Chapitre 3 : Cinématique 3d

Chapitre 3 : Cinématique 3d
1.Vecteurs
• Scalaires et vecteurs :
un scalaire est un nombre soumis aux lois de l’algèbre.
m
⇤a = (ax , ay , az )
un vecteur est un ensemble de nombres
soumis aux lois de l’algèbre vectorielle.
• Vecteurs 2d et 3d : un vecteur définit une position
ay
2d :
y
z
3d :
!a = (ax , ay , az )
az
!a = (ax , ay )
y
ax
ay
ax
x
x
un vecteur est caractérisé par une longueur, une orientation et un sens
2. Bases de l’algèbre vectorielle
• Base orthonormée : {⇤ex , ⇤ey , ⇤ez }
⇥ex
⇥ey
⇥ez
⇥ez
⇥ey
⇥ex
• Norme :
|⇥ex | = |⇥ey | = |⇥ez | = 1
!
|!a| = a = a2x + a2y + a2z
• Vecteur position : ⌃r = (x, y, z)
• Notations anglosaxonnes :
vecteurs unitaires
⇥r = r
|r| = r
“longueur” du vecteur
• Addition de vecteurs :
!b
!a + !b = !c
!c
⇧c = (ax + bx , ay + by , az + bz )
!a
!a − !a = !0
!a + !b + !c + d! + !e = !0
!e
d!
m⇤a
m⌅a = (max , may , maz )
dilatation
!a
• Produit scalaire :
!a.!b = ax bx + ay by + az bz
!a.!b = ab cos θ
a2 = !a.!a
cercle trigonométrique !
!a
θ
utile pour les projections
!b
• Produit vectoriel :
!
! !ex !ey
!
!a × !b = !! ax ay
! bx by
!
!ez !!
az !!
bz !
!a × !b
ϕ
|!a × !b| = |!a||!b| sin ϕ
!a
(!a × !b).!a = 0 = (!a × !b).!b
(!a × !b).!c = (!b × !c).!a = −(!a × !c).!b
• Base dextrorsum :
⇥ex
⇥ey = ⇥ez
repaire “droit”
!b
3. Cinématique et vecteurs
• Déplacement :
1d :
∆x = xf − xi
3d :
• Vitesse : vitesse moyenne :
⌃r = ⌃rf
v¯ =
⌃ri = ( x, y, z)
r
=
t
vitesse instantanée : v = lim
t
0
x
,
t
y
,
t
z
t
r
dr
=
=
t
dt
la vitesse est toujours tangente à la trajectoire !
d⌃v
d2⌃r
• Accélération : ⌃a =
= 2
dt
dt
accélération rarement tangente à la trajectoire.
⇥
dx dy dz
, ,
dt dt dt
⇥
• Composition du mouvement
MRUA
y
x MRU
grandeurs vectorielles
séparation des composantes
(attention au choix des axes)
MRUA
MRUA + MRU
4. Tir parabolique
• Exemples : chute libre, tir balistique
• Trajectoire : données du problème = θ et vi
- portée ? R
y
θ = 75◦
θ = 60◦
θ = 45◦
θ = 30◦
θ = 15◦
ax = 0
ay = −g
vx = vi cos θ
vy = vi sin θ
h(θ = 75◦ )
- hauteur ? h
x
R(θ = 45◦ )
suivant x : MRU :
xf = (vi cos θ) t
suivant y : MRUA :
1 2
yf = (vi sin θ) t − gt
2
en éliminant t :
y = (tan θ) x −
!
g
2vi2 cos2 θ
"
x2
= parabole
hauteur ? vy = 0 en t = ts
0 = vi sin θ − gts
vi2 sin2 θ
h=
2g
portée ?
vi sin θ
ts =
g
h max quand θ = 90◦
2ts = tvol
R = vi cos θ2ts
vi2 sin 2θ
R=
g
R max quand θ = 45◦
• Dans la réalité : effet de l’air (frottements)
y
x
L’angle optimal est inférieur à 45°
5. Mouvement circulaire uniforme
• Définition : trajectoire circulaire et |!v | = v = cte
!vf
∆!r
!vi
!rf
!ri
θ
θ
!vi
θ
∆v
∆r
=
v
r
v ∆r
∆v
=
ā =
∆t
r ∆t
∆ semblables :
∆!v
!vf
v2
a = lim ā =
∆t→0
r
• Accélération centripète :
- accélération radiale (perpendiculaire à !v )
- change l’orientation du vecteur vitesse
- dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire
- module :
v2
ar =
r
• Example : rotation de la Terre
!ar
!v
!ar
Soleil
Plan de l’écliptique
Plan équatorial
Axe de rotation
accélération dépend de la latitude
accélération dirigée vers l’axe de rotation
A l’équateur, l’accélération centripète a la même orientation que la gravité.
v2
ar =
RT
equateur
40000000 m
v=
=
≈ 463 m/s
jour
24 60 60 s
RT = 6000000 m
ar = 0.036 m/s2
ar ! g
L’accélération centripète terrestre est négligeable
par rapport à l’accélération de la gravité.
6. Trajectoire quelconque
• Accélération totale = accélération radiale + accélération tangentielle
!v
!a
!at
!a
!ar
!a = !ar + !at
• Formulation :
v2
change la direction de v
ar =
r
dv
at =
change l’intensité de v
dt
a=
!
a2r + a2t
7.Vitesse et accélération relatives
• Exemples : en voiture, sur un tapis roulant, en avion, en bateau
!v
Lucky Luke voit les Dalton avancer.
Les Dalton voient Lucky Luke reculer !
• Repères galiléens : vitesse relative constante
• Transformation galiléenne : vitesse relative constante
z!
z
y
y
!
!v0
x!
x
!r
!r!
!r! = !r − !v0 t
d!r!
dt
d!r
=
− !v0
dt
dt
dt
!v ! = !v − !v0
d!v !
d!v d!v0
=
−
dt
dt
dt
!a! = !a
• Problème des deux trains :