Corrigés Maxwell

PHY 235
MAGNETOSTATIQUE
UJF 2011
Equations de Maxwell :
53. (M) On considère un conducteur chargé à l’équilibre, occupant le demi-espace x<0 (voir
figure ci-dessous).
a) Rappelez les propriétés macroscopiques du champ et du potentiel électrostatique pour un
conducteur chargé à l’équilibre.
Réponse : dans un conducteur chargé à l’équilibre le champ est nul à l’intérieur, donc le
potentiel est constant et la charge est surfacique. D’après le théorème de Coulomb le champ et
normal à la surface du conducteur et de norme constante E =
σ
au voisinage du conducteur.
ε0
b) Donnez l’énoncé complet du théorème de Gauss, sous sa forme intégrée et sa forme locale.
€
Cf. cours.
c) A l’échelle microscopique le conducteur possède en fait une densité volumique de charges ρ
donnée par :
⎧
x
⎪ ρ (x) = ρ 0 exp( λ ),si x < 0
⎨
⎪ ρ (x) = 0,si x < 0
⎩
1) Calculez le champ électrostatique en tout point de l’espace. On donne ici
€
div(E) =
∂E
. Tracez les variations de E , et donnez sa valeur limite loin à
∂x
l’intérieur du conducteur.
€
Le
€ théorème de Gauss local donne directement l’équation
∂E ρ(x)
=
, à résoudre dans le
∂x
ε0
conducteur et dans le vide :
a) dans le conducteur
∂E ρ0 exp(x / λ )
λρ0 exp(x / λ)
=
E(x)
=
+ cte
, ayant comme
solution
€
∂x
ε0
ε0
Loin dans le conducteur x →−∞, E(x) →0 , d’où cte=0.
€
b) Dans le vide on a simplement
∂E
λρ
€
= 0 , d’où E(x) = cte = E(0) = 0
∂x
ε0
€
€
€
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2) En déduire le potentiel électrostatique et tracer ses variations.
Par définition du potentiel on a
∂V
= −E(x) , d’où :
∂x
-à l’intérieur du conducteur V (x) = −
€
-à l’extérieur du conducteur V (x) = −
λ2 ρ0 exp(x / λ )
+ cte1
ε0
λρ0
x + cte2
ε0
€
Pour déterminer les deux constantes, il faut étudier les conditions aux limites. Dans cet
exercice, comme le conducteur occupe tout un demi-espace, il y a des charges à l’infini et le
€
potentiel à l’infini n’est pas nul. Cependant, comme le potentiel peut être défini à une constante
près (ce sont ses variations qui comptent), on peut choisir un point particulier comme origine
des potentiels. Prenons par exemple un potentiel nul à la surface du conducteur (x=0); cela
signifie que cte2 = 0 et que cte1 =
λ2 ρ0
.
ε0
Un exemple de densité de charges, champ et potentiel sont donnés dans le graphe suivant :
€
€
3) Que deviennent E et V quand λ tend vers 0 ? Comparez à la question a).
λ est la longueur caractéristique sur laquelle la densité de charges diminue dans le conducteur.
Si cette longueur devient nulle, cela signifie que la densité de charges est purement surfacique,
€
et on retrouve les propriétés macroscopiques d’un conducteur à l’équilibre.
54. (D) Calculez le champ crée dans tout l’espace par une sphère isolante ayant une densité
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volumique de charges ρ0=cte. Faites de même pour un cylindre infini chargé.
En coordonnées sphériques on a div(A) =
En coordonnées cylindriques on a div(A) =
1 ∂ (r 2 Ar )
1 ∂ (Aθ sin θ )
1 ∂Aϕ
+
+
2
r
∂r
r sin(θ )
∂θ
r sin(θ ) ∂ϕ
1 ∂ ( ρAρ ) 1 ∂Aθ ∂Az
+
+
ρ ∂ρ
ρ ∂θ
∂z
€
L’analyse des symétries de la distribution de charges permet de déduire la direction du champ
et les variables dont il dépend (exactement le même raisonnement que pour le théorème de
€
Gauss sous sa forme intégrée). On peut ensuite en déduire quels termes de la divergence sont
nuls, et intégrer l’équation différentielle résultante. Les conditions aux limites donnent la valeur
des constantes d’intégration. Vérifiez vos résultats avec les calculs effectués dans le cours.
55. (D) On considère un disque conducteur de rayon R à l’équilibre et d’épaisseur L. La densité
volumique de charges libres est ρ. Le disque est plongé dans un champ magnétique constant
parallèle à l’axe de rotation du disque B = B0 k . On donne le rotationnel en coordonnées
⎛ 1 ∂Az
cylindriques : rot(A) = ⎜
⎝ ρ ∂θ
−
⎛ ∂Aρ ∂Az ⎞
∂Aθ ⎞
1 ⎛ ∂ ( ρAθ ) ∂Aρ ⎞
−
−
⎟uρ + ⎜
⎟uθ + ⎜
⎟k
∂z ⎠
∂ρ ⎠
ρ ⎝ ∂ρ
∂θ ⎠
⎝ ∂z
€
a) Calculez un potentiel vecteur A , d’abord d’après l’équation locale, puis en utilisant le
théorème de Stokes sur un contour approprié. Pourquoi a-t-on écrit « un » potentiel vecteur et
€
non « le » potentiel vecteur ?
Par
définition,
€
B = rot(A) . En identifiant selon le vecteur portant B, on obtient
1 ⎛ ∂ ( ρAθ ) ∂Aρ ⎞
−
⎜
⎟ = B0 . Le système étant invariant par rotation autour de l’axe du disque, seul le
ρ ⎝ ∂ρ
∂θ ⎠
€
1 ⎛ ∂ ( ρAθ ) ⎞
premier terme du membre de gauche est non nul. On a donc
⎜
⎟ = B0 . On peut facilement
ρ ⎝ ∂ρ ⎠
€
B0 ρ 2
B ρ cte
. Pour ρ=0 le potentiel
+ cte ou Aθ = 0 +
2
2
ρ
€
Bρ
vecteur doit être défini, on pose donc cte=0. D’où la forme d’un potentiel vecteur A = Aθ uθ = 0 uθ .
2
€
€ f )) = 0 . Le potentiel vecteur n’est donc pas
Selon les propriétés de l’opérateur nabla, rot(grad(
résoudre cette équation différentielle :
ρAθ =
unique : il est défini à un gradient près (en général on choisit le gradient du potentiel électrostatique).
€
€
b) Le champ magnétique appliqué est maintenant sinusoïdal : B = B0 cos(ωt)k . Discutez les
propriétés de symétrie du champ électromoteur induit E . Calculez ce champ , d’abord d’après
la nouvelle forme de A , puis d’après l’équation de Maxwell-Faraday, et vérifiez que le résultat
€
€
€
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est identique. Calculez la force électromotrice e à partir de E et vérifiez que la loi de Faraday
sous sa forme intégrée est vérifiée.
D’après l’équation de Maxwell-Faraday, rot(E)
€ =−
∂B
∂A
, ce qui équivaut à E = −
. Le
∂t
∂t
∂B
étant selon le vecteur +k , le champ électromoteur sera selon uθ . Le champ E « tourne
∂t
€
€
autour » de l’axe Oz dans le sens direct.
vecteur −
∂ ⎛
∂A
ρ ⎞
€
€ On calcule E = − ∂t = − ∂t ⎜⎝ B0 cos(ωt) 2 ⎟⎠uθ =
Et de même avec le rotationnel :
ωB0 ρ
sin(ω€
t)uθ
2
1 ⎛ ∂ ( ρEθ ) ⎞
⎜
⎟ = ωB0 sin(ωt) . On résout cette équation différentielle de
ρ ⎝ ∂ρ ⎠
€
la même manière qu’on a déterminé A à la question précédente, et on retrouve le résultat trouvé cidessus.
€ e dépend de la distance à l’axe (car le champ électromoteur également) e=e(ρ).
La force électromotrice
Par définition on a de = +E⋅ dl . Pour calculer la circulation de E on choisit comme contour le cercle
2π
de rayon ρ et de centre 0 : e( ρ) =
La
€
2π
∫ de = ∫ E⋅ dl = ∫
0
forme
2π
intégrale
0
de
0
ωB0 ρ
sin(ωt)uθ ⋅ ρdθ uθ =ωB0πρ 2 sin(ωt)
2
la
loi
de
dΦ
d
d
=−
B⋅ d 2 S = −
∫∫
∫∫ B0 cos(ωt)k⋅ ρdρdθ k
dt € dt
dt
d
e( ρ) = −B0πρ 2 [cos(ωt)] = ωB0πρ 2 sin(ωt)
dt
e( ρ) = −
[
]
[
Faraday
s’écrit
]
On retrouve bien le résultat précédent.
€
56. (D) On charge un condensateur plan de capacité C à travers une résistance R aux bornes
d’un générateur idéal de force électromotrice U constante. A t=0, le condensateur est déchargé.
On suppose que ses armatures sont circulaires de surface S, mais qu’elles peuvent être
considérées comme des plans infinis séparés par une distance de vide d.
a) Représentez le schéma électrique du circuit et déterminez la loi q(t), charge de l’armature
positive.
q
dq
= 0 avec i =
C
dt
La loi des mailles donne
dq q
⇔U −R
− =0
dt C
U − Ri −
On résout cette équation par la méthode standard (solution générale de l’équation sans second
€
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⎡
⎛ t ⎞⎤
⎟⎥ .
⎝ RC ⎠⎦
membre puis solution particulière), et on obtient q(t) = CU ⎢1 − exp⎜ −
⎣
€
b) Déterminez le champ électrique E(t) entre les armatures (on le suppose nul ailleurs). On
supposera que la charge est uniformément répartie sur les armatures.
Le champ entre les armatures d’un condensateur plan dont les armatures portent une densité de
€
charges σ a été calculé dans le cours et de nombreux exercices, il s’écrit E =
σ
N , où N est
ε0
le vecteur normal sortant de l’armature positive. Ici σ=σ(t)=q(t)/S, et par conséquent
E(t) =
€
⎛ t ⎞ ⎤
σ(t)
q(t)
CU ⎡
N=
N=
⎟ ⎥N .
⎢1 − exp⎜ −
⎝ RC ⎠ ⎦
ε0
ε 0S
ε 0 S ⎣
€
€
c) En déduire qu’un champ magnétique B doit exister entre les armatures. Quelle en est la
source ?
Pour charger le condensateur il faut déplacer des charges du circuit pour les stocker dans les
€
armatures ; on a donc création d’un courant de déplacement j d = ε 0
condensateur.
L’équation
de
rot(B) = µ0 ( j + j d ) = µ0 j +ε 0 µ0
Maxwell-Ampère
s’écrit
∂E
durant la charge du
∂t
dans
le
général
∂E
. On se place €
en dehors des armatures, à l’intérieur du
∂t
condensateur, où il n’y a pas de courant : j = 0 , et on a alors rot(B) = ε 0 µ0
€
cas
∂E
. La présence
∂t
d’un champ électrique variable induit la création d’un champ magnétique !
€
€
d) Quelle est la topographie du champ B (direction, variables dont il dépend) ? Pour cette
question on ne considère pas les armatures comme des plans infinis.
En suivant le raisonnement de l’exercice
précédent, on voit que
€
∂E
est orienté selon le vecteur
∂t
+N , et par conséquent le champ B « tourne » dans le sens direct autour d’un axe
5
€
€
€
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perpendiculaire au plan des armatures et passant par le centre de celles-ci (on rappelle que
pour cette question les armatures sont supposées non-infinies et en forme de disque). D’après
les symétries du système, en coordonnées cylindriques, B ne dépend pas de l’angle θ ni de la
distance à chaque armature z; B ne peut donc dépendre que de la distance au centre des
armatures, r : B = B(r)uθ .
€
e) Montrez
que B = B =
€
€
⎛ t ⎞
µ0Ur
exp⎜ −
⎟
⎝ RC ⎠
2RS
Calculons la circulation de B selon le théorème d’Ampère sous sa forme intégrée. B étant
orthoradial, on choisit comme contour d’Ampère un disque de rayon r centré sur l’axe de
€
révolution des armatures.
∫ B⋅ dl = µ I
0 deplacement
disque
2π
∫ B(r)u ⋅ rdθ u
θ
θ
0
= µ0 ∫∫ j d ⋅ d 2 S = µ0ε 0
∂E
∂t
∫∫ N⋅ ρdρdθ N
∂E 2
πr
∂t
⎛ t ⎞⎤ ⎤
∂E r
r ∂ ⎡ CU ⎡
B(r) = µ0ε 0
= µ0ε 0
⎟⎥ ⎥
⎢
⎢1 − exp⎜ −
⎝ RC ⎠⎦ ⎦
∂t 2
2 ∂t ⎣ ε 0 S ⎣
2πrB(r) = µ0ε 0
B(r) =
⎛ t ⎞
µ0Ur
exp⎜ −
⎟
⎝ RC ⎠
2RS
f) Utiliser le théorème de Maxwell-Ampère pour retrouver ce résultat.
On reprend les formes mathématiques du rotationnel utilisées dans l’exercice précédent :
€
⎛ t ⎞⎤ ⎤
1 ⎛ ∂ (rBθ ) ⎞
∂ ⎡ CU ⎡
⎜
⎟ = ε 0 µ0 ⎢
⎟⎥ ⎥
⎢1 − exp⎜ −
⎝ RC ⎠⎦ ⎦
r ⎝ ∂r ⎠
∂t ⎣ ε 0 S ⎣
= µ0
€
⎛ t ⎞
U
exp⎜ −
⎟
⎝ RC ⎠
RS
⎛ t ⎞ r 2
U
rBθ = µ0
exp⎜ −
⎟
⎝ RC ⎠ 2
RS
On résout cette équation :
⎛ t ⎞ r
U
Bθ = µ0
exp⎜ −
⎟
⎝ RC ⎠ 2
RS
(on a éliminé la constante d’intégration comme auparavant).
€
g) Toutes les équations de Maxwell sont elles vérifiées dans ce modèle ?
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A VERIFIER : l’équation rot(E) = −
UJF 2011
∂B
n’est pas vérifiée !
∂t
€
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