1 Problème : Champ électrostatique associé à l`atome d`hydrogène

Corrigé du DS N◦ 4
10 décembre 2016
1
Problème : Champ électrostatique associé à l'atome
d'hydrogène
1. Ce problème est de symétrie sphérique. Ce sont donc les coordonnées sphériques
qu'il convient d'employer ici.
2. Le potentiel électrostatique se dénit comme une fonction scalaire V (M) liée au
champ électrostatique par :
−→
~ = −−
E
grad V
3. (a) Il faut prendre en compte toutes les charges composant l'atome d'hydrogène,
c'est à dire la charge ponctuelle +e du proton xe et la charge distribuée avec
la densité volumique ρe correspondant au nuage électronique.
(b) Soit M un point quelconque de l'espace. Tous les plans qui contiennent ce point
M et le centre O où se localise le proton sont des plans de symétrie de la
distribution de charge.
Le champ électrique en M devant être contenu dans chacun de ces plans doit
donc appartenir à leur intersection, c'est à dire à la droite passant par M et
orienté par ~ur . Le champ électrique en M s'écrit donc :
~ M) = E(M) ~ur
E(
(c) Le problème est invariant par toute rotation autour de centre O. Toutes les
fonctions scalaires associées au champ électrostatique (ses composantes mais
aussi le potentiel) sont donc uniquement dépendante de la distance r du point
M considéré au centre O. Ainsi, la fonction scalaire E(M ) n'est en réalité qu'une
fonction de r et le résultat de la question précédente s'écrit :
~ M) = E(r) ~ur
E(
et le potentiel électrostatique :
V (M) = V (r)
4. Il s'agit du champ et du potentiel engendrés par une charge ponctuelle +e :
1
~ + (M) =
E
e
~ur
4πε0 r2
V + (M) =
e
4πε0 r
5. α a la dimension d'une charge volumique et le même signe que ρe c'est à dire le
signe négatif puisqu'il s'agit de rendre compte de la densité volumique de charge
du nuage électronique.
(β r) est sans dimension donc β a la dimension de l'inverse d'une longueur . Son
signe doit être positif pour que la densité volumique de charge tende vers zéro à
l'inni.
6. La densité volumique de charge ne dépendant que de r, la charge élémentaire contenue
entre deux sphères de centre O et de rayons r et r + dr correspondra au produit de
la densité volumique de charge en r, ρe (r), par le volume (4πr2 dr) de l'espace entre
ces deux sphères :
dq = 4πr2 α exp [−β r] dr
7. D'après la question précédente, la densité radiale λ(r) est :
λ(r) = 4πr2 α exp [−β r]
La dérivée de la fonction λ : r → λ(r) s'écrit :
dλ
= 4πα exp [−β r] 2r − βr2
dr
qui s'annule en :
r = r0 =
2
β
8. Le nuage électronique ne comportant qu'un seul électron, sa charge totale est :
Qe = −e
9. On doit donc avoir :
ˆ
ˆ
∞
−e =
∞
4πr2 α exp [−β r] dr = 4πα
dq =
r=0
r=0
ce qui correspond à la relation demandée :
2
2
β3
−e = 8π
α
β3
10. En utilisant les résultats des questions 7 et 9, on peut exprimer α et β en fonction
de r0 :
2
−eβ 3
−e
β=
et α =
= 3
r0
8π
πr0
On en déduit l'expression de ρe en fonction de r0 :
−e
2r
ρe = 3 exp −
r0
πr0
puis celle de λ = 4πr2 ρe :
2r
e 2r 2
2r
−4er2
λ=
exp −
=−
exp −
r0
r0 r0
r0
r03
11. L'expression obtenue pour λ montre que cette quantité ne dépend de r que par
l'intermédiaire de la variable adimentionnée x = 2r
r0 . C'est donc le graphe de la
fonction λ : x −→ λ(x) = − re0 x2 exp(−x) que l'on cherche à représenter. On peut
remarquer que :
Si x 1 (c'est à dire r r0 ), alors λ(x) ∼ − re0 x2 : La courbe osculatrice à λ(x)
au voisinage de x = 0 est une parabole dont la concavité est dirigée vers le bas.
λ(x) est extrémal en x = 2 (c'est à dire r = r0 ; cf. question 7).
limx→∞ λ(x) = 0
On obtient ainsi le graphe de la gure 1.
0
2
4
6
8
10
λ(x) 0
− re0
−2 re0
−3 re0
Figure 1 Graphe de λ(x) avec x = rr
0
12. La distribution de charge à l'intérieur du nuage électronique est à symétrie sphérique.
Il en résulte, en adoptant le même raisonnement qu'à la question 3, que le champ
électrique et le potentiel associés à cette distribution s'écrivent :
~ − (M) = E − (r) ~ur
E
3
et V − (M) = V − (r)
On utilise le théorème de Gauss en utilisant comme surface de Gauss Σ une sphère
de rayon r et de centre O :
‹
~ − · dS
~ = Q(r)
Φ=
E
ε0
Σ
~ = dS ~ur .
La surface Σ est une sphère. Donc dS
~ − = E − (r) ~ur .
La distribution électronique est à symétrie sphérique. Donc E
Le ux Φ s'écrit donc :
‹
E − (r) dS = 4πr2 E − (r)
Φ=
Σ
On a donc :
ˆ
~ − (M) = Q(r) ~ur
E
4πε0 r2
avec Q(r) =
r
λ(u)du
u=0
Si r r0 :
4e
Q(r) = − 3
r0
ˆ
ˆ
4e r 2
e 2r 3
2u
u exp −
du ∼ − 3
u du = −
r0
6 r0
r0 u=0
u=0
r
2
donc :
si r r0
~ − (M) ∼ − e r ~ur
E
3πε0 r03
Si r r0 :
Q(r) ∼ −e
donc :
si r r0
~ − (M) ∼ −
E
e
~ur
4πε0 r2
13. On obtient immédiatement :
~ − (r = r0 ) = − e [1 − 5 exp(−2)] ~ur
E
4πε0 r02
14. Application numérique : E − (r = r0 ) ∼ −16, 6.1010 V.m−1
15. Pour r → 0, le champ et le potentiel du proton divergent. Donc, par superposition :
limr→0 E(r) = ∞ et limr→0 V (r) = ∞
Pour r → ∞, le champ et le potentiel du proton et du nuage électronique tendent
vers 0. Donc, par superposition :
4
limr→∞ E(r) = 0 et limr→∞ V (r) = 0
16. La charge −e du nuage électronique se distribue uniformément sur la surface de la
sphère de rayon r0 dont l'aire est 4πr02 . Donc :
σ0 = −
e
4πr02
17. Pour r > r0 , la charge intérieure à une sphère de rayon r centrée en O est nulle. Par
application du théorème de Gauss, on obtient que le champ électrostatique est nul
et donc que le potentiel est constant. Comme ce dernier doit être nul à l'inni (cf.
question 15), il est uniformément nul dans cette zone. En résumé :
si r > r0
~ = ~0 et V = 0
E
18. Pour r < r0 , la charge intérieure à une sphère de rayon r centrée en O est la charge
+e du proton central. Par application du théorème de Gauss, on obtient que le champ
électrostatique est :
~ =
E
si r < r0
e
~ur
4πε0 r2
19. En r = r0 , il y a discontinuité du champ électrostatique ce qui était prévisible du
fait de la présence à cet endroit de charges surfaciques.
20. Les charges se distribuent en une charge ponctuelle en O et des charges surfaciques
sur la sphère de centre O et de rayon r0 . Donc :
si 0 < r < r0
ρ(r) = 0
21. En coordonnées sphériques, pour une fonction V ne dépendant que de r, le laplacien
∆ s'écrit :
1 d
2 dV
∆V = 2
r
r dr
dr
Pour 0 < r < r0 , l'équation de Poisson s'écrit donc :
1 d
2 dV
r
=0
r2 dr
dr
qui s'intègre une première fois en :
r2
dV
=a
dr
et une deuxième fois en :
5
⇒
dV
a
= 2
dr
r
si 0 < r < r0
a
V (r) = − + b
r
22. La continuité du potentiel en r = r0 s'écrit :
0=−
a
+b
r0
−→
~ = −−
23. Pour 0 < r < r0 , la relation E
gradV s'écrit :
e
a
=− 2
2
4πε0 r
r
⇒
a=−
e
4πε0
⇒
b=−
e
4πε0 r0
donc :
si 0 < r < r0
e
V (r) =
4πε0
1
1
−
r r0
24. On obtient alors les graphes de V (r) (gure 2) et de E(r) (gure 3).
V (r)
r
r0
Figure 2 Graphe de V (r)
25. En r = 0, il y a divergence du champ et du potentiel dus à la présence d'une charge
ponctuelle.
Pour r → ∞ le champ devient nul (éloignement inni de l'atome) de même que le
potentiel (pas de charge à l'inni).
En r = r0 , il y a discontinuité du champ à cause de la modélisation du nuage
électronique par une distribution surfacique de charge.
6
E(r)
r
r0
Figure 3 Graphe de E(r)
2
Autour des diodes
D'après MINES - MP - 2013
26. C'est l'équation de Poisson qui s'écrit ici :
d2 V
dx2
+
ρ
ε0
=0
27. Dans le champ de pesanteur, le poids d'un électron est une force dont le module est
de l'ordre de 10−29 N.
Dans l'espace interarmature d'un condensateur, on peut prendre comme ordre de
grandeur de la norme du champ électrique celle correspondant au champ disruptif de
l'air : 106 V.m−1 . La charge portée par l'électron étant de l'ordre de 10−19 C, il sera
soumis à une force électrostatique de l'ordre de 10−13 N soit environ 1016 fois le poids.
Le poids est négligeable devant la force électrostatique.
28. L'énergie potentielle d'une particule de charge q située en un point M de l'espace
correspond au travail que doit dépenser un opérateur pour amener cette particule
depuis l'inni (où le potentiel électrique est nul) jusqu'au point M considéré. Donc :
ˆ M
~ · d~l
Ep (M) =
qE
∞
~ · d~l = −dV et V (∞) = 0 :
C'est à dire, puisque E
Ep (M) = q V (M)
29. La force électrostatique est la seule présente (poids négligé). Donc le mouvement des
électrons est un mouvement à énergie mécanique constante :
1
me v 2 (x) + (−e)V (x) = Cte
2
La plaque C (x = 0) est au potentiel nul : V (0) = 0 et la vitesse des électrons au
voisinage de cette plaque est aussi nulle : v(0) = 0. Donc :
7
v(x) =
q
2eV (x)
me
30. Comme il y a un seul type de porteurs de charges (les électrons) la densité volumique
de courant s'écrit :
~j = ρ(x)v(x)~ex
Pour des électrons allant de C vers A, on aura v > 0, ρ < 0 et I > 0. Donc :
q
(x)
I(x) = −Sρ(x)v(x) = −Sρ(x) 2eV
me
31. En régime permanent, div~j = 0 ce qui est équivalent à dire que le ux de ~j se conserve
le long d'un tube de champ de ~j . Donc :
I ne dépend pas de x.
32. D'après les résultats précédents, on peut écrire :
r
I
me
ε0 a
ρ(x) = −
= −p
S 2eV (x)
V (x)
L'équation de Poisson s'écrit donc :
d2 V
dx2
− √a
V (x)
=0
33. Comme le conseille l'énoncé, on multiplie cette équation par dV
dx :
"
#
" #
p
a
d 1 dV 2
dV d2 V
−p
=
− 2a V (x)
0=
dx dx2
dx 2 dx
V (x)
Une première intégration conduit donc à :
p
1 dV 2
− 2a V (x) = Cte
2 dx
L'énoncé précise que V (0) = 0 et que E(0) = − dV
dx (0) = 0. La constante est donc
nulle, soit :
p
dV 2
= 4a V (x)
dx
Comme VA > 0, le potentiel est une fonction croissante de x :
précédente conduit donc à :
√
1
dV
=2 aV4 ⇒
dx
Une nouvelle intégration donne alors :
3
V 4 (x) =
dV
dx
> 0. L'équation
√
1
V − 4 dV = 2 a dx
3√
a x + Cte
2
La condition V (0) = 0 permet d'armer que la constante est nulle si bien que
l'expression nale de V est :
8
V (x) =
3√
2 a
4
x 3
34. Comme V (d) = VA , l'équation précédente montre que :
VA =
4
3
3√
ad
2
c'est à dire, en remplaçant a par son expression :
q
3
4Sε0
2e
2
I = 9d2
me VA
35. Cette équation a été uniquement démontrée dans le cas où les électrons sont accélérés
de C vers A, ce qui correspond au cas VA > 0.
Si VA < 0, Le champ électrique sera dirigé de C vers A et la force s'exerçant sur les
électrons de A vers C. Ceux-ci ne pourront donc pas atteindre A : Le courant sera
nul.
36.
37. Voir le graphe ci-dessus.
38. Les interactions entre électrons ont été prises en compte de manière partielle.
En eet, c'est la présence des électrons qui engendre la densité volumique de charge ρ.
Or celle-ci est directement liée aux variations du potentiel V dans lequel les électrons
se déplacent sous l'eet de l'énergie potentielle −eV . Il y a donc une prise en compte
de l'interaction électrostatique des électrons entre eux.
Mais cette modélisation ne décrit pas les chocs entre électrons qui sont une autre
forme d'interaction (à courte distance).
9