_6_ Cas particulier des photons

34
VI
Applications au mouvement des photons
dans un référentiel accéléré
La relativité restreinte permet de traiter le photon comme un corpuscule se déplaçant à
la vitesse de la lumière.
Pour une onde électromagnétique dont la propagation est orientée suivant Ox, on
posera :
dx = ±c
dt
(VI-1)
Le signe plus représente une onde qui se dirige vers les x positifs, le signe moins une
onde qui se propage vers les x négatifs.
Dans la suite de ce chapitre, nous considérerons seulement le signe plus, tous les
résultats pour une vitesse de propagation opposée se déduisant par changement du signe de c.
L’énergie du photon dans le référentiel (R) sera égale à :
E = m c² = h ν
(VI-2)
L’énergie du photon dans le référentiel (R’) sera égale à :
E’ = m’ c² = h ν’
(VI-3)
Où ν et ν’ sont les fréquences de l’onde électromagnétique dans les référentiels (R ) et
(R’).
Lorsqu’on parlera de masse du photon, ce sera toujours pour un photon qui évolue à la
vitesse de la lumière, et cette masse représentera son énergie au coefficient c² près. Tout autre
interprétation est dénuée de sens physique.
On peut alors établir les relations de transformations des grandeurs physiques,
particularisées à des ondes se propageant à la vitesse de la lumière.
I - Transformation des vitesses
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De la transformation des vitesses entre deux référentiels (R) et (R’) en mouvement relatif
accéléré :
dx − v
dx' = dt
dt' 1 − v dx
c2 dt
(VI-4)
on déduit, comme en relativité restreinte que c’ = c lorsque dx/dt = c,
La vitesse de la lumière orientée suivant l’axe Ox reste constante et égale à c, qu’elle
soit vue du référentiel (R) ou du référentiel (R’).
Lors d’une accélération relative des référentiels, permettant de passer d’une vitesse
relative v1 à une vitesse relative v2, la vitesse de la lumière qui est constante et égale à c dans
l’état 1, est également constante et égale à c dans l’état 2.
La relation (VI-4) indique que cette vitesse reste également constante dans la phase
d’accélération qui permet de passer de l’état 1 à l’état 2. L’énergie supplémentaire liée à
l’accélération relative se retrouve intégralement dans la masse du corpuscule, et donc dans la
fréquence du rayonnement et non dans la vitesse de propagation.
Ces conclusions sont différentes lorsque le photon se déplace dans un référentiel muni
d’un champ de gravitation et il convient de différencier ces deux situations.
Suivant Oy, la transformation des vitesse s’écrit :
2
1 − v2
dy' dy
c
=
dt'
dt 1 − v dx
c2 dt
(VI-5)
Pour une onde se propageant à la vitesse c suivant l’axe Oy, on doit poser dy/dt = c et
dx/dt = 0. On obtient :
2
dy'
= c 1 − v2
dt'
c
dx' = −v
dt'
(VI-6)
Dans le référentiel (R’), la norme de la vitesse au carré (dx’/dt’)² + (dy’/dt’)² reste
constante et égale à c², quelle que soit la vitesse relative v des référentiels. Dans le cas d’un
mouvement relatif accéléré suivant l’axe des x, la vitesse relative v varie à chaque instant, ce
qui courbe la trajectoire de la lumière, mais la norme de sa vitesse reste constante et égale à c
à chaque instant conformément aux relations (VI-6).
II - Transformation des accélérations
La transformation générale des accélérations suivant Ox entre deux référentiels (R) et (R’)
en mouvement relatif accéléré est donnée par :
35
36
3
2
1 − v2
1−
2
2
c
d x' = d x
−
a
3
dt'²
dt² 

1 − v
v
dx
 1 − 2 dt 

c
c2



v2
c2
a dx
2 +
c2 dt
dx 
dt 
( )
(dxdt − v ) 1 − vc
2
2
3
 1 − v dx 


c2 dt 

(VI-7)
La lumière se propageant à vitesse constante c dans le référentiel (R), on peut
s’interroger sur son accélération dans un référentiel (R’) en mouvement relatif accéléré par
rapport à (R).
Posons d²x/dt² = 0 et dx/dt = c dans (VI-7) :
2
2
1 − v2
(c − v ) 1 − v2
c + a
c =0
d x ' = −a
2
3
dt'²
c
v
v
1−
1−
c
c
2
(
)
(
)
(VI-8)
Son accélération est donc nulle dans le référentiel (R’), en accord avec les résultats
obtenus sur la transformation des vitesses (la vitesse de la lumière reste constante et égale à c,
y compris dans les phases d’accélération relative des référentiels). Cette propriété reste vraie
si la direction de propagation de la lumière est inversée, c’est à dire si dx/dt = - c.
On peut noter que la constance de la vitesse de la lumière dans deux référentiels ayant
un mouvement relatif accéléré n’est vérifiée que si l’accélération est dans la direction de la
translation des référentiels et leur permet de passer d’une vitesse relative v à une vitesse
relative v + dv.
Lorsque les deux référentiels sont en accélération relative sans mouvement de
translation comme c’est le cas pour deux référentiels situés sur un disque en rotation, ou deux
référentiels, l’un muni d’un champ de gravitation et l’autre non, cette propriété disparaît, et on
est conduit à admettre que la vitesse de la lumière peut varier lorsqu’elle est mesurée dans un
tel référentiel. Cette variation est liée aux propriétés intrinsèques de l’espace-temps qui
modifient les caractéristiques de propagation des rayons lumineux.
III - Transformation des masses
La transformation des masses entre deux référentiels (R) et (R’) en mouvement relatif
accéléré est donnée par :
m' =
v dx 

1− 2


v 2  c dt 
1− 2
c
m
(VI-9)
d’où on déduit qu’un photon de masse m dans le référentiel (R) aura une masse m’ dans le
référentiel (R’) donnée par :
36
37
(
)
1−
v =m
m' =
1
−
2
c
1+
1 − v2
c
m
v
c
v
c
(VI-10)
et puisque son énergie est donnée par E’ = m’ c² = h ν’ et E = m c² = h ν, on déduit :
ν' = m' =
ν
m
1− v
c
1+ v
c
(VI-11)
qui est la relation traduisant le décalage en fréquence du à l’effet doppler. Toutes ces relations
sont sans changement par rapport à la relativité restreinte.
IV - Transformation des dérivées temporelles des masses
La relation générale qui relie ces dérivées temporelles est la suivante :
(
)
v d2x
dx − v
dm' = dm − m c2 dt 2 − m a
dt
2
dt'
dt
v
dx
c  1 − v dx  1 − v2 
1− 2



dt
c
c2 dt 
c2 

(VI-12)
Elle est particularisée aux photons en posant dx/dt = c :
a
dm' = dm − m c
2
dt'
dt
1 − v2
c
(VI-13)
Pour un photon d’énergie constante du référentiel (R), on a dm/dt = 0, et donc dans le
référentiel (R’) :
a
dm' = −m c
2
dt'
1 − v2
c
(VI-14)
On peut effectuer une vérification de cette relation de la manière suivante :
Entre deux référentiels (R) et (R’) en mouvement de translation uniforme, les masses
respectives des photons sont liées par la relation suivante déduite de la relativité restreinte :
(
)
1−
v =m
m' =
1
−
2
c
1+
1 − v2
c
m
v
c =m c−v
c+v
v
c
(VI-15)
37
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Si la vitesse relative v des référentiels subit une petite variation dv, on en déduit que la
masse m’ va subir une petite variation dm’ égale à :
− (c + v) − (c − v)
(c + v )2
1
dm' = m
dv = − m
dv
3
c
c
−
v
2
v
v
2
1+
1−
c+v
c
c
)
(
(VI-16)
Cette variation doit être cohérente avec celle qui est fournie par l’extension de la
transformation de LORENTZ aux référentiels accélérés (VI-14). Nous déduisons de cette
dernière :
a
dm' = −m c 2 dt'
1 − v2
c
(VI-17)
et nous avons pour un photon :
1 − v2 dx
1− v
dt' =
c dt =
c
2
dt
v
1+ v
1− 2
c
c
(VI-18)
d’où l’expression de dm’ :
a
dm' = −m c 2
1 − v2
c
1− v
c dt = − m
1
1
(adt ) = − mc
dv
3
3
v
c
2
2
1+
v
v
v
v
1+
1−
1+
1−
c
c
c
c
c
(VI-19)
(
)
(
)
Soit donc l’accroissement de masse prévu par la relativité restreinte (VI-16) lorsque la vitesse
relative des référentiels passe d’une vitesse constante v à une vitesse constante v + dv.
V - Transformation des forces
VI-1 transformation suivant l’axe Ox
De la relation de transformation générale
dx − v
mav
dt
1
( Fx − Fe ) + 2
Fx ' =
c  1 − v dx  1 − v2 
1 − v2 dx



c dt
c 2 dt 
c2 

(VI-20)
on obtient en introduisant une vitesse de la particule dx/dt = c :
38
39
Fx ' =
mav
− Fe )
+ c 2
1− v
1 − v2
c
c
( Fx
(VI-21)
Pour un photon soumis à une force nulle dans le référentiel (R), on a Fx = 0 et Fe = ma
car dm/dt = 0, le photon évoluant à vitesse constante dans le référentiel (R) :
(
)
− ma 1 + v + mav
c
c = − ma
Fx ' =
2
2
v
1− 2
1 − v2
c
c
(VI-22)
et nous pouvons vérifier que cette dernière relation est cohérente avec les précédentes de la
manière suivante :
Pour un photon qui évolue dans le référentiel (R’) à la vitesse c, le travail
infinitésimal réalisé par la force Fx’ qui s’exerce sur le photon s’obtient en multipliant cette
force par un déplacement infinitésimal dx’ :
dE' = Fx' d'x = − ma 2 dx'
1 − v2
c
en notant que pour un photon :
1 − v dt
1−
dx = dx
dx' = dx
2
1+
1 − v2
c
(VI-23)
v
c
v
c
(VI-24)
on obtient :
dE' = − ma 2
1 − v2
c
1− v
c dx
v
1+
c
(VI-25)
Si ce travail dE’ est converti intégralement en énergie de masse dm’ c², la variation de
masse dm’ correspondante est donnée par la relation :
dm' = −
ma
c2 1 − v 1 + v
c
c
(
)
3
2
dx = −
ma
c2 1 − v 1 + v
c
c
(
)
3
2
dx dt = −
dt
m
3 (adt)
v
v
c 1− 1+ 2
c
c
(VI-26)
(
)
en cohérence avec les relations (VI-16) et (VI-19).
VI-2 transformation suivant l’axe Oy
La relation est sans changement par rapport à celle de la relativité restreinte :
39
40
2
2
1 − v2
1 − v2
1+ v
c
c
c
Fy' = Fy
= Fy
= Fy
v
dx
v
v
1− 2
1−
1−
c
c dt
c
(VI-27)
40