MÉCANIQUE QUANTIQUE

QUIZZ
MÉCANIQUE
QUANTIQUE
On considère une particule de spin 1/2 (comme l’électron) dont l’état de
spin est décrit par le ket | i. On appelle hSz i = h |Ŝz | ila valeur
moyenne de Sz dans l’état | i et P+ la probabilité que la mesure de Sz
donne le résultat +h/2.
Quelles sont les 2 expressions correctes ?
A. A
B. d
C. dsa
COURS 10 – RÉSONANCE MAGNÉTIQUE NUCLÉAIRE
D. vxc
QUENTIN GLORIEUX
3P001 – UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE 2015-2016
E. wq
RÉSUMÉ
MOMENTMAGNÉTIQUENUCLÉAIRE
•
On a vu que l’électron porte un moment magnétique intrinsèque
µ
~e =
•
~
e Se
e
'2
qe
=
2me
Qu’en est il pour le noyau ?
•
Le proton porte un spin : Spz = ±
2
qp
2me
~
2
Mais ce spin est négligeable devant celui de l’électron :
mp
•
Résonance magnétique nucléaire
3
On a :
Résonance magnétique nucléaire
me
p
| p| ⌧ | e|
' 5.59
qp
2mp
et
|µpz | ⌧ |µez |
n
'
3.83
qp
2mp
4
SYSTEMEADEUXETATSETSUPERPOSITION
RÉSONANCEMAGNÉTIQUENUCLÉAIRE
1. Sphère de Bloch
En dimension deux, on a de façon générale :
| i = cos
2. Opérateur rotation
3. Principe de la RMN
Résonance magnétique nucléaire
|1i
6
UTILITÉDELASPHEREDEBLOCH
Dans la base {|+iz , | iz } les matrices de Pauli sont :
~
2
✓
2
5
SPIN1/2
Ŝx =
|0i + ei sin
Pour décrire cet état, on utilise une
représentation géométrique :
la sphère de Bloch :
4. Applications de la RMN
✓
✓
2
0
1
1
0
◆
Ŝy =
~
2
✓
0
i
i
0
◆
~ˆ sur le vecteur ~
u?
Quelle est la projection de S
~ˆ u = ~
S.~
2
✓
cos ✓
ei' sin ✓
e
i'
sin ✓
cos ✓
Ŝz =
~
2
✓
1
0
On peut toujours décrire l’état quantique d’un spin 1/2 par un point sur
la sphère de Bloch :
◆
0
1
◆
~ˆ u
|+i~u , | i~u sont vecteurs propres de S.~
de valeurs propres ±~/2
A une phase globale pres, on peut ecrire :
et
L’état est entierement déterminé par (à une phase globale près) par la
connaissance de
On a
Résonance magnétique nucléaire
7
Résonance magnétique nucléaire
8
RÉSONANCEMAGNÉTIQUENUCLÉAIRE
SPHEREDEBLOCH
1. Sphère de Bloch
On considère deux vecteurs unitaires diamétralement opposés sur la
sphère de Bloch ( ~
u0 = ~u ). On appelle respectivement | i = |+i~u
0
et | i = | i~u0 , les vecteurs d’états associés. Quelle est la valeur du
produit scalaire hermitien entre les deux vecteurs d’état ?
2. Opérateur rotation
3. Principe de la RMN
A. h
B. h
0
| i=
1
4. Applications de la RMN
0
| i=0
p
0
C. h | i = 1/ (2)
0
D. h | i = 1
Résonance magnétique nucléaire
OPÉRATEURROTATION
ROTATIOND’UNSPIN1/2
On applique une rotation d’un angle 2pi à un spin 1/2 intialement dans
l’état | i avec hSi = h |Ŝ| i. On appelle | 0 iet hŜ 0 i l’état du systeme
et sa valeur moyenne après la rotation de 2pi.
Quelles sont les 2 propositions correctes ?
A.|
0
i=| i
B.| i = | i
On en déduit la forme matricielle :
R̂↵ =
✓
e
i↵/2
0
0
ei↵/2
On peut vérifier l’unitarité de R̂↵ .
Résonance magnétique nucléaire
◆
= exp
⇣
0
C. hŜ 0 i = hŜi
↵ ⌘
i Ŝz
~
D.hŜ 0 i =
11
hŜi
10
SPIN½DANSUNCHAMPUNIFORME
RÉSONANCEMAGNÉTIQUENUCLÉAIRE
On a vu l’effet de précession de Larmor.
Le Hamiltonien s’écrit : Ĥ0 = B0 µ̂z =
1. Sphère de Bloch
B0 Ŝz = !0 Ŝz
Pour le proton :
B0 Ŝz = !0 < 0
✓
◆
~!0 1 0
Ĥ0 =
0
1
2
2. Opérateur rotation
L’effet d’un champ magnétique sur un proton
est de lever la dégénerescence des états + et –
3. Principe de la RMN
4. Applications de la RMN
Résonance magnétique nucléaire
13
DISPOSITIFEXPERIMENTAL
•
Création d’un champ magnétique B0
•
Ajout d’une petite composante oscillante B1(t) l’aide de bobines en
configuration de Helmholtz
Résonance magnétique nucléaire
Résonance magnétique nucléaire
14
HAMILTONIENDUPROBLEME
15
Résonance magnétique nucléaire
16
RÉFÉRENTIELTOURNANT
EQUATIONDESCHRODINGER
DANSLEREFERENTIELTOURNANT
On se place dans un référentiel tournant
autour de l’axe z à la fréquence !
On a : | ˜(t)i = R̂(t)| (t)i
Dans ce référentiel, le champ B1 tournant
sera fixe.
On cherche une équation de la forme : i~
Quelle est la rotation que l’on doit faire subir
à l’état | (t)i pour faire cette transformation ?
d| ˜(t)i
= Ĥef f (t)| ˜(t)i
dt
avec un Hamiltonien effectif indépendant du temps.
Ĥef f (t) = R̂(t)Ĥ(t)R̂† (t) + i~
Ĥef f = =
Résonance magnétique nucléaire
17
Résonance magnétique nucléaire
~
2
✓
!0 !
!1
dR̂(t) †
R̂ (t)
dt
◆
!1
= (!0
(!0 !)
!)Ŝz + !1 Ŝx
18
ANIMATION
INTERPRETATIONDUHAMILTONIENEFFECTIF
On aurait pu trouver ce résultat immédiatement à l’aide d’un raisonement
géométrique :
Ĥef f = =
~
2
✓
!0 !
!1
Dans le référentiel tournant la
fréquence de précession de
Larmor autour de B0 n’est
plus !0 mais !0 !
◆
!1
= (!0
(!0 !)
!)Ŝz + !1 Ŝx
Dans le référentiel tournant, le
champ B1 est fixe et reste
aligné selon l’axe x
Le Hamiltonien effectif donne naissance à un champ magnétique effectif
Ĥef f =
~ˆ B
~ ef f
S.
~ ef f | = |⌦/ |
|B
q
⌦ = (!0 !)2 + !12
Précession de Larmor autour de Beff à la fréquence ⌦ (fréquence de Rabi)
Résonance magnétique nucléaire
19
Résonance magnétique nucléaire
20
PROBABILITÉDETRANSITION
On cherche à résoudre i~
avec
Ĥef f
~
=
2
✓
d| i
= H| i
dt
!0 !
!1
!1
(!0 !)
On pose | i = b+ (t)|+i + b (t)| i
On a alors
GÉOMÉTRIEDANSLASPHEREDEBLOCH
◆
puis
On en déduit | (t)i :
Proba de mesurer –h/2 sur Sz :
Résonance magnétique nucléaire
21
Résonance magnétique nucléaire
22
OSCILLATIONSDERABI
SPECTROSCOPIEPARRMN
On a vu :
On a vu : P (t) =
⌦=
Or (cf quizz) :
On a donc P (t) =
!)2 + !12
En moyenne temporelle :
P = P (t) =
⌦=
1
2 (!0
q
(!0
!)2 + !12
!12
!)2 + !12
!12
sin2 ⌦t/2
⌦2
! 6= !0
Résonance magnétique nucléaire
q
(!0
!12
sin2 ⌦t/2
⌦2
! = !0
23
Résonance magnétique nucléaire
24