(d` ), distincts de A.

Chapitre
04-TH
THEOREME DE THALES
I - PROPORTIONNALITE
II – LE THEOREME
III- UNE CONSEQUENCE
IV – LA RECIPROQUE
V – AGRANDISSEMENT/ REDUCT.
VI- CONSTRUCTIONS
VI- DEMONSTRATION
Bernard Izard
3° Avon 2010
Notes biographiques
Thalès est né vers ~624
à Milet.
Milet, colonie grecque
d’Asie Mineure qui fait
maintenant partie de la
Turquie.
Il est mort au même
endroit vers ~546.
On lui attribut sans
certitude le théorème
qui porte son nom
Qui était Thalès ?
On ne sait que très peu de
choses sur les œuvres de
Thalès dans la mesure où il
n’a laissé aucun écrit .
Mort vers 80 ans , il était
mathématicien grec mais aussi
commerçant, astronome,
ingénieur, savant, et
philosophe . Fondateur de
l’école ionienne, il fut le
premier des 7 Sages de la
Grèce . Il est considéré
comme le premier
mathématicien de l’histoire .
Que lui doit-on ?
Concernant les mathématiques, il est à l’origine de 4
Théorèmes de géométrie élémentaire :
Tout diamètre partage un cercle en deux parties
égales et superposables
Les angles d’un triangle isocèle sont égaux
— Deux angles opposés par le sommet sont égaux
—Un angle inscrit dans un demi cercle est droit
-deux triangles sont congruent s’il on deux angles et
le côtés compris égaux
Lors d’un voyage en Egypte, Thalès de Milet
aurait mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops par un
rapport de proportionnalité avec son ombre.
Citons : « Le rapport que
j’entretiens avec mon
ombre est le
même que celui que la
pyramide entretient avec la
sienne. »
Par une relation de proportionnalité, il obtient la hauteur de
la pyramide grâce à la longueur de son ombre.
L'idée ingénieuse de Thalès est la suivante :
« A l'instant où mon ombre sera égale à ma taille, l'ombre
de la pyramide sera égale à sa hauteur. »
I PROPORTIONNALITE
A
M
(MN) // (BC)
N
Il y a proportionnalité entre
les 2 triangles AMN et ABC
Tableau de proportionnalité
B
C
Triangle AMN AM
AN
MN
Triangle ABC
AC
BC
AB
AM
AB
AN
=
AC
=
MN
BC
II LE THEOREME DE THALES
1) Les configurations
Situation 4ème
Situation papillon
2) L’énoncé du théorème
Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A
Soient B et M deux points de (d ), distincts de A.
Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles
Alors
AM AN MN


AB AC BC
Ce théorème permet de calculer des longueurs.
Ex1:
E
Les données sont celles de la figure(PR)//(CD).
Calculer BR.Donner une valeur exacte et éventuellement
A une valeur approchée à 0,01 centimètre près.
BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm.
B
P
C
Config.
R
(CB) et (BD) se coupent en B
C,P, B des points distincts de (CB)
D,R,B des points distincts de (BD)
Comme (PR) et (CD) sont parallèles,
D
d’après le théorème de Thalès on a :
BR PR Remplaçons:
BP


BC BD CD
BR 4 BR = 5 x 4 ÷ 6
BP


5
6
BC
10
BR =
3
 3,33 cm.
Ex2: Les données sont celles de la figure (EA)//(CD).
E
A
Calculer EA. Donner une valeur exacte et éventuellement
une valeur approchée à 0,01 centimètre près.
BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm.
B
P
C
(ED)et(AC) sont 2 droites sécantes en B
E,B,D points distincts de (ED)
A,B,C points distincts de (AC)
R
D
Comme (EA) et (CD) sont parallèles
d’après le théorème de Thalès on a :
BE BA EA


BD BC DC
2 EA

5
6
EA = 6 x 2 ÷ 5
EA = 2,4 cm.
(produit en croix)
III-VARIANTE (CONSÉQUENCE)
Si les rapports ne sont pas égaux alors les droites ne
sont pas // car, le Th. de Thalès dit que si elles sont //
les rapport doivent être égaux
Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A
Soient B et M deux points de (d ), distincts de A.
Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A.
AM AN

Si
alors
AB AC
les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
Cette 2° forme du théorème (variante, conséquence
ou contraposée) permet de prouver que des droites
ne sont pas //
M
Ex: Dans la configuration de la figure
ci-contre avec MI = 8 cm, MC = 12 cm,
MJ = 13 cm, MB = 21 cm. Indiquer si
I
les droites (IJ) et (CB) sont parallèles.
Nous sommes dans une configuration de
Thalès
CM) et (BM) deux droites sécantes en M. C
C,I,M des points distincts de (CM).
B,J,M des points distincts de (BM)
J
B
Comparons:
D’une part
D’autre part
MI
8 2


MC 12 3
MJ 13

MB 21
2 13 Car les produits en croix sont

3 21 différents
comme
MI MJ
(IJ) et (CB) ne sont pas // d’après la

MC MB
conséquence du Th. De Thalès
IV-RECIPROQUE
A.
Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A.
Soient B et M deux points de (d ), distincts de A.
Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de
Si
AM AN

et
AB AC
si les points A, M,B et les points A, N,C
sont dans le même ordre
Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Cette réciproque permet de démontrer
que des droites sont parallèles.
Ex1: Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?
B
A
4,5
3
C
4
P
2
D
2,5
R
1,5
On a
CA 3

CE 4
et
CB 4,5 9 3



CD
6 12 4
CA CB
donc

CE CD
De plus les points A, C et E et les
E
points B, C et D sont dans le même
ordre
(AB) et (DE) sont parallèles.
d’après la réciproque du théorème de Thalès,
Ex2: Les droites (PR) et (DE) sont-elles parallèles ?
B
A
On a
CR 2,5 5


CE
4 8
et
CP 4 2
 
CD 6 3
4,5
3
C
4
P
2
D
2,5
R
donc
1,5
E
CP CR

CD CE
(PR) et (DE) ne sont pas parallèles.
D’après la conséquence du théorème
de Thalès.
II-AGRANDISSEMENT-REDUCTION
Ex1:
3cm
1cm
1cm
Aire = 1x1
Aire = 1 cm²
3cm
X3
X9
X 3²
Aire = 3x3
Aire = 9 cm²
3cm
Ex2:
1cm
1cm
1cm
Aire totale =1x1x6
Aire totale = 6 cm²
Volume = 1x1x1
Volume = 1 cm3
X3
X9
X 3²
X 27
X 33
3cm
3cm
Aire totale=3x3x6
Aire totale = 54 cm²
Volume = 3x3x3
Volume = 27 cm3
Ex3:
X2
1cm
Longueurs
2cm
1cm
Aire base  3,14x05²
Aire base  0,785 cm²
Volume  0,785x1
3
Volume  0,2617cm3
2cm
Aire base 3,14x1²
X4
X 2²
X8
X
23
Aire base  3,14 cm²
Volume  3,14x2
3
Volume  2,093cm3
Si dans un agrandissement ou une réduction les
dimensions sont dans le rapport k alors les aires
sont dans le rapport k² et les volumes dans le
rapport k3
Ex1: Une pizza pour une personne mesure 10 cm de
diamètre. Combien de personnes peut-on prévoir avec une
pizza de 30 cm de diamètre ?
9 personnes
Ex2: L’autopsie d’une cerise fait apparaître que le
diamètre du noyau est exactement égal à l’épaisseur de sa
chair. Si noyau et chair ont la même densité, combien
faut-il de noyaux dans une balance pour équilibrer une
cerise ?
27 noyaux
Ex3: La Fée Jivaro réduit les humains au dixième de
leur taille. Je mesurais 1,80 m et je pesais 80 kg. Après
le sort de la Fée je ne mesure plus que 18 cm. Quel est
mon poids actuel ?
80g
Ex4: La Tour Eiffel mesure environ 300m et pèse environ
8000 tonnes. On construit un modèle réduit avec le même
métal de 1m de hauteur. Quel est le poids de la maquette ?
 0,3 kg
THEOREME DE THALES
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FIN