5:Dynamique des rotations I. Quelle(s) force(s) effectuent un mouvement circulaire uniforme ? La condition centripète II. Comment peut-on changer la vitesse angulaire ? Le moment de force Moment d’inertie III. Le mouvement dans un référentiel tournant se décrit comment ? Force centrifuge Force Coriolis Préparation au cours et aux exos Chapitres du Giancoli à lire avant le cours (3.5 p): 5-3 Dynamics of uniform circular motion 10-5 torque 11-8 Rotating frames of reference Exercices simples (4) à faire avant la séance d’exos: Giancoli 5-34, 49 Giancoli 10-26, 27 Giancoli chapitres 5-3 à 5-5; 10-4(5); et 11-2, 11-8. 11-9 5-1 Phys I SV 2013 5-1. Quelle force nette effectue un mouvement circulaire uniforme ? & R{ r Jusqu’à maintenant: forces des mouvements rectilignes. & · § ¨ ¦ Fk ¸ © k ¹R & ma k & ma R La condition centripète (radiale) & & · § FR { ¨ ¦ Fk ¸ ¹R © k En norme: FR & v2 r m r r m v2 R const De la cinématique des rotations (leçon 3): v2 Z 2r r NB. aR A v ĺaR ne change pas la norme de v & mZ r 2 Exemple seau avec ficelle (une seule force): R Freactio mZ 2 R NB. Où se trouve la Reactio ? Phys I SV 2013 dT (t ) dt aR 2. Newton: pour qu’une vitesse change de direction, il faut une force nette k Z (t ) { (même si v FRQVWDQWH radiale (vers le centre) dont la norme 1. présence impérative de aR & |v(t)| =constante Il faut une accélération avec composante Question: Est-il possible d’accélérer sans changer la norme de la vitesse ? ¦F const NB. FR subitement nulle la balle continuera en direction de la dernière vitesse (1er loi de Newton)… 5-2 Quiz & Démo: Pendule conique Situation: Une balle est suspendue par une ficelle. Le système balle-ficelle est en mouvement. 1. Oui 2. Non Question: Est-ce que l’angle de suspension T dépend de la masse m de la balle ? 3. Pas assez d’info 2ème loi: FTsinT=ma T Condition centripète a= Z2r ĺ FTsinT=mZ2r FN mg Pas d’accélération verticale: FTcosT=mg -mg -mg sin T cos T mZ 2 r mg tanT=Z2r/g mv2/r 5-3 Phys I SV 2013 La centrifugeuse Force subie par une masse m au fond du 2 tube à distance R de l’axe e.g. R=0.05m, f=6000min-1 FR mZ R Accélération centripète aR = Z2R = 6.32f2R = 20000m/s2 ~ 2000g Bon à savoir: (2S)2 # 40 DFFpOpUDWLRQJUDYLWDWLRQQHOOH JĺSRLGVHVW négligeable Pourquoi faut-il qu’on équilibre la centrifugeuse ? a g R Z Conséquence de Actio=Reactio (3ème loi): La centrifugeuse subit les forces qui correspondent à celles de l’échantillon 2000g: 0.001kg ĺ 2kg Avec masses identiques ! Phys I SV 2013 5-4 4XHOOHVVRQWOHVIRUFHVG·XQSHQGXOH ? mouvement circulaire non-uniforme Dynamique des rotations: n’effectue qu’un changement de direction de vitesse & FR & maR & Ftan & v(t ) 2 r m r r & dv(t ) v m dt v & mZ 2 r & matan change la norme de la vitesse Situation: Un vêtement (de masse m) se trouve dans un lave-linge de rayon R vertical en mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire Z. Question: Quelle est la vitesse minimale nécessaire pour que le linge ne tombe pas ? FR=mZ2R=F-mg FR=F-mgcosT=0 Ftan=0 Ftan=-mgsinT F T v=max v=0 mg mg v=const T Condition centripète: FR=maR mg > FR R La pièce tombe quand la condition de force centripète FR, impérativement nécessaire, devient inférieure au poids mg : FR=mv2/R=mg v2 = Rg ou bien T2 # 4 R Z2=g/R ĺ72=4S2R/g Phys I SV 2013 5-5 Ex. lave-linge – un carrousel vertical Où se trouve la réaction de mg ? Freactio =FN (agit sur lave linge) v=const Situation: Un seul vêtement de linge (de masse m) se trouve dans un lave-linge de M=100kg avec rayon R de 0.2m en mouvement circulaire uniforme avec une fréquence de 30Hz (1800rpm). Questions: Quelle(s) force(s) extérieure(s) le vêtement subit-il ? FR FR T Quelle masse de linge faut-il pour que la machine commence à se déplacer ? a La réaction (reactio) de la force centripète du vêtement moins son poids (pourquoi?) doit être plus grande que le poids de la machine quand la pièce passe en haut: mg FR =FN+mg Freactio=FR-mg>Mg mZ2R-mg = Mg il suffit d’avoir un déséquilibre de 140g Phys I SV 2013 m Mg Z2R g Z2=40Â900 ĺZ2R - g = 7200 [m/s2] Mg=100Â >1@ (m=1000/7200 [kg]) et 5-6 5-2. 4XHOOHORLGpFULWO·DFFpOpUDWLRQDQJXODLUH" moment de force, moment d’inertie Situation: Un objet forcément sur une trajectoire circulaire avec une norme de vitesse non-constante, soumis à une force F. Question: Comment la force F influence-t-elle l’accélération angulaire D? FR F Ftan De la cinématique des rotations (leçon 3): Deux composantes de l’accélération, aR et atan & Impérative: Doit être satisfait 2& Z r aR & & r u atan rA D & F & & m(aR atan ) & & & ¦ Fi FR Ftan & & & & 2 r mZ t u Z t u r mrZ t r 2ème loi de Newton: Phys I SV 2013 La 2ème loi des rotations: & & && 22 & r ruuFFtan mrmr t A D W & ma I W: Moment de Force F (couple) I: Moment d’inertie de l’objet, rA: distance pr à l’axe de rotation & ¦W i & ID Résistance à changer la vitesse angulaire pour tous v(t), ne change pas la norme de Z change la norme de la vitesse angulaire o accélération angulaire 2 & & FR Capacité d’une force de faire tourner un objet NB. Le Moment de force et d’inertie dépendent du choix de référentiel ! (utiliser comme origine l’axe de rotation: c’est différent de m et F) 5-7 Inertie des rotations résistance à changer la vitesse angulaire & & r uF Quiz: Quelles m1, m2, m3 à mettre à x1 x2 et x3 pour que la barre reste en équilibre (i.e. son accélération angulaire D=0) ? x1 O m=1kg 33 x2 2 & mrA D & ¦W i & ID Moment d’inertie I x3 m: masse inertielle (constante d’un objet) I: Moment d’inertie (dépend de la géometrie de l’objet, et son distance pr à l’axe de rotation) Dans quelles situations utilise-t-on la possibilité de changer l’inertie des rotations ? Lequel est plus stable (A ou B)? A B Un «tape-cul»: A B 5-8 Phys I SV 2013 La dynamique en bref (Leçons 4 & 5) La dynamique linéaire est jumelée avec celle des rotations 1. Les 3 lois de Newton: 1. Loi d’inertie: v=const sans forces & Fnet 2. Force nette 3. Actio=Reactio & ¦F i & ma + addition/multiplication des vecteurs + cinématique (différentiation et intégration des vecteurs) 2. Forces de frottement: Frottement visqueux: Frottement statique & dynamique: 3. Loi de Hooke: Ffr{PFN Ps(v=0)k(vz0) & Fressort & kx 4. Dynamique des rotations: La 2ème lois des rotations: Condition centripète & FR r& u F & & & & mZ u Z u r & mZ 2 rA Fv = -b(vc–vf) net 2 & mrA D W Phys I SV 2013 & ¦W i & ID 5-9 I 5-4. Le référentiel tournant Rappel: La condition centripète Dans un référentiel d’inertie: Un mouvement circulaire (avec v=const) exige une accélération centripète a=v2/r vers le centre du cercle (leçon 3) Condition centripète : la composante radiale de la force nette a une norme de FR=mv2/r=mZ2r (vers le centre du cercle) Z aR F Ffr mZ2r FN carousel T mg F est appliquée à la fille par son siège. (On ne s’occupe que des forces horizontales ici) Quelle est la vitesse des voitures dans le «cercle de mort» ? Analyse des forces (Du pendule conique): tanT= Z2r/g = 4S2r/(T2g) = 4r/T2 T=4s, r=8m: tanT= 2 ĺT=600 Phys I SV 2013 v = 2Sr/T = 12.6m/s = 45km/h (aR=2g) 5-10 Comment modifie-t-on la 2ème loi des rotations dans un référentiel accéléré (Ex. ascenseur) ? (voir leçon 3) Situation: On lâche une balle dans un ascenseur en chute libre y’ Question: Quelle est la force nette (norme) de la balle par rapport à l’ascenseur? A y A. mg + ma0 a0 = -g B. Zéro C. mg – ma0 z 0 O Conclusions Pour une propre description du mouvement dans le référentiel accéléré: (de la personne dans l’ascenseur): Il faut ajouter une force fictive –ma0 [opposée à l’accélération réelle de l’ascenseur.] A réfléchir: comment peut-on augmenter le poids de la pomme? 5-11 Phys I SV 2013 Quelle force fictive doit-on ajouter à un objet qui est immobile dans un référentiel qui tourne ? Dans ce référentiel, qui fait un mouvement circulaire correspondant à celui du carrousel, on observe que la fille 1. 2. ne bouge pas, mais elle est toujours soumise à la force du siège … Z=0 Fcf F carousel Je suis immobile mais je sens une force FCf qui me pousse contre le siège... Newton: « F=ma » & « Actio=reactio »: Il faut introduire une force (accélération) fictive qui s’appelle force centrifuge – dirigée vers l’extérieur, sa norme est mv2/R & FCf & & & mZ u Z u r FCf est une force fictive, force inertielle, conséquence d’un référentiel accéléré Voir force centripète/radial: FCf = -FR Z Zxr R FCf r T 5-12 Phys I SV 2013 Faut-il ajouter que la «force» centrifuge afin de décrire tous les mouvements dans un référentiel tournant ? Situation: Un pendule est lancé au-dessus d’un disque tournant. Admettons que son amplitude (RsinT) soit le diamètre de la plaque et sa période égale à celle du disque. Observations: Le pendule se meut sur une ligne droite dans le référentiel d’inertie, mais sa trajectoire est circulaire dans le référentiel du disque. Est-ce que la force centrifuge suffit à expliquer le phénomène ? Voir aF’=Z2r’ Vue d’en haut est zéro au centre du cercle, mais le mouvement est toujours un cercle dans le référentiel tournant. (référentiel d’inertie) 5-13 Phys I SV 2013 Quelles sont les forces inertielles (fictives) à ajouter dans un référentiel tournant ? Les effets d’un référentiel tournant. Il «Force» centrifuge faut ajouter à la force nette du RI deux forces fictives (forces inertielles): «Force» Coriolis & & & mZ u Z u r & & 2mZ u v Z Quand ces effets sont-ils importants? Rotations avec vitesse angulaire élevée Fco Trajectoires de grande distances (artillerie, capitaine Bombard) Pas importants: Lavabos, écoulement de l’eau Fusil sports Phys I SV 2013 5-14 Preuve: La force Coriolis La force centrifuge n’explique pas tous les mouvements dans le référentiel tournant Situation: Un objet passe par le centre du carrousel. Dans le référentiel tournant cet objet a subit une accélération perpendiculaire à sa vitesse. (on considère un petit temps 't de passage par le centre). 'x’ 'x’ = 'y’ sin'T = vy'tsin'T = vy't'T = vy't'tZ 'T=Z't De la cinématique: 'x’ = ac't2/2 axc = 2vyZz vy't'tZ vy sin'T#'T Quelle expression vectorielle ? 'T Zz 'y’ = vy't & aCo & & 2Z u v NB. Les mouvements parallèles à Z n’ont pas subi une telle accélération et n’entrent & pas en considération. dr & & Pourquoi ? Voir … dt Zur 5-15 Phys I SV 2013 5-16 Phys I SV 2013 5-17 Phys I SV 2013 5-18 Phys I SV 2013