Conversion électromagnétique statique

PSI Brizeux
Ch. CP1: Conversion électromagnétique statique
1
CHAPITRE C P1
Conversion électromagnétique statique
Les sources d’énergie, naturelles ou industrielles, se trouvent sous deux formes : thermique
(centrales thermiques à combustion d’hydrocarbures, énergie solaire, centrales nucléaires) ou
mécanique (chutes d’eau, vent).
Le plus simple moyen de transporter l’énergie est de le faire sous forme électrique. Il est donc
nécessaire de transformer les deux formes d’énergie citées ci-dessus en énergie électrique. Nous
étudierons, dans un prochain chapitre, le principe de la conversion électromécanique et son application
aux machines tournantes (permettant de convertir de l’énergie mécanique en énergie électrique).
Nous nous intéresserons dans ce chapitre à la conversion de puissance qui s’opère entre les lignes
hautes tensions et l’utilisateur. L’énergie électrique est en effet transportée sous hautes tensions
(typiquement 200 à 400 kV) : à puissance donnée, plus la tension est élevée, plus le courant (et donc les
pertes par effet Joule) sont faibles. La distribution se fait, quant à elle, sous des tensions beaucoup plus
basses (220 V). La conversion à opérer, appelée conversion électromagnétique statique, se fait dans
les transformateurs qui permettent entre autres choses, d’alimenter une charge sous une tension
différente de celle de la source. Ces transformateurs permettent plus généralement de transférer, en
régime alternatif, de la puissance électrique d’une source placée à l’entrée du transformateur (circuit dit
primaire) à une charge placée à sa sortie (circuit dit secondaire).
1.
LES MATERIAUX MAGNETIQUES
1.1.
Le phénomène d’aimantation
Le phénomène fondamental intervenant dans les milieux magnétiques est le phénomène
d’aimantation : l'application d'un champ B extérieur aboutit à la création de moments dipolaires
magnétiques moyens non nuls au sein de ce type de milieu, soit par création puis orientation de dipôles
magnétiques microscopiques, soit simplement par orientation de dipôles déjà existants. On peut décrire
macroscopiquement ce phénomène
! par une densité volumique de moment dipolaire M , appelée
vecteur aimantation, telle que dans tout volume élémentaire du milieu apparaisse le moment dipolaire
élémentaire :
dm = M d"
M : vecteur aimantation
Le milieu est alors dit aimanté. Le vecteur aimantation s’exprime en A.m- 1.
!
!
!
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1.2.
2
Le vecteur excitation magnétique H
Cette assemblée de dipôles, même partiellement orientés est à son tour source de champ
! champ montre qu’il a la même expression que celui crée par une
magnétique. L’étude détaillée de ce
distribution de courants équivalents appelée courants d’aimantation de densité volumique : jM = rotM .
L’équation de Maxwell-Ampère liant le champ magnétique à ses sources doit être modifiée en tenant
compte des courants d’aimantation.
#E
! "0
Dans l’ARQS (où on néglige, rappelons-le, les courants dits de déplacement
face aux
#t
courants de conduction j et aussi, dans les milieux magnétiques, aux courants d’aimantation)
l’équation de Maxwell - Ampère s’écrit :
(
rotB = µ 0 j + jM
!
!
)
Or nous avons vu que jM = rotM . Il vient alors :
!
!
En posant H =
équation :
!
#B
&
rot% " M( = j
$ µ0
'
B
" M , on peut donc substituer à l’équation de Maxwell-Ampère la nouvelle
µ0
!
H=
avec
rotH = j
B
"M
µ0
! excitation magnétique et peut être déterminé, dans des cas à symétrie simple,
H est appelé vecteur
!
directement à partir des courants (n'incluant pas les courants d'aimantation!). Au "théorème de Gauss
des milieux diélectriques" répond le "théorème d'Ampère des milieux magnétiques" :
!
" Hdl = I
enlacé
C
1.3.
Relations de continuité!à la traversée de
la surface séparant deux milieux
Rappelons le problème : deux milieux notés 1 et 2 sont séparés par une surface pouvant
éventuellement présenter une répartition superficielle de courants js , conçue comme un cas limite de
(
)
(
)
répartition j . Dans le milieu 1, on a le couple de champs B1,H1 et on a le couple B2 ,H 2 dans le
milieu 2.
L'équation divB= 0 n’est pas modifiée dans un milieu!magnétique et nous permet tout de suite
d'affirmer
:
!
!
!
!
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B n 2 = B n1
3
n
2
L'autre équation nous donnera :
!
!
H t 2 " H t1 = js # n
1
La!composante normale du champ magnétique est donc continue tandis que la composante
tangentielle de l’excitation magnétique est discontinue s’il existe uns densité surfacique de courants.
1.4.
Les milieux linéaires homogènes et isotropes (LHI)
Il existe des milieux magnétiques, appelés milieux linéaires homogènes isotropes, pour lesquels
l’aimantation M est proportionnelle au champ magnétique B . Cette proportionnalité entraîne
également une proportionnalité entre H et M qui a servi, pour des raisons historiques, à la définition
d'une susceptibilité magnétique. On peut ainsi poser :
!
M
! = "!m H
!
χ m susceptibilité magnétique
qui conduit à la relation très simple :
!
H=
B
B
B
=
=
µ 0 ( 1 + " m ) µ 0µ r µ
Il y a proportionnalité !
entre H et B , la constante sans dimensions µ r est appelée perméabilité
relative du milieu.
Si enfin nous revenons
! à!l’équation de Maxwell-Ampère dans l’ARQS pour ces milieux, nous
obtenons :
rotB = µ j
On revient donc aux équations
! de Maxwell du vide, en substituant la constante µ à la
constante µ 0.
Par conséquent , dans le cas où tout l'espace vide est remplacé par un milieu LHI, tous les
calculs menés en magnétostatique du vide resteront valables à condition d'effectuer cette
substitution
Ainsi par exemple, un solénoïde circulaire infini entièrement rempli d'un milieu LHI aura une
µ" 2S
inductance propre L =
et le champ interne vaudra B = µnI.
L
!
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1.5.
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4
Les différents types de matériaux
Il existe des différences entre deux types de milieux magnétiques LHI :
Milieux Diamagnétiques :
- le phénomène de diamagnétisme concerne tous les matériaux, il est lié au phénomène
d’induction : des milieux à qui on « impose » un champ magnétique réagissent par
une aimantation tentant de s’opposer par ses effets à ce champ magnétique.
- χm est donc négatif, de l'ordre de 10-5 (solides et liquides) à 10-9 (gaz)
- χm est indépendant de la température.
Paramagnétisme :
- le phénomène de paramagnétisme ne concerne que les matériaux possédant déjà un
moment magnétique microscopique. L’excitation magnétique appliquée tend à orienter
ces dipôles.
- χm est alors positif, de l'ordre de 10-3
- le paramagnétisme, quand il existe, masque donc le diamagnétisme
- χm dépend de la température : χm = où C est la constante de Curie.
Les valeurs numériques de la susceptibilité pour les milieux dia et paramagnétiques restent
! relative µ reste, elle, voisine de 1 : la différence de
faibles devant 1 si bien que la perméabilité
r
comportement par rapport au magnétisme du vide reste faible.
Le magnétisme des milieux matériels pourrait donc être confondu avec celui du vide s’il n’existait
un troisième type de milieux, les milieux ferromagnétiques, pour lesquels les différences de
comportement sont très sensibles.
Ces milieux, non linéaires, feront l’objet d’une étude spécifique en TP cours.
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2.
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5
LES CONSTITUANTS D’UN TRANSFORMATEUR
2.1.
Description
Un transformateur est constitué d’un circuit magnétique fermé (matériaux ferromagnétiques du fait
de leurs perméabilités élevées) sur lequel sont réalisés deux enroulements conducteurs (fil de cuivre
bobiné) électriquement indépendants : l’enroulement primaire (relié à la source) et l’enroulement
secondaire (relié à la charge).
noyau magnétique
(ici de forme torique)
enroulement
primaire
2.2.
enroulement
secondaire
Du fait de sa perméabilité élevée, le noyau
magnétique canalise les lignes de champ
magnétique, assurant un fort couplage entre
les circuits primaire et secondaire par
induction
mutuelle
(voir
cours
d’électromagnétisme sur l’auto et la mutuelle
induction)
Conventions d’orientation
On oriente le circuit magnétique de façon arbitraire, ce qui impose l’orientation (commune) de
toutes les sections du tore. Les spires bobinées sont ainsi également orientées.
On a deux façons, représentées ci-dessous, d’enrouler un fil autour d’un tore:
orientation du tore
orientation
du primaire
orientation du tore
orientation
du secondaire
orientation
du primaire
orientation
du secondaire
On indique par un point noir les bornes, dites bornes homologues, qui sont les bornes par où
rentrerait un courant positif avec les conventions précédemment définies.
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3.
3.1.
6
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LE TRANSFORMATEUR PARFAIT
Hypothèses simplificatrices
Sur les enroulements :
On néglige les pertes par effet Joule en considérant que le matériau dont on s’est servi pour les
enroulements est parfaitement conducteur.
Sur le matériau constituant le noyau magnétique :
♦ On le considère comme linéaire, homogène et isotrope (matériau L.H.I.). On a donc B = µ 0µ r H .
♦ Une hypothèse plus forte encore sera de considérer la perméabilité relative du matériau comme
infinie (hypothèse justifiée par le fait que pour un matériau ferromagnétique par exemple, on a µr >> 1).
!
Sur le champ magnétique dans le noyau :
♦ On considère B ext = 0 ce qui revient à supposer le couplage parfait entre les circuits primaire et
secondaire et donc la canalisation parfaite des lignes de champ.
Le noyau se comporte donc comme un tube de champ. Comme le champ magnétique est à flux
conservatif, son flux est constant à travers toute section du noyau magnétique.
!
♦ On considèrera de plus, mais ceci n’est pas une hypothèse
fondamentale et n’a pour but que de simplifier les calculs, que B est
uniforme en tout point d’une section du tore. Cette hypothèse se justifie
par le fait que R >>d.
d
R
!
3.2.
Equations du transformateur parfait
Relation entre les tensions :
i1
Le théorème d’Ampère le long d’une ligne de
champ donne, avec les conventions de la figure cicontre (a) :
2"RB
2πRH = n1i1 + n2i2 =
.
µ0µ r
(a)
Remarque : avec les conventions de la figure (b), on
!
aurait :
2πRH = n1i1 - n2i2
u1
u2
i1
(b)
i2
u1
i2
u2
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n1i1 + n 2i2
µ0µr S. Il est appelé flux
2"R
commun. Il est en effet identique pour toute section du tore du fait de l’hypothèse des fuites
négligeables (canalisation parfaite des lignes de champ).
Le flux de B à travers une section S du tore vaut donc : φc =
! circuit primaire est donc φ = n φ . Celui à
Le flux du champ magnétique à travers les n1 spires du
1
1 c
travers les n2 spires du secondaire est φ2 = n2φc.
Du fait des variations temporelles des intensités des courants, il apparaît des phénomènes
d’induction aux bornes des circuits primaire et secondaire.
Les tensions aux bornes de ces circuits prennent, avec
les conventions présentées ci-contre, les valeurs :
d"
d"
u1 = - e1 = n1 c et u2 = - e2 = n2 c .
dt
dt
u1
e1
e2
u u
On a donc la relation : 1 = 2 soit aussi :
n n2
!
!1
!
!
u2 n2
= = m rapport de transformation.
u1 n1
d" c
di
n12
Remarque : on peut aussi écrire : u1 = n1
=
µ0µrS 1 +
dt
dt
2"R
!
!
2
d"
di
n
et
u2 = n2 c = 2 µ0µrS 2 +
dt
dt
2"R
n1n 2
µ0 µr S
2"R
n1n 2
µ0 µr S
2"R
di2
di
= L1 1 + M
dt
dt
di1
di
= L2 2 + M
dt
dt
di2
dt
di1
.
dt
!
!
! !
!
!
!
Les équations couplées entre les circuits primaire et secondaire du transformateur sont donc :
"
di1
di
M 2
! $ u1 = L1 ! + !
!
!
!
!
dt
dt
#
$ u = L di 2 + M di1
2
% 2
dt
dt
Dans ces formules, L1 et L2 sont les inductances propres des enroulements primaire et secondaire et
M l’inductance mutuelle entre les deux circuits.
!
On constate que dans le cadre de nos hypothèses, pour le transformateur parfait : L1L2 = M2.
Cette relation est caractéristique d’un couplage total entre les deux enroulements.
En cas de couplage partiel (canalisation imparfaite des lignes de champ magnétique), on aurait :
L1L2 > M2.
Relation entre les courants :
En considérant µ r comme infini, alors que φc doit rester fini, cela implique forcément que :
n1i1 + n2i2 = 0
i2
n
1
=" 1 ="
i1
n2
m
soit encore :
!
u2
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Symbole du transformateur parfait :
Les relations précédemment établies grâce aux hypothèses faites sont donc celles du transformateur
parfait dont le symbole est le suivant :
i1
i2
u1
3.3.
u2
Le transformateur et les composantes continues
Une composante continue dans le primaire crée une composante de φc constante qui ne donne donc
aucune f.é.m. induite aux bornes des bobinages.
Il est donc primordial de noter que les relations précédemment établies ne sont valables que pour
des signaux de valeur moyenne nulle. Les composantes continues injectées dans le circuit primaire sont
« coupées » par le transformateur qui se comporte donc, vis-à-vis des signaux continus, comme
un court-circuit.
3.4.
Puissances instantanées
Dans ce modèle de transformateur parfait, la puissance instantanée absorbée au primaire est p1 = u1i1
= -u2i2 . C’est donc aussi la puissance instantanée cédée au secondaire.
Dans un transformateur parfait, il n’y a donc ni stockage, ni dissipation d’énergie. La
puissance instantanée fournie au primaire du transformateur parfait est intégralement
transférée à la charge par le secondaire.
On a donc aussi forcément la même relation pour les puissances moyennes : le rendement du
transformateur parfait est donc 1.
Celui du transformateur réel est bien sûr inférieur à cette valeur maximum théorique, cependant, il
ne s’en éloigne pas trop. C’est ce qui fait qu’on l’utilise pour la conversion de puissance.
Un matériau L.H.I. de perméabilité finie permet d’obtenir une conversion de puissance de
rendement unité. Dans ce cas cependant, on a stockage d’énergie dans le matériau magnétique sans
déperdition d’énergie totale.
3.5.
Transfert d’impédance
Vu du primaire, l’ensemble {transformateur + charge} est équivalent à un dipôle dont nous pouvons
déterminer l’impédance équivalente appelée « impédance ramenée » et notée ici Zr.
On se place en régime sinusoïdal permanent de pulsation ω. La charge du secondaire est un dipôle
linéaire d’impédance Zc.
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i1
U1
On a, par définition : Zr = I1 .
1
Or U1 = m U2 et I1 = - m I2 d’où
1 U2
1
Z r = - m2 I 2 = m2 Z c.
9
i2
u1
Zc
u2
1
Zr = m2 Zc
On constate donc que l’impédance vue du primaire du transformateur parfait a la même phase que
l’impédance de charge. En particulier, une résistance de charge sera vue du primaire comme une
résistance, une capacité en charge sera vue comme une capacité … .
Cette notion de transfert d’impédance a cependant une application importante, l’ « adaptation
d’impédance ». Celle-ci est nécessaire lorsqu’il s’agit de transférer le maximum de puissance d’un
générateur d’impédance interne Zg à une impédance de charge Zc.
Revenons sur cette notion déjà abordée dans le cours de 1ère année.
La puissance moyenne que dissipe le générateur dans l’impédance Zc
1
est p = 2 Re(u.i*).
Zc
e
1
Re(Zc)
On a
u = Zc+Zg e et
i = Zc+Zg
d’où p = 2 | e|2 | Zc+Zg|2 .
Si on pose Zc = Rc + jXc
et Zg = Rg + jXg cela donne
i
Zg
u
eg
Zc
1
Rc
p = 2 | e|2 (Rc+Rg)2 + (Xc+Xg)2 .
Cette puissance est donc maximum pour :
Xg = - Xc (résultat immédiat)
et
Rg = Rc (résultat obtenu après calculs).
p est donc maximum pour Zg = Zc*
Par exemple, disposant d’un générateur de résistance interne de 50 Ω, et voulant alimenter une
résistance de 5000 Ω , on pourra interposer un transformateur (parfait) de rapport de transformation 10
entre le générateur et la charge pour avoir une puissance maximale transférée à cette résistance de
1 e2
charge. La puissance alors transmise à la charge est alors p = 2 4Rg .
3.6.
Transformateur d’isolement
On utilise souvent un transformateur dit d’isolement, lorsque l’on cherche à visualiser la
caractéristique d’un dipôle sur un oscilloscope. C’est pour ne pas être confronté au problème de masse
qu’on est amené à interposer un transformateur (de rapport de transformation unitaire) entre le
générateur et le reste du circuit selon le schéma suivant.
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Voie X de l’oscillo
masse de l’oscillo
R
dipôle à étudier
masse du générateur
Voie Y de l’oscillo
En mode XY, l’oscilloscope pourra ainsi donner la courbe u = f(i) du dipôle à étudier, la voie X
donnant une tension aux bornes d’une résistance, proportionnelle à l’intensité du courant parcourant le
dipôle, la voie Y donnant directement la tension aux bornes de ce dipôle.
Sans le transformateur d’isolement, les masses du générateur et de l’oscilloscope court-circuiteraient
le dipôle à étudier.
4.
MODELE LINEAIRE DU TRANSFORMATEUR REEL
Deux catégories de corrections sont à apporter au modèle précédent pour tenir compte de la réalité :
celles liées au matériau magnétique qui en toute rigueur n’est pas linéaire (ces défauts, non linéaires,
seront mis en évidence en séance de T.P.) et celles dont que l’on peut modéliser par des corrections
linéaires. Nous nous intéresserons dans ce cours uniquement à cette dernière catégorie de corrections.
4.1.
Perméabilité du matériau – Courant magnétisant
2πR
Le théorème d’Ampère nous a donné la relation : n1i1 + n2i2 = µ0µrS φ
i1 = -mi2 + im
ce qui peut encore s’écrire :
1 2πR
avec im = n1 . µ0µrS φ appelé courant magnétisant.
La mise en évidence expérimentale de ce courant magnétisant se fait simplement : alors que le
secondaire est en circuit ouvert (i2 = 0) on peut constater et mesurer un courant non nul au primaire qui
s’identifie au courant magnétisant : i1 = im (secondaire ouvert).
Dans le cas général, on a i2 >> im et on néglige le courant magnétisant, ce qui revient à considérer la
loi des courants comme correctement vérifiée, sauf bien entendu lorsque le secondaire est en circuit
ouvert ou en charge sur une résistance élevée (auquel cas i2 est faible et le courant magnétisant non
négligeable face à i2), comme on vient de le voir.
dφc
n12
dim
dim
On peut toujours écrire : u1 = n1 dt = 2πR .µrµ0S. dt = L1 dt .
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On pourra donc modéliser la perméabilité non infinie du matériau par le modèle linéaire suivant :
u1
i2
i 1 - im
i1
u2
L1
transfo.parfait
4.2.
Résistance des bobinages – Pertes cuivre
Le fil utilisé pour réaliser le bobinage possède une résistivité ρ. Si sa longueur est l et s sa section,
ρl
sa résistance est R = s .
On peut tenir compte des résistances équivalentes des enroulements primaire et secondaire en les
faisant figurer dans le modèle linéaire représenté ci-dessous :
R1
u1
i1
i 1 - im
i2
R2
L1
u2
transfo.parfait
dim
Dans le cadre de ce modèle, on a : u1 = R1i1 + L1 dt
avec
dφc
dim
L1 dt = n1 dt
La résistance des bobinages est une première cause de dissipation de puissance dans un
transformateur. Les pertes correspondantes sont des pertes liées à l’effet Joule et sont appelées « pertes
cuivre » (par opposition aux pertes fer qui sont des pertes se produisant dans le noyau, généralement
constitué d’un matériau ferromagnétique. Ces pertes seront étudiées en T.P.).
4.3.
Inductances de fuite
Ce modèle des inductances de fuite permet de prendre en compte le fait qu’une faible partie des
lignes de champ traversant le circuit primaire n’est pas parfaitement canalisée par le circuit magnétique
et ne traverse donc pas le circuit secondaire. On rappelle que dans le modèle du transformateur parfait,
on avait considéré comme parfait le couplage entre les circuits primaire et secondaire.
En réalité, on a Bext ≠ 0 : le matériau magnétique ne
canalise pas parfaitement le champ magnétique entre les
enroulements.
Pour chaque enroulement, il apparaît un flux du champ
magnétique qui n’est pas commun à l’autre enroulement.
On en tient relativement bien compte en écrivant :
φ1 = n1φc + Lf1i1
et
φ2 = n2φc + Lf2i2
i1
lignes de B
i2
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Lf1 et Lf2 sont appelées inductances de fuite au niveau du primaire et du secondaire.
La f.é.m. d’induction au niveau du circuit primaire s’écrit :
dφ1
dφc
di1
e1 = - dt = -n1 dt - Lf1 dt .
Le modèle linéaire complet du transformateur réel est donc le suivant :
L f1
R1
i1
u1
i 1-im
i2
R2
L f2
u2
L1
4.4.
Autres limitations
Les autres limitations du modèle de transformateur parfait sont liées au matériau magnétique
constitutif du noyau.
Les phénomènes qui s’y produisent sont non linéaires et sont source de deux types de pertes, appelées
« pertes fer »: les pertes par courant de Foucault (le champ magnétique variable est source de champ
électrique lui-même source de courant dans le matériau magnétique conducteur) et les pertes par
hystérésis. On limite les premières en feuilletant le noyau dans la direction du champ magnétique et les
secondes en utilisant un matériau ferromagnétique « doux » dont l’aire du cycle d’hystérésis est plus
faible que celle des matériaux « durs ».
On donne parfois un schéma permettant de prendre en compte ces pertes dans un modèle linéaire
simplifié qui est le suivant :
L f1
u1
i1
R1
i 1-im
Z1
i2
R2
L f2
u2
Z1 contient, en plus de la partie inductive permettant de rendre compte du courant magnétisant, une
partie résistive dont la valeur de résistance est choisie de sorte que la puissance moyenne dissipée dans
cette résistance soit égale aux pertes fer.