Surfaces et volumes

Surfaces et volumes
Aires planes
carré
aire :
rectangle
A = a2
périmètre : P = 4a
aire :
A = a.b
périmètre:
P = 2(a + b)
!
!
parallélogramme (1)
triangle
!
aire :
!
aire :
A = a.h
périmètre : P = 2(a + b)
périmètre :
des côtés
!
(2)
cercle
!
trapèze
h(a + c)
2
périmètre : P = somme des côtés
!
aire :
A=
aire :
A=
" r2
périmètre : P = 2 " r
!
!
ellipse
aire :
a.h
2
P = somme
A=
arc de cercle
A=
périmètre : P =
!
(1)- INFOS parallélogramme
!
longueur :
" a.b
4
!
L = r"
(α en radians)
2
2
(a + b )
2
aire:
!
P=
L.r
2
Beaucoup de calculs de surface peuvent se ramener
à un ou plusieurs
!
parallélogrammes.
Le rectangle est un cas particulier du parallélogramme dont α = 90° et
b = h. Si de plus a = b, on a affaire à un carré.
Le losange est un parallélogramme dont les 4 côtés sont égaux.
Le triangle et le trapèze sont des demi-parallélogrammes.
explication géométrique
(2)- INFOS cercle
Longueur d'un arc de rayon r et d'angle α
L = r . α (α en radians)
donc demi circonférence = π r
Le cercle peut être assimilé à un polygone régulier à 2n
côtés. L'arrangement des triangles ci-contre forme un
parallélogramme.
rappel :
:
!
" radians #
" . 180
degrés
$
Volumes
pyramide (1)
parallélépipède
volume :
cas du cube :
volume :
V =a.b.c
a = b = h, V = a
V=
a.b.h
3
3
cône
!
aire lat. :
avec l =
A = " r.l
2
r +h
!
2
" r 2 .h
volume :
!
V=
aire lat. :
!
A = 2! r h
volume :
V=
3
!
cylindre
tore (2)
" r 2 .h
!
sphère
2
aire :
A = 4 " R.r
volume :
!
V = 2" R.r
" 2 d 2 (D#d)
V=
4
2
!
ellipsoïde
aire :
volume :
!
A = 4" r
2
4" r
3
3
V=
!
volume :
(1)- INFOS pyramide
La famille des pyramides,
quelque soit la forme de leur base,
!
polyèdre régulier ou non de 3 à n côtés, a un volume égal à :
V =
V=
4" a.b.c
3
!
airebase .h
3
(2)- INFOS tore !
Théorème de Guldin
Mathématicien suisse (1577-1643)
Le théorème de Guldin permet de calculer le volume
engendré par un objet plan d'aire A en révolution
autour d'un axe ∆ situé dans le même plan.
Soit H, la projection
orthogonale
du
point G, barycentre
de l'aire A, sur ∆,
alors :
V = 2 " A . GH
exemple :
V = 2"l.R.r
!
2
On peut vérifier ce résultat
facilement puisqu'il s'agit de la
soustraction d'un volume d'un
cylindre à un autre.
!
calotte sphérique
aire :
paraboloïde
A = 4 " (r 2 + h 2 )
volume: V =
!
!
2
volume : V =
2
h (3r + h )
6
octaèdre
aire :
aire :
a3 2
3
A = 3a 2 25+ 10 5
3
(
2
5a 3 " 1+ 5 %
$$
''
6 # 2 &
1+ 5
est aussi appelé nombre d'or φ
2
!
dodécaèdre (12 faces)
volume : V = a 15 + 7 5
4
!
A = 5a 2 3
volume : V =
!
!
aire :
a. b. h
2
icosaèdre (20 faces)
A = 2a 2 3
volume : V =
!
!
!
)
!
@ consulter
- Formules mathématiques en géométrie : Daniel Robert
http://perso.orange.fr/daniel.robert9/Formulaires_mathematiques.html
- Sciences.ch : Géométrie
http://www.sciences.ch/htmlfr/geometrie/geometrieformes01.php
- Mesures de longueurs, d'aires ou de volumes : IUFM Créteil
http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/exposes/volumes/volumes.htm
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Cette page est extraite d'un site concernant les unités de mesure dont l'adresse est :
http://www.utc.fr/~tthomass/Themes/Unites