 page 135
Les segments [BC] et [DE] …………………………………..
Les droites (BC) et (DE) …………………………………….
Exercice 1.1
AB =
GH =
CD =
AC =
EF =
CH =
Définition : Milieu
Le milieu d'un segment est le point de ce
segment situé à égale distance de ses
♥ extrémités.
On dit qu'il est équidistant des extrémités
du segment.
Exemple : Le point M est le milieu du segment
[AB].
AB=10 cm donc MA=MB=AB : 2=5 cm.
Remarque : Un point peut être équidistant des
extrémités d'un segment sans lui
appartenir, et donc sans être son
milieu.
Exercice 1.3
Exercice 1.4
AB = ……
MN = AB
AM.
……
PB = …… cm.
PB = MP
……
NP = PB
……
MP = AB
……
L’on décida de nommer le président du club au «point
milieu».
Sur deux tableaux d’une entière blancheur, une ligne noire
avait été tracée. La longueur de chacune de ces lignes était
mathématiquement la même, car on l’avait déterminée avec
autant d’exactitude que s’il se fût agi de la base du premier
triangle dans un travail de triangulation.
Cela fait, les deux tableaux étant exposés dans le même jour
au milieu de la salle des séances, les deux concurrents
s’armèrent chacun d’une fine aiguille et marchèrent
simultanément vers le tableau qui lui était dévolu. Celui des
deux rivaux qui planterait son aiguille le plus près du milieu
de la ligne, serait proclamé président du Weldon-Institute.