Exercice - Colegio Francia

Donné le 09/11/05
Arithmétique DM#1
pour le 23/11/05
Exercice 1.
Etudier les restes de la division euclidienne par 7 de 2n et de 3n puis trouver pour quelles valeurs de n le
nombre (2n + 3n) est divisible par 7.
Exercice 2.
Déterminer le reste de la division euclidienne de 275275 par 7.
Exercice 3.
1. Résoudre l’équation diophantienne 5x² + y² = 45
(Essayer toutes les solutions possibles)
2. Démontrer que l’équation 7x² + 2y3 = 3 n’a pas de solution. (On pourra raisonner modulo 7)
(L'équation devient alors 2y33 [7] avec y modulo [7], il reste a essayer toutes les valeurs possibles de y
modulo 7)
Exercice 4.
1. Démontrer que pour tout nombre relatif a, a3 – a est divisible par 3
2. En déduire que si trois entiers relatifs x, y et z sont tels que la somme x3 + y3 + z3 est divisible par 3, alors la
somme (x + y + z) est aussi divisible par 3.
3. Démontrer que si x3 + y3 + z3 est divisible par 9, alors l'un au moins des trois nombres x, y ou z est
divisible par 3.
On prend x = 3k + i ; y = 3k’ + i’ et z = 3k" + i" avec i, i' et i" qui sont soit des 0, des 1 ou des 2.
Et on sait que x3 + y3 + z3 est divisible par 9…
Exercice 5.
Le numéro INSEE d’une personne est composé de 15 chiffres : les 13 premiers forment un nombre N qui
identifie la personne et les deux derniers forment une clé C calculée ainsi : C = 97 – r où r est le reste de la
division de N par 97.
Exemple : N = 1621111069129
Partie A : Calcul de la clé
Soit N = a12a11a10…a2a1a0 le nombre formé par les 13 chiffres du numéro d’INSEE.
1. Montrer que N  – 16 × a12a11a10a9a8 + 9 × a7a6a5a4 + a3a2a1a0 [97]
2. Calculer la clé dans l’exemple ci-dessus en utilisant le résultat de la question 1.
Partie B : Unicité de la clé
1. Changer l’un des chiffres du nombre N donné ci-dessus. La clé est-elle modifiée ?
2. Montrons que c’est toujours le cas et que la clé permet de détecter toute erreur faite sur un chiffre de
N.
Soit N et sa clé C. Notons N’ un nombre formé en modifiant un seul des chiffres de N, et C’ sa clé.
On supposera N > N’
a. A quelle condition sur N et N’ les clés C et C’ sont-elles les mêmes ?
b. Montrer que N – N’ est de la forme .10m où  et m sont des entiers tels que
1    9 et 0  m  12.
c. Quels sont les nombres premiers qui peuvent intervenir dans la décomposition en facteurs
premiers de N – N’ ?
d. Vérifier que 97 est premier. En déduire que 97 ne divise pas N – N’. Conclure.
Partie C : Les limites.
Donner un exemple d’erreur non détecté par la clé.