4 Fonctions rationnelles

4 Fonctions rationnelles
4.1 Fonction rationnelle
Définition : Une fonction rationnelle est une fonction dont l’expression s’écrit sous la forme
d’un quotient de deux fonctions polynômes.
x−5
est une fonction rationnelle car elle s’écrit sous la forme
x+2
d’un quotient de deux fonctions polynomiales u(x) = x − 5 et v(x) = x + 3.
1
est une fonction rationnelle car elle s’écrit sous la forme
• La fonction f (x) = x − 3 +
x+2
d’un quotient de deux fonctions polynômiales ;
x2 + 2x − 3x − 6 + 1
x2 − x − 5
(x − 3)(x + 2) + 1
=
=
.
en effet f (x) =
x+2
x+2
x+2
Exemples : • La fonction f (x) =
Remarque : L’ensemble de de définition d’une fonction polynomiale est l’ensemble des réels
pour lesquels le dénominateur de la fraction ne s’annule pas. Ainsi pour les deux exemples
précédents l’ensemble de définition est l’ensemble des réels privé de la valeur −2 : R − {−2} =
] − ∞ ; −2[∪] − 2 ; +∞[.
Fonction inverse (rappel)
1
Propriété : La fonction inverse f (x) = définie sur ] − ∞ ; 0[∪]0 ; +∞[ admet pour dérivée
x
1
′
la fonction f (x) = − 2 définie sur ] − ∞ ; 0[∪]0 ; +∞[.
x
La fonction inverse est donc décroissante sur chacun des deux intervalles ] − ∞; 0[ et ]0; +∞[.
Attention, on ne ne peut cependant pas dire que la fonction inverse est décroissante sur tout
son domaine D =] − ∞ ; 0[∪]0 ; +∞[ ;
en effet, lorsque x1 ∈] − ∞ ; 0[ et x2 ∈]0 ; +∞[, on a x1 < x2 et f (x1) < f (x2 ).
1
peut aussi s’écrire f (x) = x−1 ; alors en généralisant
x
la formule de la dérivée d’une fonction puissance u(x) = xn : u′ (x) = nxn−1 pour n = −1, on
1
obtient f ′ (x) = −1 × x−1−1 = −x−2 = − 2 .
x
Remarque : La fonction inverse f (x) =
4.2 Opérations sur les dérivée
Propriétés : • Soient u et v deux fonctions définies sur un intervalle I. Si u et v admettent
pour fonctions dérivées respectives u′ et v ′ sur I et que la fonction u ne s’annule pas sur I,
u(x)
est dérivable sur I et sa fonction dérivée est :
alors la fonction f définie par f (x) =
v(x)
Ç
å
u′ v − uv ′
u
u′ (x)v(x) − u(x)v ′ (x)
′
est égale à
la dérivée du quotient
.
f (x) =
(v(x))2
v
v2
9
Maths Tstmg
4. Fonctions rationnelles
Exemples : • Pour la fonction f (x) =
x−5
ci-dessus, la fonction dérivée est :
x+2
x+2−x+5
7
1 × (x + 2) − (x − 5) × 1
=
=
2
2
(x + 2)
(x + 2)
(x + 2)2
f ′ (x) =
• Pour la fonction f (x) = x − 3 +
f ′ (x) =
prog 2011
1
x2 − x − 5
=
ci-dessus, la fonction dérivée est :
x+2
x+2
(2x − 1)(x + 2) − (x2 − x − 5) × 1
2x2 + 4x − x − 2 − x2 + x + 5
x2 + 4x + 3
=
=
(x + 2)2
(x + 2)2
(x + 2)2
Remarque : On peut également calculer cette dernière dérivée en utilisant la propriété de la
1
, alors :
dérivée d’une somme puisque f (x) = x − 3 +
x+2
f ′ (x) = 1 +
1
0 × (x + 2) − 1 × 1
=1−
2
(x + 2)
(x + 2)2
ce qui donne le même résultat en écrivant cette dérivée sous la forme d’une fonction rationnelle
puisque :
f ′ (x) = 1 −
(x + 2)2 − 1
(x + 1)(x + 3)
x2 + 4x + 3
1
=
=
=
(x + 2)2
(x + 2)2
(x + 2)2
(x + 2)2
L’étude du signe de la fonction dérivée f ′ permet de déterminer les variations de la fonction
f ; or le signe de f ′ est aussi le signe de son numérateur puisque le dénominateur est toujours
strictement positif lorsque x 6= − 2.
Le discriminant de x2 + 4x + 3 est ∆ = 42 − 4 × 1 × 3 = 4 = 22 , d’où les racines du numérateur :
x1 = −1 et x2 = −3 (la forme factorisée du numérateur est : (x + 1)(x + 3)).
4.3 Étude des variations d’une fonction
Les propriétés précédentes permettent de calculer la fonction dérivée d’une fonction polynôme
ou d’une fonction rationnelle.
Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, alors f est dérivable sur I et
l’étude du signe de la dérivée permet d’affirmer que :
— si pour tout x ∈ I on a f ′ (x) > 0, alors f est croissante sur I ;
— si pour tout x ∈ I on a f ′ (x) 6 0, alors f est décroissante sur I.
1
Exemples : • Pour la fonction inverse f (x) = , la déx
1
rivée f ′ (x) = − 2 est négative pour tout x ;
x
la fonction inverse est donc décroissante sur chacun des
deux intervalles ] − ∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[.
x
1
-1
Tableau de variations :
f ′ (x)
y
1
x
-1
−∞ 0 +∞
−
−
f (x)
math4bac
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Maths Tstmg
4. Fonctions rationnelles
x−5
• Pour la fonction rationnelle f (x) =
ci-dessus,
x+2
définie et dérivable sur ] − ∞ ; −2[∪] − 2 ; +∞[,
7
la fonction dérivée est f ′ (x) =
,
(x + 2)2
donc la fonction f est croissante sur les deux intervalles
] − ∞ ; −2[ et ] − 2 ; +∞[.
Tableau de variations :
x
f ′ (x)
prog 2011
y
y=1
x
x = −2
−∞ −2 +∞
+
+
f (x)
4.4 Tangente à la courbe en un point
Définition : Si f est dérivable en a, on appelle tangente en A(a ; f (a)) à la courbe Cf , la
droite qui passe par A et qui a pour coefficient directeur le nombre dérivé f ′ (a).
x−5
y
x+2
représentée ci-contre, la fonction dérivée est f ′ (x) =
7
. Déterminons l’équation de la tangente à la
(x + 2)2
5
B
courbe au point d’abscisse x = 0 : f (0) = − et f ′ (0) =
y=1
2
7
. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf
x
4
Å
ã
A
5
7
au point A 0 ; −
est f ′ (2) = , donc son équation
2
4
est de la forme :
7
y = x+b
4
x = −2
Pour déterminer
l’ordonnée
à
l’origine
b,
il
suffit
d’écrire
ã
Å
5
5
5
appartient à la tangente, soit : − = 2× 0+ b, d’où b = − et l’équation
que le point A 0; −
2
2
2
5
7
de la tangente est : y = − x − .
4
2
Exemple : Pour la fonction rationnelle f (x) =
Théorème : Si f est dérivable en a, alors une équation de la tangente à Cf en A(a ; f (a)) est
y = f ′ (a) × (x − a) + f (a).
5
7
Exemple : Pour la fonction rationnelle ci-dessus : f ′ (0) = et f (2) = − , donc l’équation de
4
2
5
7
5
7
la tangente est : y = (x − 0) − , soit y = x − .
4Å
4
2
ã 2
7
9
7
23
7
9
′
, f (−4) = on obtient y = (x − (−4)) + , soit y = x + .
De même au point B −4 ;
2
4
4
2
4
2
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