TP6 (23/2)

6. Exercises TP6, le 23 février 2017
Exercice 6.1. Soit
F (0) = 0, F (1) = 1, F (2) = 1, F (3) = 2, F (4) = 3, F (5) = 5, F (6) = 8, . . .
la suite de Fibonacci.
Montrer pour chaque n ∈ N
n
X
F (i)2 = F (n)F (n + 1).
i=0
Par exemple pour n = 6:
02 + 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82 = 8 · 13.
Exercice 6.2. (i) Montrer par le principe de l’induction que
02 − 12 + 22 − 32 − . . . + (−1)n n2 = (−1)n n(n + 1)/2
pour chaque n ∈ N.
(ii) Montrer sans induction, mais avec le principe du bon ordre, que
02 − 12 + 22 − 32 − . . . + (−1)n n2 = (−1)n n(n + 1)/2
pour chaque n ∈ N.
Exercice 6.3. (i) Soit m un nombre naturel positif et n un entier. Montrer en utilisant le principe
du bon ordre qu’il existe un q ∈ Z et un r ∈ N tel que 0 ≤ r < m et n = qm + r.
[Indice: Considérer l’ensemble E ⊂ N des nombres a ∈ N qu’on peut écrire comme
a = n − dm,
où d ∈ Z (et a ≥ 0). E n’est pas vide, parce que .... Alors E a un minimum. Ce minimum est
entre 0 et m − 1 (sinon ....). Puis conclure ....]
(ii) Soit a = qm + r ∈ Z avec 0 ≤ r < m et b = q 0 m + r0 ∈ Z avec 0 ≤ r0 < m, comme dans (i).
Montrer a ≡m b si et seulement si r = r0 .
Exercice 6.4. (i) Soit a = 423 + 76 · 3553 + 17. Trouver un r ∈ {−1, 0, 1} tel que
a ≡3 r.
(ii) Trouver un nombre naturel n tel que (simultanément) n ≡2 1, n ≡3 2 et n ≡5 3.
(iii) Montrer que si a, b, c, d sont des entiers tels que a|c et b|d alors ab|cd.
(iv) Montrer que si a, b, c sont des entiers tels que ac|bc et c 6= 0 alors a|b.
Exercice 6.5. Soit
E := {n ∈ N| n 6= 0, ∃ r ∈ Z, ∃ s ∈ Z (n = 70r + 495s)} ⊂ N
Cet ensemble n’est pas vide, alors a un unique minimum, disons m.
(i) Montrer que pour chaque a ∈ N, a > 0, aussi am ∈ E.
(ii) Montrer que si n ∈ E et n = qm + r, 0 ≤ r < m, q ∈ Z alors r = 0. C.-à-d., m|n et en
particulier m|70 et m|495
(iii) Trouver ce minimum m.
7
8
√
Exercice 6.6. Utiliser le principe du bon ordre pour montrer que 2 n’est pas une fraction.
√
[Indice: Supposons par contre que 2 est une fraction. Alors l’ensemble
√
E := {n ∈ N| ∃ m ∈ Z : n = m 2}
√
n’est pas vide. Si n ∈ E alors n( 2 − 1) ∈ E aussi, parce que .... Et cetera.]