texte de la PC - Ecole polytechnique

ECOLE POLYTECHNIQUE − Promotion X2015
Laurent Sanchez-Palencia ([email protected])
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY431.html
RELATIVITÉ ET PRINCIPES VARIATIONNELS (PHY431)
Petite Classe 8 (10 janvier 2017)
Un zest de relativité générale et quelques rappels sur les processus
collisionnels
Cette PC est consacrée d’une part à l’étude de l’une des premières applications de la relativité
générale (avance du périhélie de Mercure) et d’autre part à quelques rappels concernant les
processus réactionnels.
1
Le problème de Kepler (suite)
Nous reprenons le problème de Kepler abordé dans le cadre de la dynamique hamiltonienne
classique à la PC7. Nous l’appliquons ici à la planète Mercure. L’orbite (classique) de cette
dernière est elliptique avec une très faible excentricité (orbite quasi-circulaire de rayon moyen
r ≃ 55 × 106 km). Au niveau classique, nous avions montré que le vecteur de Runge-Lenz,
~
~ ≡ p~ × L − k ~r ,
K
m
r
(1)
est une quantité conservée. Dans la formule ci-dessus, nous avons noté k ≡ GM m où G =
6, 67 × 10−11 m3 /kg.s2 est la constante de gravitation universelle, M ≃ 2 × 1030 kg est la masse
~ pointe
du Soleil et m est la masse de Mercure. De plus, nous avions montré que le vecteur K
dans la direction du périhélie.
Nous nous intéressons à présent aux corrections de la trajectoire induites par la relativité générale.
1. Le Soleil étant supposé statique et à symétrie sphérique, on utilise la métrique de Schwarzschild,
g00 = 1 − RS /r
,
grr =
−1
1 − RS /r
,
gθθ = −r 2
,
gϕϕ = −r 2 sin2 θ,
où RS = 2GM/c2 est le rayon de Schwarzschild.
(a) Justifier que l’on peut utiliser le lagrangien
m
1
2
2
2
2
2
2
ṙ − r θ̇ + sin θ ϕ̇
L=
,
(1 − RS /r) (cṫ) −
2
1 − RS /r
ẋ = dx/dτ représente la dérivée par rapport au temps propre τ .
1
(2)
(b) A l’aide des variables cycliques du lagrangien, déterminer les quantités conservées.
Justifier que le mouvement est plan, de sorte que l’on peut se limiter au plan θ = 0.
(c) En déduire que l’équation des trajectoires peut s’écrire
L2
GM m GM L2 1
1
mṙ 2
+
−
−
=
2
2mr 2
r
mc2 r 3
2
E2
2
−
mc
,
mc2
(3)
où L est le moment cinétique et E est l’énergie.
(d) Ecrire la limite non-relativiste du membre de droite de l’équation ci-dessus. En déduire que dans cette limite, les corrections relativistes sont décrites par le hamiltonien
perturbatif
GM L2 1
δH = −
.
(4)
mc2 r 3
2. Nous utilisons à présent une description classique avec le hamiltonien H = Hcl + δH.
(a) Montrer que l’équation d’évolution du vecteur de Runge-Lenz s’écrit
~ × ~r
~
3kL2 L
dK
= 3 2 5 .
dt
m c r
(5)
(b) En déduire que l’angle de rotation du périhélie par période classique s’écrit
δΘ ≃ 6π
GM
rc2
(6)
pour une orbite quasi-circulaire de rayon moyen r.
(c) En déduire la précession du périhélie de Mercure en secondes d’arc par siècle.
2
Seuil de réaction
On considère un processus réactionnel de la forme
a1 + a2 + ...
→
b1 + b2 + ...
où au moins l’une des particules initiales ou finales est massive. L’état initial est donné, c’est-àdire que l’on suppose connues les quadri-impulsions de toutes les particules aj , et on cherche à
savoir s’il existe un état des particules b1 , b2 , ... satisfaisant les lois de conservation fondamentales.
1. Les réactions suivantes sont-elles possibles ?
(a) Désintégration d’un photon (γ) en un électron (e− ) et un positron (e+ ) ;
(b) Emission d’un photon par un électron.
2. Que se passe-t-il lorsqu’un corps massif (X) intervient dans les réactions ci-dessus ? En
d’autres termes, les réactions X + γ → X + e− + e+ et X + e− → X + e− + γ sont-elles
possibles ?
3. Production de paires electron-positron par des photons. Un photon de très haute énergie
(rayon gamma) produit par certaines sources astrophysiques peut interagir avec un photon
de basse énergie pour former une paire électron-positron.
2
(a) Exprimer le pseudo-module carré de la quadri-impulsion des deux photons incidents
en fonction de leurs énergies E1 et E2 et de l’angle θ formé par leurs vecteurs d’onde.
(b) Ecrire la condition de seuil.
(c) A quelle énergie minimale le photon de haute énergie peut-il réagir un photon de basse
énergie E1 = 1eV pour former une paire électron-positron ?
4. La coupure GHZ. Les protons (mp ≃ 0, 94GeV/c2 ) de très haute énergie qui constituent la
majeure partie des rayons cosmiques peuvent interagir avec les photons de basse énergie
du rayonnement fossile (Eγ ∼ 7 × 10−4 eV à T ≃ 2, 7K), Le processus élémentaire s’écrit
p + γ → ∆+ ,
où ∆+ est un état intermédiaire de masse m∆ ≃ 1, 23GeV/c2 . Ce dernier se désintègre
alors en un neutron (n) et un pion positif (π + ) ou en un proton (p) et un pion neutre
(π 0 ). Déterminer l’énergie minimale du proton pour que la réaction puisse avoir lieu. On
pourra supposer qu’elle est très supérieure à son énergie de masse.
3
Désintégration d’une particule en mouvement
On considère une particule a de masse ma en mouvement à la vitesse ~va dans le référentiel inertiel
(R). Celle-ci se désintègre en deux particules b1 et b2 de masses m1 et m2 .
1. On étudie tout d’abord la désintégration dans le référentiel du centre de masse, (R∗ ).
(a) Quelle condition doivent satisfaire les masses pour que la réaction puisse avoir lieu ?
(b) Déterminer alors les énergies et impulsions des particules produites. Montrer que p~1∗
et ~
p2∗ décrivent une sphère.
2. On étudie à présent la désintégration dans le référentiel (R) du laboratoire.
(a) Exprimer les énergie et impulsion de b1 dans (R) en fonction de celles dans (R∗ ).
(b) Montrer que p~1 décrit une ellipse dont on déterminera les paramètres.
(c) En déduire qu’il existe une valeur critique vac de la vitesse de la particule a au-delà de
laquelle l’angle entre les vitesses de a et b1 est bornée supérieurement.
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