Exercice 25

Exercice 25
Soit H un sous-groupe de O+(r2) de cardinal n ≥ 2. Montrons qu’il est cyclique de 3 façons.
1ère façon : notons r(α) la rotation d’angle de mesure α. Soit H = {Id, r1, ... , rn–1} un sous-groupe fini de
O+(r2) de cardinal n ≥ 2. Soient α1, α2,... , αn–1 les mesures des angles de r1, ... , rn appartenant à ]0; 2π[ rangées
dans l’ordre strictement croissant. Pour j fixé appartenant à {1, ... , n – 1} posons A = {p ∈ n / αj – pα1 > 0}. A
est non vide car il contient 0 et borné (ce qui résulte immédiatement du fait que r est archimédien). On peut
donc poser µ = Max A. Par définition de µ on a :
µα1 < αj ≤ (µ + 1)α1 soit 0 < αj – µα1 ≤ α1. Mais r(αj – µα1) = r(αj)o[r(α1)]–µ ∈ H. Comme
x = αj – µα
1 ∈ ]0; 2π[ ce réel est donc égal à l’un des αk et donc à α1 puisque 0 < x ≤ α1. Par conséquent αj = (µ + 1)α1 et
rj = r1µ +1 . H est donc le groupe cyclique engendré par r1 et H = { r(kα1) / k ∈ n}. Enfin, comme H est de
2 qπ
(0 ≤ q ≤ n – 1). Si H’ est le sous-groupe
cardinal n, r1 est d’ordre n soit r1n = Id i.e nα1 ≡ 0 (2π) ou α1 ≡
n
de O+(r2) engendré par r(2π/n) on a donc H ⊂ H’ soit H = H’ puisque ces deux ensembles ont même cardinal
n.
2 ième façon : l’application de r dans O+(r2) qui à α associe r(α) est un morphisme de groupes surjectif dont
le noyau est 2πz. La décomposition canonique de ce morphisme (exercice 18) fournit donc un isomorphisme ϕ
de r/2πz dans O+(r2). On peut donc raisonner dans r/2πz et considérer le sous-groupe fini G = ϕ–1(H) de
r/2πz de cardinal n. On sait que par la projection canonique Π de r dans r/2πz les sous-groupes de r
contenant 2πz sont en bijection avec les sous-groupes de r/2πz (exercice V de la fin du chapitre). Comme les
sous-groupes de r sont denses ou de la forme az (a ∈ r*) et que G est fini il existe donc a ∈ r tel que
G = Π(az) avec az ⊃ 2πz. Cela implique que 2π = am avec m ∈ n* soit a = 2π/m. Finalement
⎛ 2πk ⎞
⎛ 2π ⎞
G = {⎜
⎟ / 0 ≤ k ≤ m – 1} qui est le groupe cyclique engendré par ⎜
⎟ de cardinal m. On a donc m = n et
⎝ m ⎠
⎝ m⎠
H est le sous-groupe de O+(r2) engendré par r(2π/n).
3 ième façon : soit (U, ×) le groupe des nombres complexes de module 1. L’application Ψ de U dans O+(r2)
définie par z = eiα 6 r(α) est un isomorphisme de groupes. Z = Ψ –1(H) est un sous-groupe de U à n éléments.
D’après le théorème de Lagrange (exercice 17) pour tout z de Z on a zn = 1 donc Z ⊂ Un, groupe des racines n–
ièmes de 1. Soit Z = Un car ces deux ensembles ont même cardinal. Un étant engendré par ei2π/n , H est engendré
par r(2π/n).
Soit G le groupe des déplacements du plan affine invariant un polygone régulier à n côtés, de sommets
consécutifs A1, ... , An. Soit f ∈ G. Comme {f(A1), ... , f(An)} = {A1, ... , An}, et que f conserve le barycentre,
l’isobarycentre O de (A1, ... , An) est invariant. Si f est distincte de l’identité c’est donc une rotation de centre O.
Si Ak (2 ≤ k ≤ n) est l’image de A1 par f, f est la rotation d’angle 2πk/n, i.e f = r(O, 2π/n)k. Par conséquent G est
le groupe cyclique à n éléments engendré par la rotation r(O, 2π/n) : ce groupe est clairement isomorphe au
groupe des rotations vectorielles engendré par r(2π/n).