TD07 : Électrostatique Charges ponctuelles et cartes de champ

Lycée Naval, Spé 2.
2. Analyser la symétrie du schéma. Quelles relations peut-on en déduire pour
q1 , q2 , q4 et q5 ?
TD07 : Électrostatique
Charges ponctuelles et cartes de champ
3. À l’aide du théorème de Gauss, déterminer la relation liant q2 et q3 .
Réponses : 1 : q3 < 0, autres charges positives ; 2 : q1 = q5 et q2 = q4 ; 3 - q3 = −2q2
EM027. Champ et potentiel (*)
EM001. Potentiel dans le plan médiateur d’un doublet (*)
Deux charges ponctuelles identiques égales à q sont placées en A et B sur l’axe
(Ox) à une distance a de part et d’autre du point O. On note V le potentiel
électrostatique créé en un point M de l’axe (Oy) par ces deux charges.
y
M(y)
q
A
O
q
B
x
1. Exprimer le potentiel V en fonction de q, a et y.
2. En déduire l’expression du champ électrostatique au point M .
3. Déterminer directement le champ électrostatique en utilisant l’expression du
champ créé par une charge ponctuelle.
Réponses : 1 : V (M ) =
2πε0
q
q
~ A (M ) =
p
;2:E
~
uAM
4πε0 (a2 + y 2 )
a2 + y 2
EM002. Analyse d’une carte de champ (**)
Le schéma représente les lignes de champ créées par cinq charges ponctuelles
numérotées de 1 à 5 de la gauche vers la droite.
Le champ est nul aux points A, B, C et D.
Les lignes en traits épais issues de ces points sont également des lieux de champ
nul.
La figure représente les lignes équipotentielles d’un champ électrique créé par
un ensemble de fils rectilignes, très longs et perpendiculaires au plan de la figure.
Déterminer une valeur approchée du vecteur champ électrique aux points A, B et
C.
~ A ' 9 × 102 V.m−1 ; kEk
~ B ' 3, 5 × 103 V.m−1 ; kEk
~ C ' 2, 2 × 103 V.m−1
Réponse : kEk
Théorème de Gauss
EM003. Sphère chargée en surface (**)
Soit une sphère de centre O et de rayon R portant une densité surfacique σ
uniforme.
~
1. Déterminer les symétries du champ E.
2. En appliquant le théorème de Gauss, déterminer le champ électrostatique
en tout point de l’espace.
3. Vérifier la relation de passage à la traversée de la sphère, c’est à dire :
~ + ) − E(R
~ − ) = σ ~ur
E(R
ε0
1. Déterminer les signes des cinq charges.
1
3. Déterminer Q(R) pour R → 0 et R → +∞.
Montrer que la valeur de la charge au centre est compatible avec l’expression
du potentiel électrostatique.
4. Donner l’expression du potentiel électrostatique V en tout point de l’espace.
Montrer en particulier que V est constant à l’intérieur de la sphère.
2
σR
~ = ~0 ; pour r > R, E
~ = σR ~
Réponses : 2 : pour r < R, E
;
ur ; 4 : pour r ≤ R, V (r) =
ε0 r 2
ε0
2
σR
pour r ≥ R, V (r) =
ε0 r
q
R
r
−r/a0
−R/a0
e
1
+
~
u
;
2
:
Q(R)
=
qe
1
+
;
r
4πε0 r2
a0
a0
3 : limR→0 Q(R) = q, et limR→+∞ Q(R) = 0
~
Réponses : 1 : E(M
) =
EM004. Champ créé par une couche uniformément chargée (**)
Une couche plane infinie d’épaisseur e est délimitée par les plans z = −e/2 et
~ le
z = +e/2. Elle est chargée avec la densité volumique uniforme ρ. On note E
champ électrostatique créé par la couche en tout point M de l’espace, repéré par
ses coordonnées cartésiennes.
Théorème de superposition
EM005. Pentagone incomplet (*)
Aux sommets d’un pentagone de centre O et de rayon R, contenu dans le plan
(xOy), sont placées des charges ponctuelles identiques égales à q, à l’exception du
~ o le champ créé
sommet situé sur l’axe (Ox) où il n’y a aucune charge. On note E
par cette distribution au point O.
z
ρ
e/2
−e/2
x
O
y q
q
O
~ = E(z)~uz .
1. Montrer que le champ électrostatique est a priori de la forme E
2. Que peut-on dire de E(z) et E(−z) ? Justifier.
3. En utilisant la surface de Gauss adéquate, exprimer E(z). On distinguera
les cas où le point M est à l’intérieur ou à l’extérieur de la couche plane.
4. Tracer l’allure de la fonction E(z).
5. On fait tendre l’épaisseur de la couche plane vers e → 0 et la charge ρ → ∞,
de manière à se ramener au plan (xOy) portant la densité surfacique de
~ 0 créé
charge σ = ρe. Exprimer, en fonction de σ, le champ électrostatique E
par ce plan et retrouver le résultat du cours.
x
q
q
~ 0 créé en O si tous les sommets du pentagone étaient
1. Quel serait le champ E
o
occupés par la même charge q ?
2. En considérant une superposition de deux distributions de charges équiva~o
lente à la distribution considérée, déterminer très simplement le champ E
en fonction de q et R.
ρe
ρz
; pour 0 < z < e/2, E(z) =
;
Réponses : 2 : E(z) = −E(−z) ; 3 : pour z > e/2, E(z) =
2ε0
ε0
σ
σ
~0 =
~0 = −
5-z>0 E
~
uz ; z < 0 E
~
uz
2ε0
2ε0
EM028. Potentiel de Yukawa (**)
~ o0 = ~0 ; 2 : E
~o =
Réponses : 1 : E
q
On considère le potentiel électrique V (r) =
e−r/a0 avec r = OM des coor4πε0 r
données sphériques.
q
(~
ux )
4πε0 R2
EM115. Champ dans une cavité cylindrique (**)
1. Exprimer le champ électrique associé au potentiel V en tout point de l’espace.
On considère un cylindre de hauteur h, d’axe (O1 z) et de rayon R1 , uniformément
chargée en volume (densité ρ). On creuse à l’intérieur de celui-ci un cylindre d’axe
(O2 z) et de rayon R2 . La distribution de charges constituée par le cylindre évidé
a l’allure ci-après.
2. En déduire la charge électrique Q(R) contenue dans une sphère de rayon R
centrée sur l’origine.
2
z
z
M
O2
O1
O1
O2
+ρ
1. On cherche des solutions du potentiel sous la forme V (r, θ) = f (r)g(θ).
Justifier que le potentiel est en fait une simple fonction de θ que l’on notera
par la suite V (θ).
Déterminer le champ électrostatique régnant dans la cavité vide de charges.
Indication : on pourra considérer le cylindre évidé comme la superposition de
deux cylindres l’un de charge volumique −ρ, l’autre de charge volumique +ρ, et
appliquer deux fois le théorème de Gauss.
On rappelle l’expression du laplacien en coordonnées cylindriques.
∂2V
1 ∂V
1 ∂2V
∂2V
∆V (r, θ, z) =
+
+
+
∂r2
r ∂r
r2 ∂θ2
∂z 2
En déduire la loi V (θ).
−−−→
ρO1 O2
~
Réponse : E(M
)=
2ε0
Condensateurs
2. En déduire l’expression du champ électrostatique dans l’espace interarmatures.
EM024. Condensateur sphérique (**)
On considère deux sphères conductrices concentriques de rayons respectifs R1 et
R2 placées au potentiel V1 et V2 . Entre les deux sphères le milieu est assimilé au
vide.
3. Tracer l’allure des équipotentielles et des lignes de champ.
Déterminer la capacité d’un tel condensateur par deux méthodes :
4. Sachant que le champ électrique est nul au sein des plaques métalliques, en
déduire la charge surfacique σ en un point de l’armature horizontale.
~2 − E
~ 1 = σ ~n12 .
On rappelle la relation de passage E
ε0
— en utilisant la définition de la capacité d’un condensateur ;
— en déterminant l’énergie stockée dans le condensateur.
5. En déduire la capacité C de ce condensateur diédrique.
4πε0 R2 R1
Réponse : C =
R2 − R1
Réponses : 1 : V (θ) = V1 +
ε0 h
b
4:C=
ln
α
a
EM117. Condensateur diédrique (**)
Les deux armatures rectangulaires en regard se déduisent l’une de l’autre d’une
rotation d’angle angle α autour de l’arête D du dièdre formé par les plans contenant les armatures. Elles sont comprises entre les cylindres de révolution autour
de D, de rayons a et b > a. Leur largeur dans la direction parallèle à D vaut h.
Les plaques sont respectivement aux potentiels V1 et V2 . On suppose h (b − a).
Un point M de l’espace entre les armatures est repéré en coordonnées cylindriques
(r, θ, z).
ε0 (V1 − V2 )
V2 − V1
~ = V1 − V2 ~
θ; 2 : E
uθ ; 3 : σ(r) =
;
α
rα
rα
EM116. Ligne bifilaire (**)
Une ligne bifilaire est formée de deux fils conducteurs cylindriques C1 et C2 ,
parallèles, de rayons respectifs a1 et a2 , dont les axes sont distants de d (avec
d a1 et d a2 ), de grande longueur h (h d).
On note O1 et O2 les centres des deux cylindres et V1 et V2 les potentiels de chacun
des cylindres.
3
2a 1
2a 2
1. Exprimer le champ de gravitation G0 à la surface de la Terre.
On considère un gisement correspondant à un défaut d’homogénéité de la
Terre : dans une sphère de centre O0 et de rayon R0 , entièrement enfouie
dans la Terre à une profondeur h > R0 , la masse volumique est ρ0 < ρ.
M
r1
h
O1
O2
d
O1
O
r
θ r2
2. Quelle est alors la variation relative de la norme du champ de pesanteur
au point A situé à la surface de la Terre, à la verticale de O0 ? Commenter
l’influence de R0 et de h.
O2
3
Réponses : 1 : G0 = Gρ ×
δG
ρ0 − ρ
R0
4
πR ; 2 :
=
× 2 .
3
G0
ρ
h R
EM010. Phénomène d’écran dans un plasma (***)
Un plasma est un milieu électriquement neutre macroscopiquement, mais dont les
atomes sont ionisés : il est donc constitué de cations et d’électrons. Il en existe des
naturels (foudre, ionosphère-aurores polaires, étoiles. . .) et des artificiels (lampes
fluorescentes, propulseurs de fusée. . .).
On considère un ion argon Ar+ , placé en O et pris comme origine. Du fait de
l’attraction coulombienne, on observe un surplus de charges négatives au voisinage
de cet ion. Soit V (r) le potentiel qui règne en un point à la distance r de O. On
peut montrer que les densités particulaires des charges positives et négatives sont
respectivement :
eV (r)
eV (r)
n+ (r) = ne exp −
et n− (r) = ne exp
kB T
kB T
où ne est la densité particulaire moyenne des électrons et cations, kB la constante
de Boltzmann et T la température.
1. On appelle σ1 et σ2 les densités surfaciques de charge de chacun des cylindres. Les cylindres sont en influence totale (les charges contenues sur les
deux cylindres sont opposées). Relier σ1 , σ2 , a1 et a2 .
2. Compte tenu des relations entre les différentes longueurs, on considère qu’on
a affaire à une situation de 2 fils infinis de densité linéique λ1 et λ2 . Exprimer
λ1 et λ2 en fonction de σ1 et a1 d’une part et de σ2 et a2 d’autre part.
3. Déterminer l’expression du potentiel V11 créé par le fil C1 seul à une distance
r1 de son axe.
4. En déduire l’expression du potentiel V créé par les 2 fils à des distances r1
et r2 de chaque fil.
5. Déterminer la capacité par unité de longueur Cu = C/h de cette ligne bifi√
laire. On notera a = a1 a2 .
6. Application numérique. On donne a1 = a2 = 1, 0 mm, d = 2 cm, ε0 =
8, 85 × 10−12 F.m−1 . Déterminer Cu .
1. Justifier les expressions des densités particulaires.
2. Donner l’expression de la densité volumique de charges totale ρ(r) en M
(r 6= 0).
7. Montrer qu’à grande distance des fils, au premier ordre en d/r, le potentiel
électrique est donné par :
−λ1
d cos θ
V (r, θ) =
×
2πε0
r
3. Pour une fonction ne dépendant que de la variable r, le laplacien en coordonnées sphériques a pour expression :
1 d2 rV (r)
∆V (r) =
r dr2
En déduire l’équation différentielle vérifiée par le potentiel électrostatique.
λ1
Réponses : 1 : σ1 a1 = −σ2 a2 ; 2 : λ1 = σ1 × 2πa1 ; 3 : V11 (M ) = −
ln (r1 ) + V01 ;
2πε
0
λ1
πε0
r2
ln
+ V0 ; 5 : Cu =
4 : V (M ) =
; 6 - Cu = 9, 3 × 10−12 F.m−1 .
2πε0
r1
ln (d/a)
4. On se place dans le cas des hautes températures kB T eV (r). Simplifier
l’équation précédente et la résoudre en posant f (r) = rV (r). On choisira
l’origine des potentiels à l’infini, et on utilisera le fait qu’au voisinage de l’ion,
le potentiel est essentiellement dû à Ar+ . On fera apparaître une longueur
caractéristique λD , appelée longueur de Debye.
Pour aller plus loin
EM036. Détection de gisements par gravimétrie (**)
On modélise la Terre comme une sphère de rayon R et homogène avec une masse
volumique ρ.
4
5. Pourquoi parle-t-on d’effet d’écran ? Calculer λD pour l’argon dans le cas
où ne = 3, 0 × 1021 m−3 et T1 = 103 K puis pour T2 = 104 K.
ε0 = 8, 85 × 10−12 S.I et kB = 1, 38 × 10−23 J.K−1 .
6. Calculer le champ électrostatique et en déduire la charge totale contenue
dans une sphère de rayon r. Étudier les cas limites r λD et r λD .
eV (r)
eV (r)
1 d2 [rV (r)]
2ene
Réponses : 2 : ρ(r) = −2ene sh
;3:
=
sh
;
kB T
r
dr2
ε0
kB T
e
e−r/λD ; 5 - λD,1 = 2, 8 × 10−8 m, λD,2 = 8, 9 × 10−8 m ;
4 : V (r) =
4πε0 r
r
~ = e e−r/λD 1 + 1 ~
6-E
ur ; Q(r) = e × e−r/λD 1 +
4πε0 r
r
λD
λD
EM030. Champ électrostatique et demi-cercle (**)
Un demi-cercle de rayon R porte une charge électrique q uniformément répartie.
Calculer le potentiel électrique et le champ électrique créé au centre du cercle.
uy
ux
O
Réponses : 1 : V (O) =
q
−q
~
; E(O)
=
~
uy .
4πε0 R
2π 2 ε0 R2
5