Télécharger le fichier (1/1 ) (format PDF)

:-r.-g,:
~-O:;&'L~~'iis:m
Physique: Interrogation
n° 4
*·e:W::W*z;*k~~~
~~4iSiiGt:iifuf
i'S~
~~~~u.,~"~~~·~.mr:fWMmi~J%4*$M"t41$¥w'f:iii'!4~~k~"""'tm.w$
. *1
W~~
Bareme indicatif:I : 4,5 points, II : 4,5 points, III: 8 points, IV: 3
« Sonnez, sonnez toujours, clairons de fa pen see », Victor Hugo, « Les chiitiments », 1853
ANALOGIES
ENTRE I'OREILLE EXTERNE, LE TRACTUS VOCAL ET
CERTAINS INSTRUMENTS A VENT
Le sujet est constitue de quatre parties dont Ies trois premieres peuvent etre traitees de maniere independante
(sauf Ia question 11.1de la partie II).
Partie I : Propagationd'une onde progressive dans un tuyau de section variable
Considerons deux tuyaux sonores cylindriques semi infinis raccordes en x = xo. Ces deux tuyaux a
parois rigides ont Ie meme axe x 'x mais des sections differentes SI et S2 (Figure 1). Vne onde
plane uniforme se prop age selon x'x vers les x positifs dans ce dispositif rempli d'un meme gaz
(l'air), d'impedance acoustique Zo et de masse volumique po.
x'
m --- 1-m m Jlu m --~:m uuuu
Sl
\ Xo
X
+ dx2
Xo
1;1) Montrer, a partir du bilan des forces s'exeryant
sur une tranche de fluide infiniment fine
comprise entre xo-dx\ et Xo, qu'il y a continuite des pressions en Xo au raccordement des deux
tuyaux, comme dans Ie cas d 'un tuyau sonore de section constante':'
Par ailleurs, on admettra (sans demonstration) que l'on a continuite en xodu produit Su(que l'on
appellera debit volumique D par la suite). Ceci permet d'ecrire: D} = SIUl
= D2 = S2U2
en x
= Xo.
1.2) Deduire de ce qui precede qu'il y a necessairement une onde reflechie en xo• Determiner alors
les coefficients de reflexion (r p) et de transmission (tp) pour la pression, puis les coefficients (ro)
et (to) pour Ie debit volumique en fonction des donnees precedentes.
Partie II: Excitation d'un tuyau sonore de section constante
Considerons, maintenant, un tuyau sonore de section constante S, de longueur L, dont les deux
extremites sont ouvertes. A l'une des extremites, on «excite» la colonne d'air par les vibrations
issues des levres tres pincees du «joueur de tuyau». L'ouverture des levres a une section So tres
faible par rapport a la section S du tuyau, de sorte que l'on peut considerer Ie tuyau ferme en x =
o.
11.1) Deduire, de la question 1.2, qu'a l'extremite ouverte du tuyau (x = L), la surpression PL = O.
Par ailleurs, a l'extremite fermee du tuyau (x = 0), ou a lieu l'excitation, on admettra que la vitesse
des particules u peut etre consideree comme nulle.
11.2) Etablir que les frequences des modes propres fondamentaux de ce tuyau sonore ainsi excite
sont donnees par I' expression generale suivante : f
=
p
(2p + l)c ou C est la vitesse du son dans I' air.
4L
Vne demonstration complete et soignee est exigee! Calculer les frequences des quatre premiers
modes avec les donnees suivantes: L = 1.5m, C = 330 m1s.
Conseil : partir de I' expression generale de la vitesse des particules U.
11.3) Dessiner, pour Ie mode fond amental (p = 0), les representations
l'interieur du tuyau.
en debit et en pression a
Partie III : Equation de propagation dans un pavilIon sonore.
Rappels sur les hypotheses adoptees dans l'etude d'un tuyau sonore de section con stante :
a. Une tranche d'air, qui est comprise au repos entre x et x + dx, est soumise, lors du passage
d'une surpression p(x,t), a une force resultant de la pression exercee sur la face a l'abscisse x
et de la pression exercee sur la face a I' abscisse x + dx .
b. La variation relative de volume de la tranche est proportionnelle a la surpression :
p = -K 8V
V
Nous allons considerer desormais un tuyau sonore en forme de pavilIon (Figure 2) d'axe de
revolution x'x et de section Sex) variable en fonction de x.
x
Figure 2 : Coupe du pavilIon
sonore et illustration des
forces elementaires d2 FL
Nous admettons les memes hypotheses que celles rappelees ci-dessus et nous envisageons une onde
acoustique plane uniforme se propageant selon les x croissants. Celle-ci provoque un deplacement :
u(x,t) du «plan d'air » a la cote x et u(x+dx,t) du plan a la cote x + dx.
Contrairement au cas d 'un tuyau sonore cylindrique, Ie pavilIon exerce sur la tranche d' air une force
laterale resultante dFL qui n'est pas perpendiculaire a l'axe xx' (Figure 2). Cependant, le bilan des
forces appliquees a la tranche d'air comprise entre x et x + dx s'ecrit encore: l:.Forces
=
-Sex) Op .dx
ax
111.1) Montrer que, lors du passage de l'onde, la variation relative du volume de la tranche d'air, qui
. au repos entre x et x + dx, s "ecnt:
. -SV = p(x).u(x,
p.
. /3(;)
est compnse
t) +,;au(x,t),.; preCIser Ia fionctIon
x.
ax
V
On pourra utiliser Ie fait que: SV= S(x+dx).u(x+dx) - S(x).u(x) et V=S(x).dx
111.2) Tout est en place maintenant pour aboutir
Montrer que celle-ci peut s' ecrire sous la forme:
2
a u(x,t)
ax2
+ ~[U(X,t)
ax
a l'equation
d(lnS(X»]
dx
= _1_
c
2
differenti'elle (ED) verifiee par u(x,t).
2
a u(x,t)
at2
avec: C2
=!£.
Po
Commenter cette relation.
111.3) Lorsque la variation de S avec x est de la forme Sex) = So.e3X (ou So et a sont deux constantes
positives), comment s' ecrit I' equation precedente ? Dans toute la suite du problem{j on considerera
un pavillon exponentiel de cette forme.
111.4) Nous allons etudier si une onde plane, harmonique, progressive dans Ie sens des x croissants
definie en notation complexe par g(x, t) = Uoej(o:>t-kx)
peut se propager dans Ie pavilIon. Dans ces
conditions, quelle relation obtient-on entre k et
OJ?
En deduire que k est necessairement complexe.
111.5) Montrer que l'onde consideree en IlIA ne peut se propager que si k a une partie reelle et qu'il
existe une pulsation roc au-dessous de laquelle aucune propagation n'est possible. Calculer roc en
fonction de C et a.
111.6) Dans Ie cas ou la propagation de l'onde est possible, etablir l'expression de u(x,t) associee a
une onde progressive selon x croissant en fonction de a, ro et roc. Commenter l' expression obtenue.
Dans quelle situation avez-vous deja rencontre ce type d'onde? Calculer la vitesse de phase
associee a cette onde en fonction de C, co et COc. Commenter.
111.7) Y a-t-il selon vous des ondes stationnaires qui vont s'etablir dans cet instrument avec
pavillon? Justifier votre reponse (sans aucun calcul !). Quel interet majeur voyez-vous a l'existence
de ce pavillon ?
Partie IV : Conclusion generale
IV.l) Le « tractus vocal », ensemble des cavites resonnantes qui se succedent des cordes vocales
(glotte) aux levres (et aux narines), a une longueur de 17 cm (figure 3). En considerant ce tractus
vocal comme un tuyau ouvert a une extremite (levres) et ferme a I' autre (cordes vocales),
determiner les frequences qui seront les plus amplifiees. Pourquoi les consonnes occlusives
(explosives) teUes que « b », « p », « t » par exemple seront-elles mal reconnues chez Ie sujet ayant
subi une perte auditive selective dans la bande 2-5 kHz ?
Figure 3 : Coupe schematique du"tractus vocal" ;
on remarquera ici que Ie voile du palais, reIeve, obture la cavite nasale
IV.2) L'oreille externe est constituee du pavillon, du conduit auditif de section quasi-constante
(environ 10 mm2) et du tympan qui obture ce conduit et separe I' oreiUe externe de I' oreille interne
(figure 4). Le conduit auditif a une longueur d'environ 25 mm. Pouvez-vous, maintenant, expliquer
pourquoi l'appareil auditifhumain presente une sensibilite maximale autour de 3,5 kHz?
IV.3) Question bonus
Degager les analogies entre l'oreille externe, Ie tractus vocal et les instruments a vent tels que la
trompette, Ie trombone a coulisse, Ie cor, Ie tuba « modelisables », comme Ie tube de la partie II, par
un tuyau sonore dont une extremite est fermee (aux levres) et l'autre est evidemment ouverte.
QueUe remarque vous inspire Ie fait que Ie tractus vocal a une longueur bien inferieure a celle des
instruments a vent qui s' etend de 1 a 9 m ?