(P,P,P) (P,P,F) (P,F,P) (P,F,F) (F,P,P) (F,P,F) (F,F,P) (F,F,F)

Variables Aléatoires
&
Lois de Probabilités
Usuelles
Variables Aléatoires
Pr. A. SOULAYMANI
Variables Aléatoires
I- Définition d’une variable aléatoire:
On appel variable aléatoire X, sur un
ensemble fondamental S, une application de S
dans R qui transporte sur R, la mesure de
probabilité définie sur l’espace de départ
probabilisé.
• Exemple1:
On lance successivement 2 fois une pièce
de monnaie:
L’ensemble fondamental est formé de 4
séquences notés respectivement p (pile) ou F
(face) tel que S = { (P,P) (P,F) (F,P) (F,F) }
Pr. A. SOULAYMANI
Variables Aléatoires
• Exemple 2:
Si on lance successivement 3 fois une pièce
de monnaie:
L’ensemble fondamental sera formé de 8
séquences notés respectivement p (pile) ou F
(face) tel que
S = { (P,P,P) (P,P,F) (P,F,P) (P,F,F) (F,P,P)
(F,P,F) (F,F,P) (F,F,F)}
• On définit la probabilité suivante:
P: S → [0,1] et
  S
P( )  1 / 8
Pr. A. SOULAYMANI
• On peut s’intéresser uniquement aux nombre de
cotés « Pile » obtenus:
On définit alors une variable aléatoire X= { (P,P,P)
(P,P,F) (P,F,P) (P,F,F) (F,P,P) (F,P,F) (F,F,P) (F,F,F)} tel
que:
(P,P,P)→3
(F,P,P)→2
(P,F,F)→1
(F,F,P)→1
(P,P,F)→2
(P,F,P)→2
(F,P,F)→1
(F,F,F)→0
• X est dite variable aléatoire discrète
Variables Aléatoires
puisqu’elle prend un nombre fini de valeurs:
X = {0, 1, 2, 3}
Chacune des valeurs de X correspond dans ce
nouveau modèle réel à un événement
élémentaire dont il est facile de déterminer la
probabilité
Pr. A. SOULAYMANI
(P,P,P)→3
(F,P,P)→2
(P,F,F)→1
(F,F,P)→1
(P,P,F)→2
(P,F,P)→2
(F,P,F)→1
(F,F,F)→0
X = {0, 1, 2, 3}
P(X=3) = P(P,P,P) = 1/8
Variables Aléatoires
P(X=2) = P(P,P,F)+P(P,F,P)+P(F,P,P) =3/8
P(X=1) = P(P,F,F)+P(F,P,F)+P(F,F,P) =3/8
P(X=0) = P(F,F,F) = 1/8
Avec ∑ Pi = 1
Pr. A. SOULAYMANI
Variables Aléatoires
• Cas particulier: variable de Bernoulli:
Soit (S,P) un modèle probabiliste attaché à une
Variable aléatoire X.
Soit A un événement quelconque .
Si X est la V.A. qui associe à tout élément de A
la valeur 1 et à tout élément n’appartenant pas
à A la valeur 0.
Cette variable ne prend donc que deux valeurs
1 et 0, avec:
P(A) = p et P(Ã) = q = 1-p
On dit que X est une variable de Bernoulli ou
encore variable dichotomique de la partie de A
dans S. (voir loi binomiale)
Pr. A. SOULAYMANI
Loi de probabilité d’une Variable Aléatoire
II- Loi de probabilité d’une variable aléatoire:
La loi de probabilité d’une variable
aléatoire X est définit par les 2 points suivants:
1- L’ensemble des valeurs prises par la variable
aléatoire
2- La distribution des probabilités sur cet
ensemble
Dans l’exemple précédent:
xi
0
1
2
3
P(xi)
1/8
3/8
3/8
1/8
Pr. A. SOULAYMANI
Fonction de Répartition
Pr. A. SOULAYMANI
Loi de probabilité : Fonction de répartition
III- Fonction de répartition:
On appelle fonction de répartition de la
variable aléatoire X, l’application Fx de R dans
[0,1]: X = Fx : R  [0, 1]; telle que:
Fx ( xi )  P( xi  X : P( X ) xi )  P( X  xi )
(notation abrégée)
C’est une fonction qui nous permet de décrire la
répartition des probabilités attachées aux différentes
valeurs de xi, ou plus précisément les probabilités
cumulées puisque à tout point de xi, correspond la
somme des probabilités attachées aux valeurs de la V.A.
X inférieures à xi.
(fonction croissante de 0 à 1)
Pr. A. SOULAYMANI
Loi de probabilité : Fonction de répartition
Exemple: Distribution de probabilité du jet d’un Dé:
Le résultat du jet d'un dé peut être caractérisé
par une VA X dont les valeurs 1 à 6 sont
associées à chacune des faces. Pour un dé
parfait, une probabilité de 1/6 peut être associée
à chacune de ces valeurs.
x
P(x)
F(x)
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1
0/6
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
Pr. A. SOULAYMANI
Loi de probabilité : Fonction de répartition
Représentation graphique:
F(x)
1
0
1
2
3
4
5
6
x
Pr. A. SOULAYMANI
Loi de probabilité : Fonction de répartition
Dans le cas des variables aléatoires continues, la
Représentation graphique de la fonction de répartition est
continue et aura la forme suivante:
1,1
1
F ( x )
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
30
40
x
=
50
 f ( x ) dx
-
60
70
80
90
100
110
120
Fonction continue linéaire par morceaux, croissante de 0 à 1.
Pr. A. SOULAYMANI
Loi de probabilité : Fonction de répartition
Cette fonction de répartition est elle-même
dérivable, et sa dérivée est égale à la densité de
probabilité:
F’(xi) = f(xi) et présente la forme suivante:
F(x)
f(x)
Cf. Loi Normale
Pr. A. SOULAYMANI
Loi de probabilité : Fonction de répartition
Remarques:
La fonction de répartition est une fonction
croissante de 0 à 1.
La fonction
de répartition permet de
calculer la probabilité d’un intervalle
quelconque:
P(a < xi < b) = Fx(b) – Fx(a)
Pr. A. SOULAYMANI