LEÇON 3 CONGRUENCES DANS Z, ANNEAU Z/NZ

Définition 1.
LEÇON 3
Soient n un entier naturel et a, b deux entiers
relatifs. On dit que a est congru à b modulo n
si l’une trois propriétés équivalentes suivantes
est vérifiées :
Division euclidienne dans Z
Lemme 2.
Soit (a, b) ∈ Z × Z∗ .
(i) n divise a − b.
(ii) a − b ∈ nZ.
CONGRUENCES DANS Z,
ANNEAU Z/N Z. APPLICATIONS
2.
(iii) a et b ont le même reste dans la division
euclidienne par n.
a≡r
(b),
où r est le reste dans la division euclidienne de
a par b.
On note :
a ≡ b mod n ou a ≡ b (n).
Application: Le reste dans la division euclidienne
de 1955 par 7 est égal à 5.
I.
Congruences dans Z
1.
Sous-groupes additifs de Z
Théorème 1.
Les sous-groupes de (Z, +) sont de la forme
nZ = {nq / q ∈ Z}.
Remarque: a ≡ b (0) équivaut à dire a = b et
modulo 1, la relation a ≡ b est toujours vérifiée.
La relation de congruence est une relation
d’équivalence sur Z et on note :
ā = {b ∈ Z / a ≡ b (n)}
= {b ∈ Z / n|b − a}
= {a + kn / k ∈ Z}
= a + nZ.
Corollaire 3.
Pour tout entier naturel n,
n
o
Zn = 0̄, 1̄, . . . , n − 1 .
Zn est de cardinal n et il est en bijection avec
l’ensemble de tous les restes dans la division
euclidienne par n.
Ce résultat se traduit en disant que l’anneau
Z est principal et il a de nombreuses applications.
Entre autres, il nous permet de définir les notions
Application: Un entier de la forme 8n+7 ne peut
de pgcd et ppcm et ici, pour ce qui nous concerne
Cette relation d’équivalence est compatible pas être la somme de trois carrés parfaits.
les congruences modulo un entier n.
avec l’addition et la multiplication sur Z ce qui
permet de munir l’ensemble Zn = Z/nZ des classes
d’équivalence modulo n d’une structure d’anneau.
3. Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications
Fabien PUCCI
Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications
2
Corollaire 4 (Critère de divisibilité).
II.
L’anneau Zn
Soit n un entier naturel et n = np . . . n1 n0 son
écriture décimale. n est divisible par :
• 2 si et seulement si son chiffre des unités n0
est pair.
1.
Groupes cycliques
• 3 si et seulement si la somme
p
X
Définition 2.
Proposition 5.
nk de ses
• 9 si et seulement si la somme
p
X
nk de ses
¯
(i) Zn , +̄, ×
unitaire.
k=0
chiffres est divisible par 3.
• 5 si et seulement si son chiffre des unités n0
est égal à 0 ou 5.
• 7 si et seulement si la somme
n0 + 3n1 + 2n2 − n3 − 3n4 − 2n5 + n6 + . . .
est divisible par 7.
est un anneau commutatif
(ii) Zn , +̄ est un groupe cyclique d’ordre
n.
On appelle fonction indicatrice d’Euler, la
fonction qui à tout entier naturel n associe le
nombre ϕ(n) d’entier inférieurs ou égal à n et
premiers avec n.
ϕ(n) = Card{k ∈ N / 1 6 k 6 n et k ∧ n = 1}.
Le théorème suivant donne toute son importance à Zn en théorie des groupes.
k=0
Exemple: Si n ∈ P alors ϕ(n) = n − 1.
chiffres est divisible par 9.
• 11
si et seulement si la somme alternée
p
X
Application: L’inverse de 16 dans Z19 est 6̄.
Théorème 6.
k
(−1) nk de ses chiffres est divisible par
k=0
11.
• 13 si et seulement si la somme
n0 − 3n1 − 4n2 − n3 + 3n4 + 4n5 + n6 + . . .
est divisible par 13.
Tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe
à Zn .
(i) Pour tout entier relatif a premier avec n,
on a : aϕ(n) ≡ 1 (n).
2.
Application: Ces critères de divisibilité donnent
un moyen de détecter les erreurs dans les calculs
comme la preuve par 9. Il permettent aussi de débuter la décomposition en facteurs premiers d’un
entier n.
Exemple: m = |111 {z
. . . 11} est divisible par 7 et 13
k fois
si et seulement si k est multiple de 6 et on a :
111111 = 3 × 7 × 11 × 13 × 37.
Fabien PUCCI
Corollaire 8 (Fermat-Euler).
Irréductibles de Zn
Théorème 7.
(ii) Soit p premier
∀a ∈ Z,
et ∀a ∈ Z, p 6 |a,
ap ≡ a (p)
ap−1 ≡ 1 (p).
Soit k en entier relatif. Les propriétés suivantes
sont équivalentes :
(i) k̄ est inversible dans Z/nZ.
(ii) k ∧ n = 1.
Application: Le reste de la division de 52012 par
11 est égal à 3.
(iii) k̄ est un générateur de Z/nZ.
3. Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications
III. Applications
Théorème 9.
Soit n > 2 en entier relatif. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) n est premier.
(ii) Z/nZ est un corps.
3
III.
Applications
2.
Lemme Chinois
Théorème 12.
1.
Equations diophantiennes ax ≡ b
(n)
(iii) Z/nZ est intègre.
Les entiers n et m sont premiers entre eux si
et seulement si anneaux Znm et Zn × Zm sont
isomorphes.
Proposition 11.
Soient n > 2 un entier, a ∈ N∗ premier avec n
et b ∈ Z.
Les solutions dans Z de l’équation ax ≡ b (n)
sont de la forme bx0 + kn, k ∈ Z où x0 est une
solution particulière de cette équation.
Corollaire 10 (Wilson).
Un entier p > 2 est un nombre premier si et
seulement si (p − 1)! ≡ −1 (p).
Application:
L’ensemble
des
solutions
de
522x
+
2214y
=
36
est
n
o
(34 + 123k, −8 − 29k) / k ∈ Z .
=
1 alors
Application: Si m ∧ n
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
La surjectivité de l’application f : Zmn 7−→ Zm ×Zn
prouve que si m ∧ n = 1 alors le système :
(S)
(
x ≡ a (m)
x ≡ b (n)
possède une solution 1 entière pour tout a, b ∈ Z.
Application: Pierre veut ranger sa collection de
livres. S’il range les livres par 11 il en reste 7, s’il
les range par 26 il en reste 12. Combien Pierre a de
livres dans sa collection sachant qu’il en a moins
de 200 ?
Ce problème se ramène à la résolution du système :
(S)
(
x ≡ 7
x ≡ 12
(11)
(26)
1. En fait une infinité !
3. Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications
Fabien PUCCI
Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications
4
IV.
Idées de développement
Exercice 6.2:
parfaits.
Un entier de la forme 8n + 7 ne peut pas être la somme de trois carrés
• Les critères de divisibilité et l’application à la décomposition d’un entier en facteurs premiers.
• Les bases de numérations 2
Correction: On va se plonger dans Z8 et considérer les classes modulo 8. Soient donc
m, n et p trois entiers naturels et r1 , r2 et r3 leur reste respectif dans la division euclidienne
• Le théorème 9 et le théorème de Wilson en application.
par 8. Alors,
• L’exercice ?? et son application au théorème de Fermat.
• La résolution d’une équation diophantienne de la forme ax + by = c.
• La résolution d’un système d’équations diophantiennes.
m2 + n2 + p2 = (8q1 + r1 )2 + (8q2 + r2 )2 + (8q3 + r3 )2 ≡ r12 + r22 + r32 (8).
V.
Donc m2 + n2 + p2 ∈ 7̄ (8) si et seulement si r12 + r22 + r32 ∈ 7̄ (8).
Comme r1 , r2 et r3 sont des entiers entre 0 et 7, il suffit de vérifier que les sommes de
trois carrés d’entiers compris au sens large entre 0 et 7 n’appartiennent pas à 7̄ (8).
Références
– F. Combes, Algèbre et géométrie : Agrégation - CAPES - Licence Maîtrise, Bréal
– Xavier Gourdon, Les maths en tête, Mathématiques pour M ∗ - ALGEBRE,
Ellipses
VI.
Donc, les carrés des entiers de 0 à 7 sont congrus à 0, 1 ou 4 modulo 8. Enfin,
0+0+0≡0
0+1+1≡2
1+1+1≡3
4+4+4≡4
Exercices
Calculer le reste dans la division euclidienne de 1955 par 7.
Exercice 6.1:
Or,
≡7 311
(8),
(8),
(8),
(8).
0 + 0 + 1 ≡ 1 (8), 0 + 0 + 4 ≡ 4 (8),
0 + 1 + 4 ≡ 5 (8), 0 + 4 + 4 ≡ 0 (8),
1 + 1 + 4 ≡ 6 (8), 1 + 4 + 4 ≡ 1 (8),
Aucune de ces sommes n’appartient à 7̄ (8), un entier de la forme 8n + 7 ne peut donc
être la somme de trois carrés.
Correction: Comme 19 = 2 × 2 + 5, par compatibilité de la congruence avec la Exercice 6.3:
multiplication on a :
7 ? par 13 ?
1955 ≡7 555 ≡7 (55 )11
02 ≡ 0 (8), 12 ≡ 1 (8), 22 ≡ 4 (8),
32 ≡ 1 (8), 42 ≡ 0 (8), 52 ≡ 1 (8),
62 ≡ 4 (8), 72 ≡ 1 (8).
Pour quelles valeurs de k, le nombre m = |111 {z
. . . 11} est-il divisible par
k fois
52 ≡7 4, 54 ≡7 42 ≡7 2, 55 ≡7 10 ≡7 3
33 ≡7 27 ≡7 −1, 311 ≡7 33×3+2 ≡7 5
≡7 5.
Remarque: On fait beaucoup plus rapide avec le théorème de Fermat 8.
Correction: si k ≡ 0 (6), les critères de divisibilité par 7 et 13 sont vérifiés. sinon, ils
ne le sont pas, donc m est divisible par 7 et 13 si et seulement si k est multiple de 6 et
alors m est aussi divisible par 11 et 3.
Exemple: 111111 = 7 × 13 × 3 × 11 × 37.
2. Délicat ! Ne se lancer que si les notions sont parfaitement maîtrisées
Fabien PUCCI
3. Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications
VI. Exercices
Exercice 6.4:
5
c’est-à-dire à résoudre dans Z l’équation 11u − 26v = 5 ou encore 11ū ≡ 5̄ (26) c’està-dire trouver l’inverse de 11 modulo 26.
trouvons une relation de Bézout par l’algorithme d’Euclide :
Quel est l’inverse de 16 dans Z19 ?
Correction: Comme 19 est premier, 16 ∧ 19 = 1 en particulier donc 16 est bien in-
26 = 11 × 2 + 4
versible dans Z19 c’est-à-dire qu’il existe un ū ∈ Z19 tel que 16ū ≡ 1 (19) c’est-à-dire
16u − 19v = 1. C’est une relation de Bézout dont on peut trouver les coefficient u et v par
l’algorithme d’Euclide.
11 = 4 × 2 + 3
= 4 − (11 − 4 × 2) × 1
4=3×1+1
3=3×1+0
= −11 + 3 × 4
= −11 + 3(26 − 11 × 2)
19 = 16 × 1 + 3
−1
D’où 1 = 3 × 26 − 7 × 11 c’est-à-dire 11
On trouve finalement :
163 × 5 + 1
3=3×1+0
¯ ≡ −35 ≡ 17 (26).
≡ −7 (26) puis ū ≡ −7×5
x = 7 + 11(17 + 26k)
En remontant :
k∈Z
= 194 + 286k
1 = 16 − 3 × 5
= 16 − (19 − 16 × 1) × 5
Pour répondre au problème de la leçon, Pierre a donc 194 livres dans sa bibliothèque.
Remarque: Il est inutile de calculer v si ce n’est pour vérifier les calculs. On trouverait
v = 7 + 11k, k ∈ Z.
= 6 × 16 − 5 × 19.
−1
On trouve donc 16
Exercice 6.5:
1=4−3×1
≡ 6̄ (19).
Exercice 6.7:
Résoudre dans Z, 1665x + 1035y = 45.
Montrer que le reste de la division de 52012 par 11 est égal à 3.
Correction:
– En divisant par 45 = 1665 ∧ 1035 ∧ 45, nous obtenons l’équation équivalente :
10
Correction: Comme 11 est premier, d’après le théorème 8, 5 ≡ 1 (11).
Or, par division euclidienne, 2012 = 201 × 10 + 2, d’où 52012 ≡ 52 ≡ 3 (11).
Le reste de la division euclidienne de 52012 par 11 est donc égal 3.
x ≡ 7
(11)
Exercice 6.6: Résoudre le système (S)
x ≡ 12 (26)
Correction: Comme 11 ∧ 26 = 1, d’après le théorème des restes chinois, le système
(S) possède une unique solution modulo 11 × 26 = 286.
Résoudre (S) revient à trouver x ∈ Z tel que :
x
x
= 7 + 11u
= 12 + 26v
37x + 23y = 1
(3.1)
– Comme le pgcd de 37 et 23 est 1, d’après le théorème de Bézout cette équation
(3.1) a des solutions.
– L’algorithme d’Euclide pour le calcul du pgcd de 37 et 23 fourni les coefficients
de Bézout : 37 × 5 + 23 × (−8) = 1. Une solution particulière de 3.1 est donc
(x0 , y0 ) = (5, −8).
– Nous allons maintenant trouver l’expression générale pour les solutions de l’équation 3.1.
Soient (x, y) une solution de l’équation 37x + 23y = 1. Comme (x0 , y0 ) est aussi
solution, nous avons 37x0 + 23y0 = 1.
D’où 37(x − x0 ) + 23(y − y0 ) = 0 c’est-à-dire :
37(x − x0 ) = −23(y − y0 )
(3.2)
2. C’est ici qu’il est important d’avoir divisé par 45 dès le début !
3. Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications
Fabien PUCCI
Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications
6
– On en déduit que 37|23(y − y0 ), or pgcd(23, 37) = 1 donc par le lemme de Gauss,
37|(y − y0 ) et y − y0 = 37k pour un k ∈ Z.
– Repartant de l’égalité (3.2) : nous obtenons 37(x − x0 ) = −23 × 37 × k. Ce qui
donne x − x0 = −23k.
– Donc, si (x, y) est solution de 3.1 alors elle est de la forme :
(x, y) = (x0 − 23k, y0 + 37k), avec k ∈ Z.
– Réciproquement pour chaque k ∈ Z, si (x, y) est de cette forme alors c’est une
solution de 3.1.
Conclusion : les solutions sont (5 − 23k, −8 + 37k) | k ∈ Z .
VII.
par 9) si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (resp. par 9).
• 10 ≡ 3, 102 ≡ 32 ≡ 2, 103 ≡ 2 × 10 ≡ −1, . . . modulo 7. Donc n est divisible par 7
si et seulement si la somme n0 + 3n1 + 2n2 − n3 − 3n4 − 2n5 + n6 + . . . est divisible
par 7.
• 10 ≡ −1 modulo 11 on déduit que 10k ≡ (−1)k modulo 11 pour tout entier k et
p
X
n≡
(−1)k nk modulo 11. Donc n est divisible par 11 si et seulement si la somme
k=0
alternée de ses chiffres est divisible par 11.
• 10 ≡ −3, 102 ≡ (−3)2 ≡ −4, 103 ≡ −3 × (−4) ≡ −1, . . . modulo 13. Donc n est
divisible par 13 si et seulement si la somme n0 − 3n1 − 4n2 − n3 + 3n4 + 4n5 + n6 + . . .
est divisible par 13.
Preuves
Preuve de 1: Soit G un sous-groupe de Z. Si G = {0}, on a G = 0Z.
Si G 6= {0}, il existe dans G un entier a non nul. Comme G est un sous-groupe de (Z, +),
l’un des entiers a ou −a appartient à l’ensemble G+ = G ∪ N∗ qui est donc une partie non
vide de N∗ admettant alors un plus petit élément n > 1.
Comme n ∈ G, nZ ⊂ G. De plus, par division euclidienne, pour tout m ∈ G, on a :
r = m − nq ∈ G+
m = nq + r avec
r 6 n − 1.
Ce qui impose r = 0 par définition de n. Donc G ⊂ nZ puis G = nZ.
L’unicité provient du fait que nZ = mZ si et seulement si |n| = |m| et pour n, m
positifs, on a nécessairement n = m.
Preuve de 5:
(i) Laissée au lecteur.
(ii) Tout élément x̄ ∈ Zn s’écrit x̄ = k̄ = 1̄ + . . . + . . . 1̄ = k 1̄ avec 0 6 k 6 n − 1
d’après 3 et k = 0 si et seulement si n|k. On en déduit que (Zn , +̄) est monogène
fini engendré par un élément d’ordre n, il est donc cyclique d’ordre n.
Preuve de 6: Soit Ghai = {a, a2 , . . . , an } un groupe cyclique d’ordre n.
L’application ϕa : k 7−→ ak réalise un morphisme surjectif de groupes de (Z, +) sur (G, .)
de noyau ker ϕa = nZ car a est d’ordre n.
ϕa
G
ak
Z
k
Preuve de 2: Il suffit d’écrire la division euclidienne de a par b : a = bq + r d’ou n|a − r.
Preuve de 3: Dans la division euclidienne de a par n on a 0 6 r 6 n − 1, d’où
Zn = 0̄, 1̄, . . . , n − 1 . Montrons maintenant que ces classes sont distinctes.
Si r̄ = s̄ avec r et s compris entre 0 et n − 1 alors 0 6 |s − r| 6 |q|n 6 n − 1 impose q = 0
puis s = r. L’ensemble Zn est donc de cardinal n.
ϕ̄a
Z/ ker ϕa
Si j et k sont deux entiers relatifs tels que j̄ ≡ k̄ (n) alors k − j = qn et
Preuve de 4: Ces critères de divisibilité se déduisent de la connaissance du reste dans la a = aj aqn = aj . L’application ϕa se factorise donc par ϕ̄a : k̄ 7−→ ak qui est un
division euclidienne de 10 par 2, 3, 5, 7, 9, 11 et 13 respectivement.
morphisme de groupes surjectif de (Zn , +̄) sur (G, .) de noyau ker ϕ̄a = {0̄}.
• Comme 10 ≡ 0 modulo 2 et modulo 5, on déduit que n est congru à n0 modulo 2 et
Cette application réalise donc un isomorphisme de groupes de (Zn , +̄) sur (G, .).
modulo 5 et donc n est divisible par 2 (resp. par 5) si et seulement si son chiffre des
unités n0 est pair, c’est-à-dire égal à 0, 2, 4, 6 ou 8 (resp. multiple de 5, c’est-à-dire Preuve de 7: k est inversible dans Z/nZ ⇐⇒ ∃b̄ ∈ Z/nZ tel que k̄b̄ = 1̄ ⇐⇒ ∃b, q ∈ Z
égal à 0 où 5).
tels que kb + qn = 1 ⇐⇒ k et n sont premiers entre eux d’après le théorème de Bézout.
• 10 ≡ 1 modulo 3 et modulo 9, on déduit que 10k ≡ 1 modulo 3 et modulo 9 pour
Enfin k̄ b̄ = 1̄ ⇐⇒ 1̄ appartient au groupe engendré par k c’est-à-dire que ce groupe est
p
X
nk modulo 3 et modulo 9. Donc n est divisible par 3 (resp. Z/nZ.
tout entier k et n ≡
k
k=0
Fabien PUCCI
3. Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications
VII. Preuves
7
Lemme 13.
Preuve de 11:
• Si b = 1, cette équation a des solutions si et seulement si ā est inversible dans Z/nZ
Un entier p 6 2 est premier si et seulement si il est premier avec tout
c’est-à-dire a ∧ n = 1. Dans ce cas l’algorithme d’Euclide nous permet de trouver
une solution x0 ∈ Z. Pour des petites valeurs de n, on peut utiliser le théorème de
entier compris entre 1 et p − 1.
Fermat-Euler 8 qui dit que aϕ(n) ≡ 1 (n) c’est-à-dire ā−1 = aϕ(n)−1 (n). On a alors
x̄0 = ā−1 b̄ (n).
• Si x ∈ Z est une autre solution, alors n|a(x − x0 ) et n|x − x0 d’après le théorème
de Gauss.
Preuve de 13: La condition nécessaire est claire.
•
Réciproquement on vérifie que pour tout k ∈ Z, x0 + kn est solution.
Réciproquement si p n’est pas premier, il s’écrit alors p = ab avec a > 2 et b > 2. p n’est
•
Si b ∈ Z est un entier relatif quelconque et si a et n sont premiers entre eux pour
pas premier avec a donc le résultat est démontré par la contraposée.
toute solution particulière u0 de l’équation ax ≡ 1 (n), l’entier x0 = bu0 est solution
Application: ϕ(n) = n − 1 si n est premier.
de ax ≡ b (n). Comme précédemment, on en déduit que l’ensemble des solutions
Preuve de 8:
de ax ≡ b (n) est :
∗
(i) Si a est premier avec n alors ā ∈ Z/nZ qui est un groupe d’ordre ϕ(n). D’après
S = {bx0 + kn, k ∈ Z},
le théorème de Lagrange, son ordre divise ϕ(n) d’où āϕ(n) = 1̄ c’est-à-dire aϕ(n) ≡ 1
(n).
où x0 est une solution particulière de cette équation.
(ii) Pour n premier, on a ϕ(n) = n − 1, d’où le résultat.
Remarque: Dans le cas où d = a ∧ n 6= 1, l’équation n’a de solutions que si d|b et on
trouverait :
S = {b0 x00 + kn0 , k ∈ Z},
Preuve de 9: D’après 7, on sait déjà que si n est premier, tous les éléments de Z/nZ \ {0̄}
sont inversibles c’est-à-dire Z/nZ est un corps et (i) ⇐⇒ (ii) =⇒ (iii).
où n = dn0 , a = da0 , b = db0 et x00 une solution particulière de a0 x ≡ 1 (n)0 .
Supposons Z/nZ intègre et soit d un diviseur de n différent de n dans N. Il existe donc
un entier q tel que 2 6 q 6 n et n = qd c’est-à-dire q̄ d¯ = 0̄ et dans Z/nZ avec d¯ 6= 0̄. Ceci Application: Résolution dans Z, de l’équation 522x + 2214y = 36
impose =
¯ 0̄ c’est-à-dire donc q = n et d = 1. L’entier n est donc premier.
Preuve de 10:
Preuve: On a 522 ∧ 2214 = 18 et 522 × 17 − 2214 × 4 = 18 par l’algorithme d’Euclide.
– Pour n = 2, la condition nécessaire est claire. Si n > 3 est premier alors Z/nZ est un Comme 18|b = 36, l’équation a des solutions. En divisant par 18, elle équivaut à :
∗
corps commutatif et tout élément k̄ de Z/nZ est racine du polynôme X n−1 − 1̄
d’après 8.
n−1
29x + 123y = 2
Y
Donc X n−1 − 1̄ =
(X − k̄).
k=1
et on a 29 × 17 − 123 × 4 = 1 donc 17 ≡ 29−1 (123). On a donc :
Pour X = 0̄, on a alors :
−1̄ =
n−1
Y
29x ≡ 2
(−k̄) = (−1)n−1 (n − 1)! = −(n − 1)!,
⇐⇒ x = 34 + 123k, k ∈ Z
k=1
car n est impair.
– Réciproquement si n > 2 est tel que (n − 1)! = −1 + kn alors tout diviseur de d de
n compris entre 1 et n − 1 va diviser −1 c’est-à-dire d = 1 et n est premier.
3. Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications
(123) ⇐⇒ x = 2 × 17 ≡ 34 (123)
En reportant cette valeur dans 29x + 123y = 2, on obtient y = −8 − 29k, d’où l’ensemble des solutions {(34 + 123k, −8 − 29k) / k ∈ Z}.
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Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications
8
Lemme 15.
Preuve de 12: Supposons m et n premiers entre eux et considérons l’application :
f
Zm × Zn
(x̄, x̃)
Z
x
Soient p un nombre premier et α un entier naturel non nul. On a :
ϕ pα = (p − 1)pα−1 .
f¯
Z/ ker f = Zmn
L’application f est un morphisme d’anneau de noyau ker f = {x ∈ Z / m|x et n|x}.
Comme m ∧ n = 1, on a aussi ker f = {x ∈ Z / mn|x} = mnZ. L’application f se factorise
donc en un morphisme injectif f¯ : Zmn 7−→ Zm × Zn . Ces deux anneaux ayant même
cardinal mn, ils sont donc isomorphes.
Réciproquement, si n et m ne sont pas premiers entre eux les groupes additifs Znm et
Zn × Zm ne peuvent être isomorphes puisque 1 est d’ordre mn dans Zmn et tous les
éléments de Zn × Zm ont un ordre qui divise ppcm(m, n) qui est strictement inférieur à
mn.
Corollaire 14.
Preuve: Si p est premier, alors un entier k compris entre 1 et pα n’est pas premier avec
pα si et seulement si il est divisible par p, ce qui équivaut à k = mp avec 1 6 m 6 pα−1 .
Il y a donc pα−1 possibilités.
Donc ϕ pα = (p − 1)pα−1 .
Corollaire 16.
αk
1 α2
Si n > 2 a pour décomposition en facteurs premiers n = pα
où
1 p2 . . . pk
∀i = 1 . . . k, pi ∈ P alors
Si m ∧ n = 1 alors ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
ϕ(n) =
k
Y
i=1
Preuve: La restriction de l’isomorphisme f¯ à Z∗mn réalise un isomorphisme de groupes
multiplicatifs de Z∗mn sur Z∗m × Z∗n , ce qui entraîne :
i
pα
i (pi − 1) = n
k Y
1
.
1−
pi
i=1
ϕ(mn) = card (Z∗mn ) = card (Z∗m × Z∗n ) = ϕ(m)ϕ(n).
Le calcul de ϕ(n) est alors ramené à celui de ϕ pα où p est premier.
Fabien PUCCI
Preuve: Clair
3. Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications