Indicatrice Euler

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L’indicatrice d’Euler
L’indicatrice d’EULER ......................................................................................... 2
Propriétés de l’indicatrice d’EULER .................................................................... 3
Le théorème d’EULER.......................................................................................... 4
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L’indicatrice d’EULER
N est l’ensemble des entiers naturels : N = { 0 ;1; 2 ;..... }. N∗ est l’ensemble des
entiers naturels non nuls : N ∗ = { 1; 2 ;..... }.
Notation
Si d ∈ N∗ est le plus grand diviseur commun de a ∈ N ∗ et n ∈ N ∗ on écrit :
a ∧ n = d.
Définition
1) Lorsque a ∧ n = 1 on dit que a est premier avec n (1 est le seul diviseur
commun à a et n).
2) Si n ∈ N ∗ et n > 1 non nul on note ϕ(n ) le nombre des entiers naturels (non
nuls) inférieurs ou égaux à n qui sont premier avec n.
On pose ϕ(1) = 1.
Si n est un entier positif (non nul) on note ϕ(n ) le nombre d’entiers positifs (non
nuls) inférieurs ou égaux à n qui sont premier avec n.
Exemples
ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2 , ϕ(5) = 4,.....
Exercice
Donner ϕ(6), ϕ(7), ϕ(8), ϕ(9) .
Réponse
ϕ(6) = 2 , ϕ(7) = 6, ϕ(8) = 4, ϕ(9) = 6
Si n ∈ N∗et n ≠ 1 alors : ϕ(n ) = nombre des éléments de { k / 1 ≤ k < n et k ∧ n = 1 }.
et ϕ(1) = 1
Remarque ϕ(n ) ≥ 1 pour n ∈ N∗ car 1 ∧ n = 1
L’application ϕ : n → ϕ(n ) a pour ensemble de départ N ∗ et pour ensemble
d’arrivée N ∗ .
ϕ : N∗ → N∗
Question
Quelle est la valeur de ϕ(p) si p est un nombre premier ?
Réponse
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Propriétés de l’indicatrice d’EULER
1. Si p est un nombre premier alors ϕ(p s ) = p s − p s −1 pour tout entier s > 0 .
En particulier ϕ(p) = p − 1 si p est premier.
2. Si n > 2 alors ϕ(n ) est un nombre pair. En effet si k est premier avec n
alors n − k est aussi premier avec n et k ≠ n − k (sinon 2k = n ). On compte
donc un nombre pair d’entiers premiers à n inférieurs à n.
ϕ(n ) si n est impair
3. ϕ(2n ) = 
 2ϕ(n ) si n est pair
4. Si m ∧ n = 1 alors ϕ(m × n ) = ϕ(m) × ϕ(n )
5. Pour tout entier n : n =
∑ ϕ(d)
d divise n
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Le théorème d’EULER
Notation
Soit b un entier naturel non nul (correspondant au diviseur).
Soit r un entier tel que 0 ≤ r < b ; l’ensemble de ces entiers correspond aux
restes possibles de la division par b.
L’écriture X MOD(b) désigne le reste de la division de X par b.
Théorème d’Euler
Si a ∧ n = 1 alors : a ϕ( n ) MOD ( n ) = 1