Optimisation par recuit simule et fabrication de masques de phase

NICOLAS CARON
OPTIMISATION PAR RECUIT SIMULE ET
FABRICATION DE MASQUES DE PHASE POUR
L'AUGMENTATION DE LA PROFONDEUR DE
CHAMP D'UN MICROSCOPE
Mémoire présenté
à la Faculté des études supérieures de l'Université Laval
dans le cadre du programme de maîtrise en physique
pour l'obtention du grade de maître es sciences (M. Se.)
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE, DE GENIE PHYSIQUE ET D'OPTIQUE
FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE
UNIVERSITÉ LAVAL
QUÉBEC
2008
© Nicolas Caron, 2008
1
Résumé
La profondeur de champ est un paramètre crucial pour la conception des systèmes
optiques. Cette affirmation est particulièrement vraie dans le cas des microscopes. Plusieurs
solutions ont été proposées dans le passé pour contourner les limites imposées par ce
paramètre. L'ingénierie du front d'onde consiste par exemple à ajouter un masque de phase
dans le système optique pour rendre la fonction de transfert optique invariante par rapport à
la position axiale de l'objet.
Ce mémoire propose d'atteindre ce but en optimisant des masques de phase
polynomiaux par la méthode du recuit simulé. L'invariance de la fonction de transfert
optique est assurée par la minimisation d'une fonction de coût faisant intervenir la MTF du
système optique en fonction de l'aberration du défocus. L'optique de Fourier est utilisée
pour obtenir cette information à partir d'un modèle théorique du microscope.
Les masques de phases sont optimisés selon deux géométries en particulier : le
système de coordonnées cartésiennes séparables et la symétrie de rotation. Cette façon de
procéder permet d'évaluer un grand nombre de solutions différentes dans un temps
raisonnable, ce qui maximise les chances d'atteindre le minimum global de la fonction de
coût.
Le meilleur masque ainsi obtenu est fabriqué par la méthode des gravures binaires
successives. Cette technique photolithographique permet d'obtenir quatre niveaux de phase.
Le masque fabriqué est finalement ajouté au montage du microscope afin de vérifier son
effet sur la profondeur de champ. Les résultats obtenus après déconvolution des images
acquises respectent le but initialement fixé.
ii
Abstract
Depth of field is a critical parameter in optical design. This affirmation is especially
true with microscopes. Many solutions hâve been discussed in literature to solve this
problem. Wavefront coding, for example, use a phase mask to make the optical transfer
function insensitive to an axial shift of the object.
This master thesis proposes to reach this goal by optimization of a polynomial phase
mask using simulated annealing. The optical transfer function invariance is achieved by
minimization of a cost function which involves the optical System's MTF for several
defocus values. Fourier Optics is used to get this information using a theoretical model of
the microscope.
The phase masks are optimized along two geometries: the Cartesian séparâtes
coordinates and the rotational symmetry. Under thèse conditions, a large number of
solutions can be evaluated in a reasonable time, which is a condition required to reach the
global minimum of the cost function.
The best mask design is fabricated using multiple binary etchings of a fused silica
substrate. This photolithography method gives four phase levels. The fabricated phase mask
is added to the microscope assembly to verify its effect on depth of field. The results obtain
after applying a deconvolution filter on the acquired images confirm that the original goal
has been reached.
Avant-Propos
Je tiens à saluer plusieurs personnes qui ont contribué à ce projet. Tout d'abord, je
dois remercier M. Yunlong Sheng pour avoir accepté de me diriger au cours de la maîtrise.
Je suis aussi redevable envers Pierre Désaulniers pour son modèle Zemax et pour son aide
avec le montage expérimental du microscope.
La fabrication des masques de phase aurait été impossible sans l'expertise en
lithographie de Martin Bernier. Les nombreuses heures qu'il a passé à m'expliquer les
multiples procédures à l'été 2006 ont été extrêmement formatrices.
Les techniciens Stéphane Gagnon et Marc D'Auteuil ont aussi été d'une aide
précieuse, particulièrement à la session d'automne 2007 alors que le déménagement de la
salle blanche battait son plein.
Bien qu'il n'ait pas contribué directement au projet, je tiens tout de même à
remercier Samir Sahli pour les nombreuses discussions scientifiques qui ont enrichi le
temps passé au bureau.
Au niveau financier, j'ai eu la chance d'être allégé de tout souci pécuniaire grâce à
la contribution des bourses de maîtrise du CRSNG. Je reconnais par conséquent
l'importance de cet organisme pour le développement de mon expérience en recherche au
niveau de la maîtrise.
iv
Je dédie ce mémoire à mes parents,
Rosaire Caron et Ginette Turcotte, pour leurs
encouragements au cours de mes études.
V
Table des matières
Introduction
1
Chapitre 1 - Analyse du système optique
1.1
Système d'illumination
1.1.1
Illumination critique
1.1.2
Illumination de Kôhler
1.2
Système d'imagerie
1.2.1
Objet et objectif
1.2.2
Propagation entre l'objectif et le masque de phase
1.2.3
Masque de phase
1.2.4
PSF
1.2.5
Fonction de transfert optique (OTF)
1.2.6
Échantillonnage et la transformée de Fourier
1.2.7
Ajustement de l'échantillonnage
1.3
Optique de Fourier en symétrie de rotation
1.3.1
Échantillonnage en symétrie de rotation
5
6
6
8
10
12
15
16
17
18
18
19
21
22
Chapitre 2 - Optimisation des masques par recuit simulé
2.1
Revue de la littérature du recuit simulé
2.1.1
Origine
2.1.2
Preuve de la convergence
2.1.3
Autres développements
2.2
Vue d'ensemble de l'algorithme de recuit simulé
2.3
Optimisation en coordonnées cartésiennes séparables
2.3.1
Définition et propriétés du masque déphasé
2.3.2
Choix du voisin
2.3.3
Fonction de coût
2.3.4
Autres paramètres de l'optimisation
2.4
Implantation de l'algorithme en coordonnées cartésiennes
2.5
Résultats de l'optimisation en coordonnées cartésiennes
2.5.1
Fonction de transfert optique
2.5.2
Simulation d'images
2.5.3
Profil de phase
2.5.4
Vérification de la répétabilité des résultats
2.5.5
Discussion
2.6
Algorithme de recuit simulé en symétrie de rotation
2.6.1
Définition du masque
2.7
Implantation de l'algorithme du recuit simulé en symétrie de rotation
2.8
Résultat de l'optimisation en symétrie de rotation
2.8.1
Fonction de transfert optique
2.8.2
Simulation d'images
2.8.3
Profil de phase
2.8.4
Répétabilité
25
25
25
25
26
27
28
29
30
31
33
34
35
35
37
38
40
41
42
42
43
43
43
46
47
48
VI
2.8.5
Discussion
Chapitre 3 - Technique de fabrication des masques
3.1
Discrétisation de la phase
3.2
Efficacité des masques à quatre niveaux de phase
3.3
Conception du masque chromé
3.4
Etapes de fabrication
3.4.1
Préparation des substrats
3.4.2
Photorésine
3.4.3
Déposition à la tournette d'une couche de photorésine
3.4.4
Exposition et développement
3.4.5
Gravure
3.4.6
Sources d'erreurs
49
50
52
54
54
58
58
59
59
60
62
62
Chapitre 4 - Résultats expérimentaux du masque en coordonnées cartésiennes séparables 64
4.1
Résultats de la fabrication
64
4.2
Ajout du masque de phase au microscope
65
4.2.1
Technique d'alignement du masque de phase
66
4.2.2
Images obtenues avec le masque de phase
67
4.3
Déconvolution
69
4.3.1
Filtre de déconvolution
69
4.3.2
Importance de l'orientation de l'OTF
69
4.3.3
Images obtenues après déconvolution
69
4.4
Discussion
71
Conclusion
Bibliographie
73
76
Annexe A - Fonctions clés de la classe Simulatedannealing
Annexe B - Fonctions clés de la classe MTFcoordseparables
Annexe C - Fonctions clés de la classe FHT.
Annexe D - Vérification du masque en coordonnées cartésiennes séparables pour une
ouverture circulaire
Annexe E - Développement mathématique de Goodman, Silvestri et Dallas
Annexe F - Résultats expérimentaux détaillés pour le masque CS6
79
82
84
87
88
90
Liste des tableaux
Tableau 2.1 - Liste non-exhaustive des fonctions de la classe Simulated_annealing
Tableau 2.2 - Liste des fonctions de la classe MTFcoordseparables
Tableau 2.3 - Simulation d'images avec le masque polynomial en coordonnées
cartésiennes séparables
Tableau 2.4 - Simulation de déconvolution d'images avec le masque polynomial en
coordonnées cartésiennes séparables
Tableau 2.5 - Coefficients du polynôme optimisé en coordonnées cartésiennes
Tableau 2.6 - Comparaison du masque de phase avec des propositions issues de la
littérature
Tableau 2.7 - Liste des fonctions de la classe FHT.
Tableau 2.8 - Simulation d'images avec le masque polynomial en symétrie de rotation
(défocus négatifs)
Tableau 2.9 - Simulation d'images avec le masque polynomial en symétrie de rotation
(défocus positifs)
Tableau 2.10 - Coefficients du polynôme optimisé en symétrie de rotation
Tableau 3.1 - Prix typiques de masques HEBS
Tableau 3.2 - Comparaison des deux méthodes de discrétisation de la phase
Tableau 3.3 - Commandes Gerber
Tableau 3.4 - Paramètres de la gravure au RIE
Tableau 4.1 -Paramètres clés du masque déphasé CS6
'
Tableau 4.2 - Images obtenues avec le masque de phase (défocus positifs)
Tableau 4.3 - Images obtenues avec le masque de phase (défocus négatifs)
Tableau 4.4 - Images obtenues après déconvolution en fonction de la position de l'objet
(défocus positifs)
Tableau 4.5 - Images obtenues après déconvolution en fonction de la position de l'objet
(défocus négatifs)
Tableau F.l- Images obtenues avec le masque de phase (défocus positifs)
Tableau F.2- Images obtenues avec le masque de phase (défocus négatifs)
Tableau F.3- Images obtenues après déconvolution (défocus positifs)
Tableau F.4- Images obtenues après déconvolution (défocus négatifs)
34
34
37
38
39
40
43
46
47
48
51
53
55
62
65
68
68
70
70
90
91
92
93
Liste des figures
Figure 1.1 - Représentation schématisée des deux parties du système optique
5
Figure 1.2 - Configuration de l'illumination critique
6
Figure 1.3 -Exemple d'illumination critique sans diffuseur
7
Figure 1.4 - Configuration de l'illumination de Kôhler
8
Figure 1.5 - Illumination de Kôhler avec des grandissements inappropriés
9
Figure 1.6 - Illumination de Kôhler pour un système optique correctement aligné avec un
grandissement du diaphragme de champ suffisant
10
Figure 1.7 - Schéma représentant la configuration du système optique pour la mesure des
aberrations de la lentille tube
11
Figure 1.8 - Résultat de la mesure des aberrations de la lentille tube MT-40 (les aberrations
sont doublées)
12
Figure 1.9 - Propagation d'un point de l'objet jusqu'à l'objectif
13
Figure 1.10 - Vérification de l'approximation pour la propagation entre l'objectif et le
masque de phase
16
Figure 1.11 - Représentation mathématique du masque de phase
17
Figure 1.12 - Comparaison des MTFs en coordonnées cartésiennes obtenues avec l'optique
de Fourier et avec Zemax™
20
Figure 1.13 - Échantillonnage avec une suite exponentielle
22
Figure 1.14- Comparaison des MTFs obtenues avec l'optique de Fourier et avec
Zemax™
24
Figure 2.1 -Schéma du recuit simulé adapté aux masques de phase pour l'augmentation de
la profondeur de champ d'un microscope
28
Figure 2.2 - Convergence de la MTF cible avec le nombre d'itérations
32
Figure 2.3 - Courbes MTFs pour la solution optimale selon différents défocus (optimisées
avec la MTF cible définie itérativement)
36
Figure 2.4 - Courbes MTFs de la solution optimale pour différents défocus (optimisées
avec la MTF cible réduite)
36
Figure 2.5 - Courbes de PTFs de la solution optimale pour différents défocus (avec la MTF
cible réduite)
37
Figure 2.6 - Profil de phase du masque optimisé sans le terme de phase linéaire (optimisé
avec la MTF cible réduite)
39
Figure 2.7 - Vérification de la répétabilité des résultats de l'optimisation par recuit simulé
d'un masque de phase polynomial en coordonnées cartésiennes séparables
41
Figure 2.8 - MTF pour différents défocus pour le masque polynomial en symétrie de
rotation
44
Figure 2.9 - MTF pour différents défocus pour le masque optimisé avec une contrainte
diminuée
45
Figure 2.10 - Profil de phase du masque polynomial optimal en symétrie de rotation
47
Figure 2 . 1 1 - Vérification de la répétabilité des résultats de l'optimisation par recuit simulé
d'un masque de phase polynomial en symétrie de rotation
48
Figure 3.1 - Représentation du transcodage du masque binaire
56
Figure 3.2 - Détails du masque chromé conçu pour la fabrication du masque en
coordonnées cartésiennes séparables
57
IX
Figure 3.3 - Évolution du profil du masque en fonction de l'étape de fabrication pour la
discrétisation dichotomique à gravure irrégulière
58
Figure 3.4 - Courbe de l'épaisseur de la photorésine en fonction de la vitesse de rotation de
latournette
60
Figure 3.5 - Mesure Dektak du masque NC02 au deuxième cycle de lithographie après le
développement
61
Figure 3.6 - Profil diagonal du masque NC02 après deux gravures
63
Figure 4.1 - Section du profil Dektak du masque CS6 après une gravure
64
Figure 4.2 - Section du profil Dektak du masque CS6 après deux gravures
65
Figure 4.3 - Représentation des six paramètres à ajuster pour aligner le masque de phase.66
Figure 4.4 - Exemples d'images obtenues avec un désalignement du masque de phase 66
Figure 4.5 - Exemple d'image déconvoluée obtenue pour un filtre à 90° du masque de
phase
69
Figure D.l- Vérification des MTFs du masque en coordonnées cartésiennes séparables pour
une ouverture circulaire
87
Figure D.2- Vérification des PTFs du masque en coordonnées cartésiennes séparables pour
une ouverture circulaire
87
Liste des symboles
Note : Tous les symboles utilisés ne sont pas répertoriés. Lorsqu'un symbole n'est pas
fourni dans cette liste, sa signification est incluse dans le texte.
Symboles utilisés à plusieurs reprises
Symbole
Explication
X
l
Longueur d'onde
Ecart de la position de l'objet par rapport à la focale de
l'objectif
Coordonnées spatiales dans le plan de la pupille
généralisée
Coordonnées spatiales dans le plan image (capteur
CMOS)
Fréquences spatiales associées aux coordonnées xj,yi
Demi-largeur de la lentille tube
Rayon perpendiculaire à l'axe optique dans différents
plans (objectif, lentille tube, masque de phase)
Coefficient de l'aberration de défocus
Champ électrique
Transformée de Fourier
Transformée de Fourier rapide
MTF en fonction du défocus W.
M ;
MTF cible
Masque chromé numéro n
w,v
Omax
>y0*
w
"20
E
FT{)
FFT{)
MTF{u;Wj
MTF,Mc(u)
Exemple
d'unités
nm
mm
mm
mm
mm~l
mm
mm
nm
Vlm
mm
mm
Symboles associés au recuit simulé
Symbole
Explication
T
Q
Température du recuit simulé
Facteur de trempe
Facteur de diminution de la température
Paramètre défini comme exp[— c]
Coefficients du polynôme définissant la phase du masque
c
c'
Exemple
d'unités
nm
XI
Symboles utilisés pour l'analyse du système optique
Symbole
Explication
J cond. ' J obj '
Longueur focale du condenseur, de l'objectif, de la
lentille tube
Exemple
d'unités
mm
Jtube
NA„
obj
Ouverture numérique de l'objectif
Dobj
Diamètre de l'objectif
mm
Rayon de l'ouverture de l'objectif, du collecteur et du
champ
mm
mm~
obj-pm
Fréquence initiale pour l'évaluation de la transformée de
Hankel
Distance entre l'objectif et le masque de phase
PobJ
Différence de phase induite par l'objectif
rad
Fronts d'onde partant d'un point de l'objet sur l'axe
optique
Profil de phase perpendiculaire à l'axe optique et situé
respectivement avant l'objectif, après l'objectif et avant
le masque de phase
rad
Différence de parcours optique induite par le masque de
phase
Épaisseur maximale du masque de phase
Épaisseur du masque de phase selon les coordonnées
x„,y0
Indice de réfraction de l'air
Indice de réfraction du verre de silice
OTF unidimensionnelle selon xj
OTF limitée par la diffraction
rad
Y
obj '
V
collecteur 9
champ
PSF
Po
A<
Tpropagation
r avant objectif '
T après objectif 9
mm
rad
T avant masque
0(xo>yo)
max
f>(x0,y0)
silice
OTF{u)
OTF
K y l 1
limitée diff.
mm
mm
mm
mm
xu
Symboles utilisés pour l'échantillonnage et le calcul des transformées de
Hankel
Symbole
Avx
Ax0
Axi
N
G(p)
P
r
p
a
f
h
Explication
Exemple
d'unités
Pas en fréquence associé à la coordonnée x0
mm "'
Pas spatial dans le plan de la pupille généralisée
mm
Pas spatial dans le plan image
mm
Nombre de points du vecteur échantillonné (spatial ou en —
fréquence)
Résultat de la transformée de Hankel
_1
Fréquence spatiale radiale
mm
Rayon échantillonné
mm
Fréquence radiale échantillonnée
mm '
Coefficient exponentiel de l'échantillonnage
Fonction échantillonnée selon une suite exponentielle
Vecteur qui dépend des paramètres de l'échantillonnage
pour la transformée de Hankel rapide
1
Introduction
Problématique
La profondeur de champ est un facteur important pour la conception des systèmes
d'imagerie. Les photographes utilisent par exemple le flou des objets hors champ pour
mettre l'emphase sur le sujet d'intérêt. Ils peuvent aussi varier le diamètre de l'iris de leur
lentille afin d'en diminuer l'ouverture numérique, ce qui augmente la profondeur de champ.
Anecdote intéressante, le premier système d'imagerie, la caméra obscura, se démarque par
une profondeur de champ infinie (selon l'optique des rayons).
Contrairement aux appareils photographiques, les microscopes optiques sont
souvent limités par leur profondeur de champ. En effet, l'ouverture numérique peut
atteindre 1.0 dans le cas d'un objectif sec et 1.56 dans le cas d'un objectif à immersion à
huile. Dans le pire des cas, la profondeur de champ mesure donc à peine quelques microns.
L'échantillon est souvent plus épais que cette dimension. Il est donc difficile, voire
impossible, d'imager la totalité de l'échantillon sans qu'une partie soit entachée d'un flou
lié à l'aberration de défocus.
Cette situation se produit par exemple dans le cas du système optique de Brightwell,
inc, une compagnie d'Ottawa qui vend un système d'analyse cytologique. Leur produit
contient un capillaire de 400 um d'épaisseur alors que le microscope est limité à une
profondeur de champ de 34 um (selon le critère défini dans la référence [1]). Afin de
résoudre ce problème, la compagnie a fait appel à l'expertise du groupe de M. Yunlong
Sheng. Pierre Désaulniers a commencé les travaux il y a quelques années et l'auteur du
présent document les a continués par la suite. Ce mémoire adopte pour cette raison les
paramètres du microscope de cette compagnie pour optimiser et pour tester les différents
types de masques de phase étudiés. Il n'y a cependant pas perte de généralité par rapport
aux autres microscopes optiques conventionnels puisque les éléments présents (système
d'illumination de Kôhler, objectif plano-apochromatique, lentille tube, capteur CMOS) sont
répandus pour ce type d'instrument optique.
2
Solutions
Plusieurs techniques d'augmentation de la profondeur de champ ont été proposées
dans le passé. La solution la plus évidente est simplement de diminuer la dimension du
diaphragme de l'objectif. Cette approche cause cependant des effets secondaires
indésirables puisque la résolution de l'image dépend de l'ouverture numérique de l'objectif.
De plus, la puissance optique admise dans le système varie avec la dimension du
diaphragme. Une variante de cette méthode implique l'apodisation du diaphragme de
l'objectif. En adoptant cette approche, il est plus facile de contrôler la diffraction, mais la
puissance optique admise dans le système est nécessairement diminuée.
Une approche très différente a été proposée par plusieurs auteurs. Il s'agit d'acquérir
plusieurs images en déplaçant à chaque fois l'échantillon le long de l'axe optique. Un
algorithme numérique permet ensuite de choisir pour chaque pixel du champ laquelle de
ces images est au foyer. Une figure synthétique bénéficiant d'une profondeur de champ
augmentée est finalement composée en combinant les différents pixels choisis. Pieper et
Korpel [2] ont analysé en 1983 trois de ces algorithmes. Un d'entre eux, par exemple,
consiste à trouver le plan correspondant à un minimum ou un maximum d'intensité pour
chaque pixel.
Un désavantage important de cette approche concerne la technique d'acquisition des
données. Cette méthode est particulièrement lente puisqu'il faut déplacer mécaniquement le
plan objet à plusieurs reprises et acquérir une image à chaque fois. De plus, les vibrations
causées par ces mouvements peuvent déplacer les constituants de l'échantillon, ce qui
empêche l'algorithme de recherche des plans de fonctionner adéquatement.
La solution la plus employée de nos jours pour augmenter la profondeur de champ
porte le nom d'ingénierie du front d'onde. Il s'agit d'ajouter un masque de phase à la
dernière lentille du système optique de façon à rendre la MTF invariante à la position axiale
de l'objet. L'ajout de cette aberration contrôlée détériore bien entendu la qualité des images
en diminuant la modulation des hautes fréquences, mais il est possible d'appliquer
numériquement un filtre de déconvolution sur l'image acquise pour retrouver une bonne
3
qualité optique. En effet, le même filtre peut être utilisé peu importe la position de l'objet
puisque le masque de phase rend la MTF invariante en fonction du défocus. Ce principe
fonctionne bien en théorie, mais il est difficile de concevoir un masque de phase qui rend la
MTF totalement invariante. De plus, il ne faut pas que la modulation soit trop basse pour
que le filtre de restauration numérique fonctionne bien. En particulier, une inversion de
contraste (passage par zéro de la modulation) est dévastatrice sur la qualité des images.
En 1995, Dowski et Cathey
[3] ont apporté une contribution cruciale à cette
approche. Leur raisonnement est basé sur la recherche d'un masque de phase qui rend la
fonction d'ambiguité pratiquement symétrique en rotation, ce qui équivaut à avoir une MTF
invariante par rapport au défocus. Le masque ainsi obtenu est cubique en x et en y.
Néanmoins, leur théorie n'indique pas quel coefficient cubique doit être utilisé pour un
système optique donné. Si ce coefficient n'est pas élevé, à la rigueur zéro, le masque de
phase n'augmente pas suffisamment la profondeur de champ. D'un autre côté, si ce
coefficient est trop élevé, la modulation de la MTF est inutilement dégradée. De plus, ce
masque a été obtenu en supposant que l'objectif final de la démarche est d'obtenir une
profondeur de champ illimitée. Dans les cas pratiques, une contrainte aussi élevée n'est pas
nécessaire. Il existe peut être un masque de phase qui offre des meilleurs résultats pour un
objectif plus réaliste.
Le but de ce mémoire est de répondre à ces questions en plus de déterminer quel
masque de phase est optimal pour le système optique de Brightwell, inc. Pour répondre à
ces interrogations, l'algorithme du recuit simulé a été appliqué à l'optimisation de
différents types de masques de phase.
Ces derniers sont exprimés sous la forme de
polynômes pour garder le plus de généralité possible. La fonction de coût est basée sur
l'optique de Fourier du microscope.
Il est par ailleurs important de mentionner que d'autres masques de phase ont été
proposés dans le passé. En symétrie de rotation, Chi et George [4] ont suggéré d'utiliser le
principe de Fermât pour trouver un masque de phase qui associe un anneau à chaque
position axiale de l'objet. Ce masque porte le nom de logarithmic asphere. Ben-Eliezer et
4
al. [5] ont optimisé par recuit simulé une fonction d'apodisation qui accepte les amplitudes
négatives. Afin de maximiser la puissance optique qui se rend à l'image, ils ne gardent
ensuite que la phase binaire (0 ou K rad ) du masque ainsi défini. Sherif et al. [6] utilisent
pour leur part la méthode de la phase stationnaire pour trouver un masque en coordonnées
polaires. Prasad et al. [7] ont proposé un masque de degré cinq qui n'est cependant pas en
coordonnées séparables. L'optimisation se fait par la méthode de Levenburg-Marquart avec
des points de départs choisis aléatoirement. Sauceda et Ojeda-Castaneda [8] ont exploré le
cas des masques avec des puissances fractionnaires en x et en y. Finalement, Yang et al. [9]
ont proposé un masque sensiblement différent du masque cubique qui prend le nom de
masque "exponentiel". Les résultats obtenus dans ce mémoire seront comparés à ces autres
approches.
Structure du mémoire
L'analyse de Fourier de l'instrument optique est présentée au chapitre 1. Le
chapitre 2 décrit les différentes variantes du recuit simulé utilisées pour atteindre l'objectif
de l'invariance de la MTF. Deux géométries sont étudiées en particulier : les coordonnées
cartésiennes séparables et la symétrie de rotation. Ce chapitre inclut aussi les propriétés
d'intérêt des masques de phases obtenus : profil de phase, MTF en fonction du défocus,
fonction de transfert de phase (PTF) en fonction du défocus, etc.
Les outils pour fabriquer de tels masques ne sont pas extrêmement répandus. Une
méthode accessible est décrite dans ce mémoire. Le chapitre 3 est dédié aux aspects
théoriques et pratiques de cette méthode de fabrication de masques à quatre niveaux de
phase. Finalement, le chapitre 4 regroupe les résultats expérimentaux de l'augmentation de
la profondeur de champ du microscope de Brightwell, inc. en utilisant les masques de phase
fabriqués avec la méthode du chapitre 3 et à partir de la meilleure conception obtenue au
chapitre 2.
5
Chapitre 1 - Analyse du système optique
Avant de s'attaquer au but de ce mémoire, soit l'augmentation de la profondeur de
champ d'un microscope, il est impératif de s'assurer de maîtriser chaque aspect du système
optique d'intérêt. Puis qu'il est ici question d'un microscope traditionnel (microscope de
Brightwell, inc), le montage optique peut être divisé en deux parties qui sont analysables
indépendamment, soit le système d'illumination, qui comprend la source (diode
électroluminescente avec A0 = 470 nm ), le collecteur et le condenseur, ainsi que le système
d'imagerie, constitué de l'objet, de l'objectif (Mitutoyo 5X, 0.14 NA, corrigé à l'infini), de
la lentille tube MT-40 {flube = 200 mm ) et du capteur CMOS PixelLink (pixel de 7.5p.m,
résolution de 1280x1024).
Système d'illumination
I /Collecteur
Source
étendue
_
Système d'imagerie
Condenseur
ii/
Diaphragme ......J
de champ
*
r
jjPlan
Objet
^Objectif
. Masque de phase
Lentille tube
Capteur CMOS
(plan image)
_. . •''
Diaphragme d ouverture
i|
Figure 1.1- Représentation schématisée des deux parties du système optique
Dans le cas du système d'illumination, l'analyse nécessaire concerne surtout le
choix du type d'éclairement ainsi que les techniques d'alignement. Ces informations sont
nécessaires pour la partie expérimentale de ce mémoire, entre autres pour l'obtention des
résultats présentés au chapitre 4. Le système d'imagerie doit par contre être analysé avec un
outil plus quantitatif, soit l'optique de Fourier. Cette rigueur est nécessaire puisque
l'application de cette théorie au système optique permet d'obtenir la MTF en fonction de la
position de l'objet et du masque de phase étudié. Les données issues de l'analyse de Fourier
constituent donc l'essence même de la fonction de coût à optimiser, tel que décrite au
chapitre 2.
6
1.1 Système d'illumination
L'illumination du microscope est à l'origine de plusieurs propriétés du système
optique. Selon le type d'illumination, le plan objet peut être éclairé plus ou moins
uniformément. La connaissance des techniques d'illumination est donc nécessaire sur le
plan expérimental pour produire des images de bonne qualité. Au niveau théorique, une
autre propriété est encore plus importante. En effet, selon le type de source employé et
selon la configuration du système d'illumination, son degré de cohérence peut varier.
Puisque l'imagerie incohérente ne se calcule pas de la même façon que l'imagerie
cohérente ou semi-cohérente, il convient de déterminer les conditions pour obtenir le
régime désiré.
1.1.1 Illumination critique
Collecteur
Source
étendue
(DÉL)
Condenseur
diaphragme
Plan
Objet
Figure 1.2 - Configuration de l'illumination critique
Deux types d'illuminations sont utilisés couramment pour un microscope optique
conventionnel en transmission. Le premier type se nomme éclairage critique et correspond
à imager la source dans le plan de l'objet [10]. Le diaphragme d'ouverture se trouve alors
entre le collecteur et le condenseur. Le diaphragme de champ, quant à lui, est situé dans le
plan de la source. La difficulté majeure de cette configuration est d'obtenir une illumination
uniforme de l'objet. En effet, une source étendue comme le filament d'une lampe ou la
surface émettrice d'une diode électroluminescente comporte des zones d'intensité élevée et
des zones d'intensité faible. En imageant ces sources dans le plan objet, ces non-
7
uniformités se retrouvent superposées à la fonction de transmission de l'échantillon, ce qui
ne donne pas de bons résultats. Un exemple de cette situation est présenté à la figure 1.3.
Figure 1.3 - Exemple d'illumination critique sans diffuseur
La solution la plus simple pour pallier à ce problème consiste à ajouter un verre
diffuseur très proche de la source étendue de manière à uniformiser son profil d'intensité.
Même avec cette astuce, l'obtention d'un éclairement uniforme de l'objet reste difficile à
obtenir avec l'illumination critique.
La deuxième propriété qui doit être étudiée pour l'illumination est son degré de
cohérence. Pour analyser l'effet du système d'illumination sur cette propriété, il faut
d'abord supposer que la source est spatialement totalement incohérente. Cette supposition
est logique dans le cas d'une diode électroluminescente (DÉL) puisque l'émission
spontanée est le principe dominant pour ce type de source.
Cette condition ne garantit cependant pas que l'objet soit éclairé par une lumière
spatialement incohérente. D'un point de vue de l'optique géométrique, le système
d'illumination ne fait que transposer la source étendue dans le plan objet et par le fait même
l'illumination devrait être incohérente. Cependant, à cause de la diffraction, un point de la
source ne correspond pas à un point infinitésimal dans le plan objet. En analysant les
propriétés de diffraction de l'illumination critique, Hopkins et Barham [11] ont découvert
que le facteur suivant doit être égal à zéro pour obtenir une illumination incohérente.
./
KNAûbj
■P0NA
F ob
X ^°%
=0
(1.1)
8
Ici, NAobj est l'ouverture numérique de l'objectif, NAcond est l'ouverture numérique du
condenseur etpo est la distance entre deux points de l'objet dans le plan objet. Compte tenu
que l'argument de la fonction de Bessel dépend de la séparation entre deux points dans le
plan objet, il est impossible de toujours respecter la condition 1.1. Cependant, la fonction
de Bessel peut diminuer suffisamment rapidement pour que la cohérence soit très localisée.
Un critère souvent mentionné consiste à égaler le premier zéro de la fonction de Bessel
avec le critère de résolution de Rayleigh, p0 = 0.61À/NAobJ. Compte tenu que le premier
zéro de J,(x) correspond à un argument* = 3.83, le critère est respecté lorsque l'ouverture
numérique du condenseur est égal à l'ouverture numérique de l'objectif.
1.1.2 Illumination de Kôhler
I
Diaphragme
de champ
Condenseur
Plan
Objet
Source
étendue
Diaphragme d'ouverture
Figure 1.4 - Configuration de l'illumination de Kôhler
Dans le cas de l'illumination de Kôhler idéalisée, la source étendue est imagée dans
le plan du foyer avant du condenseur. Les rayons sortent donc parallèles du condenseur et
chaque point de la source illumine tous les points de l'objet [10]. L'illumination est donc
uniforme. Le diaphragme d'ouverture se trouve aussi dans le plan de la focale arrière du
condenseur. Le diaphragme de champ se trouve quant à lui proche du collecteur. Il doit être
ajusté pour ne laisser passer que les rayons qui illuminent le champ d'observation et ainsi
couper la lumière diffuse qui dégraderait l'image.
9
Figure 1.5 - Illumination de Kôhler avec des grandissements inappropriés
Par ailleurs, la distance entre le diaphragme de champ et le condenseur doit être
choisie judicieusement pour obtenir les bénéfices de l'illumination de Kôhler. En effet,
compte tenu que cette technique implique d'imager ce diaphragme dans le plan de l'objet, il
faut s'assurer que la taille de son image soit égale ou légèrement plus grande que la
dimension du champ. Si cette condition n'est pas respectée, la situation illustrée à la
figure 1.5 est obtenue, c'est-à-dire que le champ en entier n'est pas illuminé. Pour éviter ce
phénomène, il faut se baser sur les relations issues de l'analyse par optique géométrique du
système d'imagerie à une lentille (le condenseur) [12].
m =
^cond-
(1.2)
Ici, s est la distance entre le diaphragme et le condenseur (signe négatif), fcond est la focale
du condenseur (signe positif) et m le grandissement. La condition à respecter est donc
\m\rdiaphrogmetrchamp {rdiaphmgme
et rchamp sont respectivement le rayon de l'ouverture du
diaphragme et du champ). D'un point de vue qualitatif, si la situation illustrée à la
figure 1.5 se présente, il faut approcher le diaphragme du condenseur pour augmenter le
grandissement. L'illumination obtenue avec cette condition est présentée à la figure
suivante.
Figure 1.6 - Illumination de Kôhler pour un système optique correctement aligné avec un grandissement du
diaphragme de champ suffisant
Au niveau de la cohérence, Hopkins et Barham [11] ont démontré que la relation 1.1
s'applique aussi à l'illumination de Kôhler. La même condition doit donc être respectée
afin de se retrouver dans le régime incohérent, c'est-à-dire de s'assurer que l'ouverture
numérique du condenseur est égal à l'ouverture numérique de l'objectif.
En résumé, l'illumination de Kôhler comporte des avantages par rapport à
l'éclairage critrique en ce qui concerne l'uniformité de l'éclairement en plus de maximiser
la proportion de l'intensité de la source utilisée à bon escient. Ces raisons justifient le choix
de cette configuration pour le microscope de Brightwell, inc.
1.2
Système d'imagerie
Le système d'imagerie comporte quatre éléments : l'objet, l'objectif, la lentille tube
et le capteur CMOS. Un masque de phase est aussi ajouté à la dernière lentille pour
augmenter la profondeur de champ du microscope. Afin d'étudier le comportement du
système d'imagerie, il doit être modélisé avec l'optique de Fourier. Pour faciliter cette
analyse, deux approximations générales doivent être faites. En premier lieu, la réponse
impulsionnelle du système est supposée invariante transversalement. Cette approximation
permet d'évaluer la réponse sur l'axe et de supposer que tous les points du champ ont le
même comportement. Cette hypothèse a été vérifiée expérimentalement en plaçant une
cible de résolution aux quatre coins du champ sans qu'une différence majeure ne soit
observée dans l'image obtenue.
11
La deuxième approximation concerne l'objectif et la lentille tube. Comme il s'agit
de produits commerciaux, les informations sur les rayons de courbures, les indices de
réfraction, les distances et les diamètres de leurs lentilles internes demeurent inconnues.
Néanmoins, l'objectif est corrigé à l'infini, ce qui signifie qu'il est conçu pour que l'objet
soit placé à son foyer. Si cette condition est respectée, les aberrations sont minimales et
l'objectif
respecte
fidèlement
le modèle d'une
lentille paraxiale parfaite.
Les
caractéristiques de l'objectif se résument alors à sa longueur focale, 40 mm, et à son
diamètre. Cette information n'est pas donnée directement par le fabricant, mais elle peut
être déduite de l'ouverture numérique.
NA
o»i =-^=>
Dohi =2NAohjxfobj =2xO.\4x40mm
= U.2mm
(1.3)
Cette équation est valide pour NAobj « 1. Dans le cas de la lentille tube, la longueur focale
est de 200 mm et le diamètre est aussi de 11.2 mm. Par conséquent, le diaphragme
d'ouverture mesure 11.2 mm et il est situé entre l'objectif et la lentille tube.
L'hypothèse des lentilles paraxiales parfaites a pu être vérifiée dans le cas de la
lentille tube. En effet, les aberrations du front d'onde ont été évaluées pour cette lentille à
l'aide d'un interféromètre imageant de type Fizeau. La configuration utilisée pour cette
mesure est schématisée à la figure suivante.
Lentille
tube
Sphère de
référence
Figure 1.7 - Schéma représentant la configuration du système optique pour la mesure des aberrations de la
lentille tube
L'appareil est basé sur l'interférence entre un front d'onde plan de référence et une onde
issue d'un montage optique à l'extérieur de l'appareil. Dans le cas du montage présent, le
12
front d'onde plan issu de l'appareil traverse la lentille tube, converge en son foyer pour
ensuite diverger jusqu'à la sphère de référence. Si cette dernière est placée à une distance
équivalente à la somme de son rayon de courbure et du foyer de la lentille, le front d'onde
sphérique du faisceau épouse la forme sphérique de cet élément optique. En quelque sorte,
la sphère de référence joue le rôle de surface de référence à laquelle est comparé le front
d'onde issu de la lentille tube. Le faisceau ainsi réfléchi parcourt le chemin inverse, traverse
à nouveau la lentille tube et retourne dans l'interféromètre. L'interférence du faisceau de
retour avec le front d'onde de référence interne est ensuite mesurée par un capteur CCD. La
figure d'interférence est analysée par le logiciel Metropro™ qui affiche à l'écran de
l'ordinateur le profil bidimensionnel du front d'onde.
Figure 1.8 - Résultat de la mesure des aberrations de la lentille tube MT-40 (les aberrations sont doublées).
Compte tenu que le faisceau optique traverse deux fois la lentille tube, les
aberrations sont doublées. La qualité optique du front d'onde approche A/10, soit la limite
de précision de l'interféromètre pour ce type de mesure. Cette mesure est valide dans le cas
d'un objet provenant de l'infini, ce qui correspond à la configuration de la lentille tube dans
le montage du microscope. Plus d'informations sur l'alignement, la calibration et d'autres
aspects de cette mesure sont décrits à la référence [13].
1.2.1 Objet et objectif
En s'appuyant sur les approximations décrites précédemment, le microscope peut
être analysé sous l'angle de l'optique de Fourier. La première étape de l'analyse se base sur
13
l'étude de l'onde générée par un point de l'objet situé sur l'axe. Comme il s'agit d'un point
infinitésimal, la lumière émise peut être considérée totalement cohérente. Une source
ponctuelle génère une onde sphérique. Son amplitude décroît en l/R, ce qui implique
qu'elle n'est pas uniforme dans le plan perpendiculaire à l'axe optique et situé
immédiatement avant l'objectif. L'erreur induite en supposant que l'amplitude de l'onde est
uniforme dans ce plan est cependant petite.
Figure 1.9 - Propagation d'un point de l'objet jusqu'à l'objectif
Le rapport entre l'amplitude en périphérie de l'ouverture de l'objectif et l'amplitude sur
l'axe peut être calculé avec la relation suivante pour vérifier l'hypothèse.
Er
i
= robj ) _
£(r==0)
fobj
40 mm
jfobj2+r02bj
p0 mm)2+(5.6 mm)2
= 0.99
(1.4)
Pour simplifier les calculs, il est donc acceptable de supposer qu'une onde d'amplitude
uniforme entre dans l'objectif.
Le profil de phase de l'onde émise par le point objet ne respecte cependant pas cette
simplification. Par définition, les fronts d'ondes correspondent aux surfaces de phase
constante, ce qui équivaut à l'équation suivante dans le cas d'une onde sphérique (selon
SalehetTeich[14]).
P
<Ppn>paga,ion=-2X-r
= -koR
(1-5)
R est ici la distance radiale par rapport à l'origine de l'onde. Elle peut être remplacée par
une fonction de fobJ, l (distance axiale de l'objet par rapport au foyer de l'objectif) et r
(distance radiale perpendiculaire à l'axe optique). Une simple relation de Pythagore permet
14
d'exprimer le profil de phase dans le plan perpendiculaire à l'axe optique et situé juste
avant l'objectif.
s2 = (/«,+'}+''
2
(1.6)
(1.7)
Une approximation du binôme s'impose.
A
*-(/*+'!
=
2
(1.8)
{fobj+l)+
^TD
Le profil de phase avant l'objectif devient donc
= > ^ avant objectif V") ~ ~^0
+
Uobj
uy
H~
(1.9)
2/ £obj 1 +
VJ
J Ot
L'erreur maximale induite par l'approximation est obtenue lorsque r2/[fobJ+l)
est
maximal. Dans le pire des cas, la différence de phase ne dépasse pas 0.005% de la valeur
réelle.
L'étape suivante consiste simplement à additionner la différence de phase induite
par l'objectif, qui prend la forme (Saleh et Teich [14])
A*w(r) = 2V/ . 2
(1.10)
obj
Le résultat de cette opération est donc
= > <P après objectif \ r )
=
k0r2
~^o\J,obi
■+
+l)~'
J obj
/
1+
./ o
W
(1.11)
2/ £o/j/
«y
Lorsque l'objet est situé à / . . , le front d'onde à la sortie de l'objectif est donc plan.
Autrement, une aberration de défocus est présente. Son amplitude dépend de la position de
l'objet. Le terme de phase constante peut être éliminé puisqu'il n'a pas d'incidence sur la
diffraction. Une seconde approximation binominale simplifie aussi le résultat.
2 (
(r) «
k r
/
V'ob
total après objectif
<P,
es objectif V
°
1-
/
/ . àj J
/CQ? -
KnlV
^■Jobj
^fobj
+
(1.12)
15
L'erreur de cette modification est maximale lorsque le rapport entre le déplacement de
l'objet par rapport au foyer (/max) et la longueur focale de l'objectif (fobJ) est très petit. La
valeur approximée est alors de
l_ima>L = i_o.005 = 0.995
(1.13)
J obj
Comparée à la valeur réelle
x
, /max
1 + 0.005
= 0.995
(1.14)
J obj
Cette approximation est donc valide en tout temps.
Pour fin de comparaison avec la littérature, le coefficient de l'aberration de défocus
peut être exprimé sous plusieurs formes différentes.
W20=^j
(1.15)
^Jobj
¥
lr
2
= k_™±_
(1
16)
J obj
Cette dernière notation est utile pour évaluer le critère de Hopkins. Lorsque |^| ~ 1, le
critère de Hopkins stipule que le système optique est dégradé par la présence de l'aberration
de défocus. Autrement, la qualité de l'image n'est pas significativement modifiée par la
présence de cette aberration [3].
1.2.2 Propagation entre l'objectif et le masque de phase
L'étape suivante de l'analyse de Fourier consiste à propager le faisceau optique
entre l'objectif et le masque de phase. D'un point de vue de l'optique de Fourier, il faut
utiliser une intégrale de diffraction pour tenir compte de cette étape. Cependant, une
vérification des propriétés du front d'onde permet de constater que cette démarche est
superflue. En effet, les fronts d'onde sont pratiquement plans et le faisceau est par le fait
même presque collimaté. Ainsi, le profil de phase à l'entrée du masque de phase est le
même qu'à la sortie de l'objectif. La justification de ce postulat repose sur la valeur
minimale du rayon de courbure du faisceau paraxial à la sortie de l'objectif.
16
V J '=>.
=^l=(fo^l=8m
(1.17)
/
„
0.2
/WM
2 / o/y
La valeur minimale du rayon de courbure est donc de 8 m alors que la distance entre
N)'maxr
2#„
l'objectif et le masque de phase est au plus 50 mm (cette distance, appelé infinity space en
anglais, ne doit pas être trop grande pour éviter le vignettage). En se basant sur l'optique
géométrique, le changement du diamètre du faisceau est obtenu par une simple relation de
triangles semblables.
Objectif
T
Masque de phase
à Lentille tube
x :
E
E
1!
■
r
V
-7950 mm-8000 mm(rayon de courbure du front d'onde)
Figure 1.10 - Vérification de l'approximation pour la propagation entre l'objectif et le masque de phase
(Note : les proportions ne sont pas respectées pour rendre la figure lisible. )
7950 mm
(1.18)
•=> x = 5.565 mm
8000 mm 5.6 mm
Ce calcul est très approximatif puisque la diffraction ne donne pas exactement les mêmes
résultats que l'approximation géométrique. Cependant, le comportement du faisceau devrait
être similaire compte tenu que le front d'onde est pratiquement plan, que l'amplitude est
uniforme et que le diamètre du faisceau est très grand par rapport à la longueur d'onde.
1.2.3 Masque de phase
L'étape suivante consiste à traverser le masque de phase. Ce composant optique est
simplement une plaque de verre de silice d'épaisseur variable. La modélisation du masque
de phase fait appel à la notion de fonction de transmission complexe. L'effet du masque de
phase correspond donc à l'addition de la différence de parcours optique induite par sa
17
présence sur le profil de phase du faisceau. L'amplitude du faisceau est supposée inchangée
par le masque de phase, autrement dit la plaque de verre n'est pas absorbante.
Figure 1.11 — Représentation mathématique du masque de phase
Le calcul de sa fonction de transmission fait intervenir la différence de phase induite
sur un rayon traversant l'épaisseur de la plaque de verre h(x0, y0 ) suivit d'une propagation
/zmax -h(x0,y0)
dans l'air libre, hmm correspond ici à l'épaisseur maximale du masque de
phase.
O yr
9^7"
0{xo,y0) = —^-nsiliceh{x0,y0)~
A0
</>(xo , y , )
— nair{/zmax -h{x 0 ,y 0 )}
(1.19)
Â0
= —T-
("silice - "air )M* 0
»^
0
) " "T" «ai^max
(l
- 20 )
Le deuxième terme peut être retranché puisqu'il s'agit d'une phase constante.
Ax0,yu) = - — {nsilice -najr)h{x0,y0)~-—-{nsiUce
-l)h(xe,y0)
(1.21)
1.2.4 PSF
L'effet de la lentille tube a avantage à être combiné avec la propagation de l'onde
jusqu'au plan image. Tel que mentionné par Saleh et Teich [15], l'effet de la lentille
correspond alors à une simple transformée de Fourier . Lorsque le plan d'entrée est situé
avant la lentille tube, l'équation prend la forme suivante.
£(w<) !
E(x0,y0)
et E(xj,yj)
0 J tube
Kf,
-exp \-Jk(fnibe+r*
!2flub]fT{E(x0,y0)}
(1.22)
sont respectivement les champs dans le plan de la pupille généralisée
et dans le plan image. flube est la focale de la lentille tube. Le lien entre les fréquences de la
Saleh et Teich utilisent une convention particulière pour la transformée de Fourier spatiale. Voir Annexe A
de Fundamentals ofPhotonics.
18
transformée de Fourier et les coordonnées spatiales dans le plan de l'image est donné par
les relations vx< = xt I ÂJluhe et v,# = yJKLte ■
1.2.5 Fonction de transfert optique (OTF)
Pour obtenir l'OTF, il suffit de prendre la transformée de Fourier de l'intensité dans
le plan image [16]. En effet, puisque la PSF est la réponse impulsionnelle du système
(réponse à un delta de Dirac qui comprend toutes les fréquences), sa transformée de Fourier
indique comment chaque fréquence présente dans le plan objet est atténuée par le passage
dans le système optique. Alternativement, lorsque le masque de phase est symétrique,
l'autocorrélation de la pupille généralisée permet d'obtenir le même résultat, mais il est
plus facile de calculer numériquement la transformée de Fourier grâce à la FFT.
OTF = TF{\E{Xi,yif)
(1.23)
1.2.6 Échantillonnage et la transformée de Fourier
Le développement précédent a été complété en se basant sur des calculs analytiques.
L'optimisation de masques de phase arbitraires ne permet cependant pas de procéder par
cette approche. Il faut en effet échantillonner la fonction de pupille généralisée avant de
calculer la PSF et l'OTF. D'un point de vue mathématique, la transformée de Fourier d'une
fonction échantillonnée se nomme transformée de Fourier discrète (DFT) et prend la forme
suivante.
N-\
F(n) = Yjf{k)exp\j2nkn/N]
(1.24)
k=Q
Où f{k) est la fonction échantillonnée et N est le nombre de points. Cette équation est
longue à évaluer. Le nombre d'opérations à effectuer est proportionnel à N 2 . Une
réorganisation des termes a permis à J. W. Cooley and J. W. Tukey en 1965 [17] d'obtenir
un premier algorithme Fast Fourier Transform (FFT). Avec la FFT, le nombre d'opérations
est proportionnel à JV(log2 N) . Le résultat est identique à la DFT puisqu'il s'agit
simplement d'une approche alternative pour résoudre le même calcul. En deux dimensions,
selon Wiliam H. Press et al. [18], la transformée peut être évaluée en calculant dans un
premier temps la FFT sur les lignes et en appliquant ensuite le même traitement sur les
colonnes de la matrice obtenue.
19
1.2.7 Ajustement de l'échantillonnage
L'algorithme doit respecter le théorème de Nyquist, c'est-à-dire que la fréquence
d'échantillonnage doit être au minimum le double de la fréquence maximale du signal.
Cette condition est facilement respectée dans le cas d'un masque défini par un polynôme
puisque le profil de phase ne comporte alors pas de discontinuités ni de variations trop
rapides.
Une seconde source de distorsion vient de la fenêtre spatiale. Si elle est limitée à la
dimension du diaphragme d'ouverture, la résolution n'est pas suffisante dans l'espace de
Fourier. C'est pourquoi il faut choisir une fenêtre plus grande. Pour ce faire, il suffit de
poser que le champ est nul à l'extérieur de l'ouverture de la lentille tube.
Pour vérifier que le choix du pas spatial dans le plan de la lentille tube est adéquat,
il faut s'assurer que la PSF est correctement échantillonnée. La résolution spatiale dans le
plan image est obtenue par l'équation suivante.
Où Ax0 est le pas spatial dans le plan de la lentille, Ax,. est le pas spatial dans le plan image
et TV est le nombre de points du vecteur échantillonné. Typiquement, ces variables
prennent les valeurs suivantes pour une optimisation en coordonnées séparables
cartésiennes: JV = 2048, Ax 0 =22um, A 0 =470nmet flube = 200 mm. Le pas spatial
dans le plan image est donc
A x =
M^=47Qnmx200mm=2.^m
'
NAx0
(i.26)
2048x0.022 mm
Une analyse similaire doit être reconduite pour la transformée de Fourier associée
au calcul de l'OTF. Cette fois, la fréquence maximale de la fenêtre dans l'espace de Fourier
doit être supérieure à la fréquence de coupure du système optique pour ne pas perdre
d'informations.
v
max
'
= — = — 1 — = 476 mm"1
Ax,. 2.1 um
(1.27)
20
Cette valeur est presque quatre fois supérieure à la fréquence de coupure du système, il n'y
a donc pas perte d'information.
D'un point de vue pratique, dans un premier temps le champ est calculé dans le plan
de la lentille tube en multipliant la transmittance du masque à évaluer et l'exponentielle
complexe associée à une aberration de défocus (un terme de phase quadratique). La
transformée de Fourier rapide est ensuite appliquée à l'exponentielle complexe du profil de
phase obtenu. Le carré de chaque élément du vecteur ainsi obtenu est ensuite calculé et une
seconde FFT est appliquée pour obtenir l'OTF. Finalement, l'amplitude de l'OTF est
normalisée par rapport à l'unité en divisant le vecteur par la modulation à la fréquence
0 mm~x. La figure 1.12 compare des MTFs calculées en utilisant cette méthode à celles
générées par un logiciel commercial. À l'instar du développement utilisé par Cathey et
Dowski [3] pour obtenir le masque cubique, ces calculs supposent une pupille carrée.
0
50
100
Fréquences spatiales (Ip/mm)
©
c
o
0
50
100
F r é q u e n c e s s p a t i a l e s (Ip/mm)
1
0.8
10.6
f 0.4
0.2
0
50
100
Fréquences spatiales (Ip/mm)
Figure 1.12 - Comparaison des MTFs en coordonnées cartésiennes (pupille carrée) obtenues avec l'optique
de Fourier (trait continu) et avec Zemax™ (trait pointillé, superposé au trait continu) A- objet au foyer Bobjet à -lOOum du foyer (défocus de W20 - -2.08/1 ) C- objet à -200um ( W20 = -4.17/1)
21
1.3
Optique de Fourier en symétrie de rotation
Dans le cas d'un masque de phase en symétrie de rotation, la PSF et l'OTF doivent
être obtenues d'une autre façon. En effet, il faut alors employer la transformée de Hankel.
oo
G(p) = 2K jg(r)rJ0 {l7Cpr)dr
(1.28)
Sous cette forme, il n'est plus possible d'évaluer l'algorithme FFT directement. Autrefois,
le seul moyen disponible pour évaluer numériquement cette transformée impliquait de
calculer une intégrale pour chaque fréquence radiale pm d'intérêt, ce qui est très fastidieux.
Siegmann a heureusement développé en 1977 une méthode analogue à la transformée de
Fourier rapide qui s'applique à la transformée de Hankel [19].
Sa technique pour résoudre le problème consiste en un changement de variable pour
la distance radiale
r
et la fréquence
p.
Pour compenser cette modification,
l'échantillonnage se fait selon une suite exponentielle à la fois dans le plan spatial et
fréquentiel.
r„=r0expH
n = 1,2,3,.. .,N
p„ = p0 e\p[an] n = l,2X-,N
(1.29)
(1.30)
Compte tenu que la phase de la pupille généralisée varie peu proche de l'axe optique et que
la majorité des points de la grille exponentielle s'y trouvent, il y a suréchantillonnage à cet
endroit. La méthode reste valide à condition que l'échantillonnage soit adéquat en
périphérie de la pupille, où les plus grandes variations de phase sont généralement
observées. Par contre, dans le plan image, l'échantillonnage exponentiel est avantageux
puisque les plus grandes variations d'intensité de la réponse impulsionnelle sont situées au
voisinage de l'axe optique.
Poe ' U
Points échantillonnés
<
e
)
►
-►p
k- po -*H
Po e
h*
Figure 1.13 - Échantillonnage avec une suite exponentielle
Avec cette technique, la transformée de Hankel peut être réécrite sous la forme d'une
corrélation circulaire qui est évaluée comme une multiplication dans l'espace de
Fourier.
pnG{pn) = FFT[FFT{rng{rn))x{FFT{h)y\
hn=27tarnpnJ«{2nrnpn)
(1.31)
(1.32)
(Note : les calculs se font élément par élément sauf les transformées de Fourier qui sont
appliquées sur les vecteurs.) La complexité est alors d'ordre 3N\og2N,
semblable à la
transformée de Fourier rapide. A noter que le vecteur h ne dépend que de l'échantillonnage
et peut donc être évalué une seule fois au démarrage du logiciel afin d'être conservé en
mémoire pour une utilisation ultérieure. La transformée de Fourier FFT(h) peut aussi être
calculée à l'avance pour la même raison. Ainsi, l'évaluation de la transformée de Hankel
unidimensionnelle correspond à deux transformées de Fourier en utilisant la méthode de
Siegmann, ce qui est peu coûteux.
1.3.1 Echantillonnage en symétrie de rotation
Dans le cas de l'évaluation de la PSF, le rayon minimal dans le plan du masque de
phase doit être suffisamment petit pour que le centre du masque soit adéquatement
échantillonné. À cet effet, la valeur r£SF = 2.59//m est convenable. Le paramètre alpha est
quant à lui choisi pour que le rayon maximal évalué corresponde à la dimension de la
pupille, ce qui donne a = 0.0075 (car rN = r0 exp[a/V] = 5.6mm ).
* Les exposants PSF et OTF sont ici utilisés pour différencier les paramètres associés à la transformée de
Hankel pour obtenir la PSF et ceux associés à l'OTF.
23
p0
est plus délicate à déterminer. La PSF limitée par la diffraction a une
dimension de l'ordre de lOum (rayon du premier zéro du disque d'Airy dans le plan image
avec A = 0.470 /un et une ouverture numérique dans l'espace image de NA = 0.028 ). Afin
de toujours échantillonner adéquatement la PSF, le premier pas dans le plan image Ar,. doit
être plus petit que cette dimension. La valeur choisie pour Ar; est 0.470 jum. p0
peut
ensuite être déduite.
p r =
_ * ^ =
^470^
= o.0O5mmKftube 0A70jUtnx200mm
(1.33)
Le même exercice doit être répété pour la deuxième transformée de Hankel, c'est-àdire celle qui permet de passer de l'intensité de la PSF à l'OTF. Afin d'éviter d'avoir à
interpoler les points de la PSF, le coefficient exponentiel de la suite reste le même que celui
de la première transformée. Dans le même ordre d'idée, le paramètre r°TF doit être choisi
de manière à correspondre au premier rayon de la PSF échantillonné lors de la première
transformée de Hankel. Le seul paramètre qui reste à déterminer est p°Tf'. Un critère
simple pour ce choix consiste à le sélectionner pour que la fréquence maximale évaluée
corresponde à la fréquence de coupure de l'OTF limitée par la diffraction, soit 120 lp/mm.
Même en présence d'un masque de phase, cette fréquence ne peut être augmentée.
OTP
A.
0
\20lpfmm
I20lp/mm
....
.,
=
~r—Ï- =
f
î = 0.055mm
exp[aAf]
exp[0.0075 x 1024]
...
(1-34)
Afin de valider cette méthode, les MTFs obtenues pour différentes conditions ont
été comparées avec celles calculées par le logiciel commercial Zemax™. La figure 1.14
(page suivante) permet de constater que les courbes sont confondues. Les paramètres
d'échantillonnage sont donc adéquats pour les courbes à évaluer.
L'avantage de la méthode par analyse de Fourier réside dans la rapidité d'exécution.
Le logiciel Zemax™, prend environ 2 secondes pour évaluer une MTF (échantillonnage de
1024x1024) alors que la même opération prend 2.28 millisecondes à l'algorithme
précédemment décrit, une accélération de 87700%. Dans les deux cas, l'ordinateur utilisé
est un Pentium M 1.86 GHz. Selon le manuel de Zemax™, la méthode utilisée est basée sur
le tracé de rayon de l'objet jusqu'à la pupille de sortie pour ensuite se servir de l'optique de
Fourier. Cependant, le logiciel commercial ne peut détecter la symétrie du masque de phase
et doit donc faire tous les calculs en deux dimensions, d'où le gain appréciable de vitesse en
implantant un algorithme spécialisé. Cette réduction du temps d'exécution est primordiale
pour le recuit simulé, puisque la validité de cette technique d'optimisation requiert
l'évaluation d'un grand nombre de solutions.
0
0
50
100
Fréquences spatiales (Ip/mm)
50
100
Fréquences spatiales (Ip/mm)
50
100
Fréquences spatiales (Ip/mm)
Figure 1.14 - Comparaison des MTFs obtenues avec l'optique de Fourier (trait continu) et avec Zemax™
(trait pointillé) A- objet au foyer B-objet à -lOOum du foyer (défocus de W20 = — 2.08/4.) C- objet à
-200um(Jf20 =-4.17/1)
25
Chapitre 2 - Optimisation des masques par recuit simulé
2.1 Revue de la littérature du recuit simulé
2.1.1 Origine
Le désir de résoudre efficacement des problèmes d'optimisations générales a motivé
l'invention du recuit simulé. L'algorithme est directement inspiré par le phénomène
physique du même nom. Le rapprochement a été fait par Kirkpatrick et al. [20]. Tel que
décrit par l'auteur dans la référence [21], le recuit simulé fait une analogie entre les atomes
d'un système physique imaginaire et les paramètres à optimiser. Selon cette analogie,
l'énergie du système est donnée par la fonction de coût spécifique au problème à optimiser.
Ainsi, une solution proche du minimum global possède une faible énergie. D'autre part,
lorsqu'un matériau fondu est refroidi lentement, les atomes s'organisent naturellement dans
la configuration qui minimise l'énergie. L'idée du recuit simulé est simplement de
transposer cet effet pour minimiser la fonction de coût et trouver la solution optimale.
Le recuit simulé arrive à ce but en appliquant le critère de Metropolis pour
déterminer si une solution doit être gardée. Cette méthode a été décrite par Metropolis et
al. [22] pour le cas physique d'un ensemble d'atomes en équilibre thermodynamique. Le
principe de cette méthode est d'obtenir une nouvelle solution à chaque itération de
l'algorithme. Si la différence d'énergie par rapport à la solution précédente est inférieure à
zéro, le changement est accepté. Sinon, il n'est pas systématiquement rejeté. Pour savoir
s'il est accepté, un nombre aléatoire issu de la distribution uniforme est comparé à la
distribution de Boltzmann. Cette façon de procéder permet à l'algorithme de s'échapper des
minimums locaux tout en favorisant les basses énergies.
2.1.2 Preuve de la convergence
La structure de l'algorithme du recuit simulé semble intuitivement converger vers la
solution de moindre énergie. Pour le prouver rigoureusement, il faut analyser le
comportement mathématique de l'algorithme. Une telle analyse est présentée par exemple
dans Convergence and finite time behaviour [23]. La preuve est basée sur un modèle
mathématique appelé chaînes de Markov. Ces chaînes correspondent à un système dont
l'état futur ne dépend pas des états précédents. Dans le cas du recuit simulé, le choix de la
solution suivante à une itération donnée dépend uniquement de la différence d'énergie entre
la solution choisie et ses voisines.
Pour arriver à la preuve, il faut analyser le vecteur dont chaque composant
correspond à la probabilité d'avoir sélectionné une solution spécifique. Dans un premier
temps, il s'agit de prouver que la chaîne de Markov est faiblement ergodique, c'est-à-dire
que deux solutions de départ choisies aléatoirement finissent par donner le même vecteur
de probabilité. Il faut dans un deuxième temps prouver que l'algorithme est aussi fortement
ergodique, c'est-à-dire que le vecteur des probabilités converge vers un état où tous les
éléments sont zéro sauf les minimums globaux. (Il se peut en effet qu'il y ait plus d'un
minimum global puisque plus d'une solution peut avoir exactement la même énergie.)
La preuve de la convergence du recuit simulé dépend des spécifications de
l'implantation de l'algorithme. Par exemple, la référence [23] est basée sur une variation de
la température très lente et requiert une infinité d'itérations entre chaque changement de
température et une infinité de changements de température. Dans la pratique, ces conditions
ne peuvent être atteintes. De plus, cette preuve est conçue pour les problèmes
combinatoires et s'applique mal pour cette raison à l'optimisation de paramètres continus.
2.1.3 Autres développements
Plusieurs auteurs ont étudié des méthodes beaucoup plus rapides pour l'optimisation
de paramètres continus. Szu et Hartley [24] ont par exemple présenté des arguments en
faveur de la convergence d'un recuit simulé ayant une variation de la température
T{t) = TQ /(l + /). Pour que leur preuve soit valide, les voisins doivent être obtenus à partir
de la distribution de Cauchy à D dimensions, D étant le nombre de paramètres libres à
optimiser. Ingber [25] a poussé le concept plus loin en proposant T{t) = T0 exp[ctUD \. La
distribution à utiliser pour cette approche ne correspond à aucune connue, mais Ingber en
donne l'équation et la fonction de répartition. Pour avoir une implantation réaliste de ce
dernier algorithme, l'expression de la température est souvent modifiée pour obtenir la
forme T(t) = TQexp[ckQ,D\. Q porte le nom du facteur de trempe {quenching factor) [26]
et est souvent égal à D, le nombre de dimensions. Lorsque le facteur de trempe est plus
grand que un, l'algorithme n'est plus garanti de parcourir une infinité de fois chaque
solution. Par contre, son utilisation dans des cas d'optimisations réelles donne en général de
bons résultats.
Les quelques articles mentionnés ne forment qu'une infime partie de la littérature
sur le sujet du recuit simulé. Pour donner une idée de l'intérêt porté par cet algorithme, il
suffit de garder à l'esprit que l'article original de Kirkpatrick [20] a été cité plus de 10 000
fois. Ces différents auteurs se sont intéressés au réchauffement de la température, au choix
de la température initiale, à l'application de l'algorithme à des situations réelles, etc. À
partir des principaux résultats tirés des articles consultés, une implantation du recuit simulé
a été conçue pour optimiser les masques de phase polynomiaux destinés à l'augmentation
de la profondeur de champ d'un microscope.
2.2 Vue d'ensemble de l'algorithme de recuit simulé
La structure générale du recuit simulé comporte deux boucles itératives. La
première contrôle les variations de la température. La deuxième boucle est imbriquée dans
la première. Elle correspond aux itérations de l'algorithme entre deux changements de
température. À chaque exécution de cette dernière, l'algorithme sélectionne une nouvelle
solution. Ce choix se fait de manière aléatoire. Le coût de la nouvelle solution est ensuite
comparé à celui de la solution précédente. S'il est plus petit, la nouvelle solution est
immédiatement acceptée et l'algorithme passe à l'itération suivante. Si ce n'est pas le cas,
la solution n'est pas rejetée systématiquement.
Lorsque cette situation se présente, un nombre aléatoire situé entre [0,l] est tiré de la
distribution uniforme. Ce nombre est ensuite comparé à une distribution probabiliste faisant
intervenir la température courante et la différence d'énergie entre la nouvelle solution et la
solution précédente. Si le nombre aléatoire est plus petit que la valeur calculée de cette
distribution, la nouvelle solution est acceptée. Sinon, elle est rejetée. Le schéma de cette
implantation du recuit simulé est présenté à la figure 2.1.
Vrai
Choisir une
nouvelle solution
Accepter la
nouvelle solution
Faux
Rejet de la
nouvelle solution
Faux
Vrai
Figure 2.1 -Schéma du recuit simulé adapté aux masques de phase pour l'augmentation de la profondeur de
champ d'un microscope
Certains paramètres du recuit simulé doivent être analysés plus en détails pour
comprendre leur influence sur le résultat de l'optimisation. De plus, plusieurs d'entre eux
ont avantage à être adaptés à la géométrie choisie. Ces raisons justifient d'étudier dans un
premier temps l'optimisation par recuit simulé de masques de phase polynomiaux en
coordonnées cartésiennes séparables pour ensuite faire le même travail en symétrie de
rotation.
2.3
Optimisation en coordonnées cartésiennes séparables
Le système de coordonnées cartésiennes séparables est un choix logique pour
l'optimisation de masques de phase. Une certaine symétrie pour la PSF et l'OTF est
présente puisque la réponse du système est identique selon deux axes. De plus, ce système
de coordonnées comporte deux avantages en ce qui concerne l'évaluation de la MTF.
Premièrement, l'aberration du défocus peut être séparée selon les axes x et y, ce qui est
un prérequis pour appliquer le développement de l'optique de Fourier du chapitre 1. Le
deuxième avantage concerne la rapidité du calcul. En effet, l'évaluation de l'OTF est
réduite à deux transformées de Fourier avec quelques autres calculs moins exigeants. Cette
géométrie présente par contre le désavantage d'impliquer une pupille carrée alors que les
lentilles ont des ouvertures circulaires.
29
2.3.1 Définition et propriétés du masque de phase
Le masque de phase peut prendre la forme générique d'une fonction polynomiale
qui représente un profil de phase continue sous la forme
*> »=o
Où les coefficients /?„ sont les paramètres à optimiser et x0 est la coordonnée spatiale
normalisée de la pupille généralisée. Le degré 2N +1 du polynôme peut être arbitrairement
élevé. Une valeur de 2N + 1 = 31 est suffisante puisque les puissances supérieures ne
contribuent que légèrement à la phase totale du profil dans la pratique.
Le polynôme inclut seulement les puissances impaires de x0 et y0. Ce choix est
justifié par une propriété mathématique analytique du système optique ainsi défini.
Shérif et al. [6] ont établi qu'un masque de phase qui satisfait 0(ro,0) = -0(ro,O + x)
accepte aussi la relation PSF(xj,yi,W2û)
= PSF(xi,yi,-W2Q).
Cette condition est respectée
par le masque de phase polynomial avec des termes impairs, tel que prouvé par ce
développement :
i
2n_
Ar0,e)=^±p
{*r
+y^)
n
À
(2.2)
* „=o
Il faut transformer les coordonnées cartésiennes sous la forme polaire.
x0 = r0 cos 6
ya=r0$mO
2 2n
u cos2n+1
sin2 +
fa°)= j;'Zfik. *
«=o
L'angle 6 est remplacé par 6 + x .
0(r ,0 x) = ^2n^ ' 2 "
o
+
o
+ l
oos^(0
*+'.™
+
x)+roM
(2.3)
" ' *)
sin^(0
(2-4)
+
4
(2.5)
n=\
cos(é? + ;r) = -cosé?
sin(é? + ;r) = --siné?
^ro,0
+
2n_
x) = ^f±(-\)2"+^n(ro2"+]
À
Le facteur (-l) "+ est toujours egai
égal à< - 1
2x A
0(ro,0 + x) = -^±/3n(ro2"+l
c o s 2 - 8 + r r sin2"+1 e)
cos2"+l 0 + ro2"+l sin2"+1 û)
<f>(ro,8 + x) = -0{ro,O)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Cette propriété double la profondeur de champ d'un masque de phase qui la respecte. Il est
donc préférable d'optimiser seulement les puissances impaires de x 0 .
2.3.2 Choix du voisin
Il existe plusieurs possibilités pour le choix du voisin dans le cas de l'optimisation
de coefficients continus. Deux de ces approches ont été implantées. La première consiste à
donner des valeurs discrètes aux coefficients, par exemple à les faire varier par des pas de
un centième de la valeur maximale. L'optimisation de paramètres continus se transforme
ainsi en un problème ayant un nombre de solutions limité.
La deuxième méthode implantée obtient la variation de chaque coefficient
aléatoirement à partir d'une distribution probabiliste (la distribution normale). La
"moyenne" est la valeur actuelle du coefficient et l'écart type est donné par la température.
La taille du pas décroît donc en même temps que la température. L'algorithme explore ainsi
la forme générale de la fonction de coût au début de l'optimisation et raffine la solution à
mesure que la température décroît. D'autres distributions peuvent être utilisées, par
exemple celles de Cauchy et d'Ingber. Dans les deux cas, la fonction est symétrique et
ressemble à la distribution normale à la différence près de l'importance accordée aux
grandes variations. En effet, ces distributions permettent des grands sauts même à basse
température.
Un dernier aspect mérite d'être mentionné en ce qui concerne le choix du voisin
pour l'optimisation de paramètres continus. La dérivée du profil de phase doit être vérifiée
avant d'accepter la nouvelle solution. Pour l'évaluer, il suffit de calculer pour chaque
élément du vecteur de phase échantillonné l'équation suivante
^
dx0
= ^±/3n(2n
+ lW"
(2.10)
À „=0
Deux raisons justifient cette vérification. Premièrement, l'échantillonnage doit être adéquat
pour le calcul de l'OTF. De plus, la phase doit varier suffisamment lentement pour être en
dessous de la contrainte de fabrication. Si ces deux conditions ne sont pas respectées, le
processus de choix d'un voisin est recommencé.
31
2.3.3 Fonction de coût
La fonction de coût choisie ne fait intervenir que la MTF. L'optimisation en
parallèle de la MTF et de la phase de l'OTF (PTF) est périlleuse puisque les deux fonctions
sont liées à la pupille généralisée. L'invariance de la PTF de la solution optimisée doit
néanmoins être vérifiée après l'optimisation.
La fonction de coût choisie est similaire à celle définie par Ben-Eliezer dans la
référence [5]. La principale différence réside dans le remplacement la MTF limitée par la
diffraction par la MTF cible. La fonction de coût finale prend la forme
M 2
Cost = YJl\MTF{u;(W20)m)-MTFcMe{u]
2
du
(2.11)
m=\ o
Où u est la fréquence spatiale normalisée, MTFcible(u) est la MTF cible définie plus loin et
W20 est le coefficient de défocus (L'indice m correspond à des valeurs spécifiques :
{W2Q){ = 0A,(W20)2 =-\.04A,...,(W2Q)5 =-4.17/1). Comme le masque est identique selon
les deux axes, il est superflu d'évaluer la fonction de coût avec une MTF bidimensionnelle.
Pour chaque itération de l'algorithme d'optimisation, la MTF du système optique
est évaluée pour cinq défocus différents situés entre W20 = OA et W20 = -4.11A. Cette
opération n'est pas requise pour les valeurs positives de W20 grâce à la symétrie liée au
masque impair. L'intégrale par rapport à la fréquence est évaluée numériquement pour
1024 fréquences différentes.
La nouveauté de cette fonction de coût par rapport au choix de Ben-Eliezer réside
dans le concept de la MTF cible. Cette modification est motivée par la nécessité d'avoir des
MTFs qui soient identiques peu importe où l'objet est placé. Cette condition est requise
pour appliquer avec succès le même filtre de restauration pour chaque position de l'objet.
Un bon point de départ pour cette MTF cible a déjà été employé par Ben-Eliezer : la MTF
limitée par la diffraction. Quoique désirable, ce but n'est pas réaliste puisque l'ajout du
masque de phase équivaut à introduire une aberration contrôlée dans la pupille généralisée
du système optique, ce qui dégrade inévitablement la MTF. Il est par contre difficile de
choisir une MTF cible qui ne soit pas arbitraire. La méthode de la MTF cible définie
iterativement commence ainsi par optimiser un masque de phase avec la MTF limitée par la
diffraction comme point de départ. Pour la seconde optimisation, la fonction cible devient
la moyenne des MTFs des différents défocus d'intérêt. Ainsi, la nouvelle cible est déjà
beaucoup plus réaliste que la première utilisée. L'implantation mathématique de cette idée
est simplement
i
[MTFcibML
M
=—HlMTF(u;{W20)ll)l
(2.12)
Où les indices / et i + l sont utilisés pour différencier l'itération actuelle de l'itération
suivante. En pratique, après seulement trois itérations, la cible ne change pas beaucoup.
Cette convergence rapide est clairement visible à la figure 2.2, qui montre l'évolution de la
MTF cible selon le nombre d'itérations.
- itération 1
■ Itération 2
- Itération 3
Fréquence spatiale normalisée
Figure 2.2 - Convergence de la MTF cible avec le nombre d'itérations
33
2.3.4 Autres paramètres de l'optimisation
Les autres aspects du recuit simulé qui influencent sa convergence sont liés à la
température : la façon de la changer, le nombre de modifications et le nombre d'itérations
entre deux de ces changements. Le nombre de changements de température ne doit pas être
trop petit, sinon l'algorithme risque de stagner dans un minimum local. Pour la même
raison, il faut choisir une température initiale suffisamment élevée pour que tous les
changements soient initialement acceptés. Finalement, le critère d'arrêt doit correspondre à
une température pour laquelle les changements de la fonction de coût sont négligeables.
Ces valeurs sont déterminées empiriquement.
L'agenda de refroidissement (cooling schedule) de l'algorithme doit aussi varier
suffisamment lentement pour assurer autant que possible une convergence vers le minimum
global. Tel que mentionné à la section 2.1.2, les preuves de la convergence du recuit simulé
sont basées sur un agenda de refroidissement très lent. Pour les applications réelles du
recuit simulé, il est d'usage de plutôt se baser sur l'idée de Ingber, soit d'utiliser une
décroissance exponentielle. De plus, le facteur de trempe est posé égal au nombre de
dimensions. Cet agenda de refroidissement est exprimable sous une forme alternative. En
effet, au lieu de calculer la température en fonction du nombre d'itérations, il est possible
de l'exprimer selon la température précédente :
T„
r () exp[-c«J
Tn+l=c'T„
(2.14)
Cette façon de procéder n'ajoute ou ne retranche rien à l'algorithme, mais plusieurs auteurs
l'adoptent. Compte tenu qu'il est facile de passer d'une méthode à l'autre, les deux façons
de faire sont utilisées indifféremment dans ce mémoire.
34
2.4 Implantation de l'algorithme en coordonnées
cartésiennes
Le langage de programmation C++ a été choisi pour l'implantation informatique de
l'algorithme en raison de sa portabilité et de sa rapidité d'exécution. Le programme a été
divisé en deux classes. La première se nomme Simulatedjmnealing
et comprend la
fonction de la boucle principale, celle du choix du voisin, une autre pour le calcul de
l'énergie ainsi qu'une série de fonctions pour exporter les résultats une fois l'optimisation
terminée. La liste des fonctions qui la composent ainsi qu'une courte description de leur
rôle sont présentées au tableau 2.1. Les codes des fonctions clés sont disponibles en
annexe A.
Tableau 2.1 - Liste non-exhaustive des fonctions de la classe Simulatedjmnealing
Fonction
void optimize(void);
void chooseaneighbour(void);
bool V e r i f y S l o p e ( v o i d ) ;
double e v a l u a t e _ e n e r g y ( v o i d ) ;
void exportphase();
void writeMTFs(void);
void writeOTF(void);
Description
Boucle principale du programme
Choix du voisin
Vérifie la dérivée du profil de phase
Calcul de l'énergie
Exporte dans un fichier le masque de phase
Exporte dans un fichier les MTFs
Écrit dans un fichier l'OTF pour fin de simulation
d'images
La deuxième classe se nomme MTFcoordseparables. Comme son nom l'indique,
elle est dédiée au calcul des MTFs dans le système de coordonnées cartésiennes séparables.
Cette classe se base sur la librairie FFTW pour le calcul des transformées de Fourier. La
liste des fonctions qui la compose est incluse au tableau 2.2 et les codes clés sont en
annexe B.
Tableau 2.2 - Liste des fonctions de la classe MTFcoordseparables
Fonction
Void i m p o r t p h a s e (
double *vecteur_phase);
void getPSF(void);
void getMTF(void);
v o i d e x p o r t M T F ( d o u b l e *MTF);
Description
Importe le masque de phase
Calcul de la PSF
Calcul de la MTF
Exporte la MTF
35
2.5 Résultats de l'optimisation en coordonnées
cartésiennes
Après les trois optimisations nécessaires pour définir la MTF cible définie
itérativement, une dernière optimisation a été complétée. Son but était d'obtenir une
solution ultime. Ainsi, l'algorithme a été configuré pour maximiser les chances de se rendre
le plus près possible du minimum absolu de la fonction de coût. Le nombre d'itérations de
température a été fixé à 5500 et le nombre d'itérations intermédiaires (entre deux
changements de température) à 50. Un total de 275000 itérations a par conséquent été
évalué.
2.5.1 Fonction de transfert optique
Les MTFs pour différentes valeurs de défocus sont présentées à la figure 2.3 (page
suivante). L'échelle des fréquences est normalisée par rapport à la fréquence de coupure du
système optique cohérent. La fréquence de coupure incohérente est le double de cette
valeur. Cette façon de normaliser est un standard établi dans le domaine de l'augmentation
de la profondeur de champ afin de permettre les comparaisons entre différents systèmes
optiques.
Bien que l'invariance de la MTF soit améliorée par rapport au système sans masque,
les courbes ne sont pas encore totalement identiques. Pour obtenir une invariance encore
plus grande, la MTF cible définie itérativement a due être diminuée par un facteur 0.75
pour une optimisation finale. Cette opération permet de modifier la fonction de coût afin
d'accorder plus d'importance à l'invariance qu'au ratio de Strehl. Les nouvelles MTFs sont
présentées à la figure 2.4 (page suivante) et les fonctions de transfert de phase (PTF) sont
tracées à la figure 2.5 (page 37) . Contrairement aux MTFs, les PTFs ne sont pas totalement
invariantes par rapport à la position de l'objet. Les résultats obtenus ont été vérifiés avec le
logiciel Zemax™ (avec une pupille carrée).
* Les PTFs sont de signe opposé du côté négatif de l'axe des fréquences.
W20 = -4.17A(-200um)
3.12A(-150um)
---2.08A(-100um)
■—1.04A(-50um)
-OA(Oum)
— MTF cible
0.5
1
1.5
Fréquence spatiale normalisée
Figure 2.3 - Courbes MTFs pour la solution optimale selon différents défocus (optimisées avec la MTF cible
définie itérativement)
0.8
|
W20 = -4.17A(-200Mm)
0.6
-3.12A(-150um)
-2.08A(-100um)
-1.04A(-50um)
0A (Oum)
0.4
-MTF cible
0.2
0.5
1
1.5
Fréquence spatiale normalisée
Figure 2.4 - Courbes MTFs de la solution optimale pour différents défocus (optimisées avec la MTF cible
réduite)
37
30
20
■^-—rrr-zr::-
10
^ é
0 0
^ '
' ^ % .
0
-10
W20 =-4.17A(-200Mm)
3.12A(-150um)
2.08A (-100um)
-1.04A(-5ÛMm)
0A(0|jm)
\
? -20
a>
n
JS -30
\
Q.
\
-40
"^T
-50
-60
-70
"
"""
""
■
|
Y
Ai
1
-80
0.5
1
1.5
Fréquence spatiale normalisée
Figure 2.5 - Courbes de PTFs de la solution optimale pour différents défocus (avec la MTF cible réduite)
2.5.2 Simulation d'images
Une simulation des images fournies par le système optique peut être obtenue à partir
des OTFs calculées théoriquement. Les résultats de ces simulations sont présentés au
tableau suivant.
Tableau 2.3 - Simulation d images avec le masque polynomial en coordonnées cartésiennes séparables
Simulation
Sans masque
Au foyer
(W2„ = 0 )
-50 um
-100 um
-150 um
-200 um
(W20 = -1.04X) (W20 = -2.081) (W20 = -3.121) (W20 =-4.171)
• " ■Nil E
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lll SS j
1 •'
—
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III 3S» •
111 =
IIIS
= II!
Hij
■
■
i
■ -
, :
Malgré les différences entre les PTFs, les images semblent invariantes par rapport à la
position de l'objet. Un test plus rigoureux de la perfomiance du masque implique de
38
procéder à la restauration numérique des images. Cependant, un seul filtre doit être
appliqué pour toutes les images puisqu'il n'est pas possible de connaître le déplacement de
l'objet par rapport à l'objectif dans des situations réelles. Le filtre de déconvolution est
alors donné par l'OTF limitée par la diffraction divisée par la moyenne des OTFs en
fonction du défocus (moyenne des MTFs et moyenne des PTFs calculées séparément). De
plus, la phase de l'OTF doit être continue, autrement dit un algorithme numérique de
déroulement de la phase {phase unwrapping) doit être appliqué préalablement. Le filtre
prend alors la forme suivante.
07F
H{u,v) =
limi.éediff.(">V)
M
(2.15)
M
l
SMrF(u,v;{W20)m)/M
xexp ;£/>7F(w,v;(JF 2 0 )J/M
,m=l
m=\
Les images obtenues en appliquant ce filtre sont de bonne qualité peu importe la position
de l'objet (voir tableau 2.4).
Tableau 2.4 - Simulation de déconvolution d'images avec le masque polynomial en coordonnées cartésiennes
séparables
- 5 0 fini
Au foyer
| (W 20 = 0 )
|
1
7
(W20 = -1.04X)
8
= •"■111
>■« « ■
| l | 3S ;
:ÏÏ
m=
1 6 — ...
= 111
111= i
111 =
"
è
■ 1
1
1=
' IIIS-
' = 111 lll E
jm ^»
* î»
i |M
i «g j
* *"*
6Ifï
" 111 = S
=111
* Ï ='
=
111 «1
ILS
•1 tf';
«i
6
1 | | SU j
-200 um
(W 20 = -4.17A.)
m
» !
lit ■
S lll
-150 um
(W 20 =-3.12k)
mm «
"■IMS
* • ™ tu s
Hr
«■••
6
> im ^ ™
ISS
=
-100 uni
(W 20 = -2.08k)
-!!!■■ lll
M ^ |
\*Z
iïr
6
e
■St 1 1
=
■ ni s ■■
' " ~~
HIE
• 111 =
= m
m
= lll
tn=
-
'•;;:;
flli
1
*4
;SSfB'JHë<
111= ■
! r*
6
' BIS «
• mS- îE
||£
= ni * ï '■ 6' == l i t |IHS
E
= 111 IIIS "
2.5.3 Profil de phase
Le profil de phase du masque optimisé sans la composante linéaire est présenté à la
figuré 2.6 (page suivante). Le terme linéaire a été enlevé car il ne fait que déplacer la PSF
dans le plan image sans pour autant avoir d'incidence sur la qualité des images.
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Coordonnée x normalisée
Figure 2.6 - Profil de phase du masque optimisé sans le terme de phase linéaire (optimisé avec la MTF cible
réduite).
Les coefficients du polynôme optimisé sont répertoriés au tableau suivant.
Tableau 2.5 - Coefficients du polynôme optimisé en coordonnées cartésiennes
n
0
1
2
3
4
5
6
7
exposant
(2n+l)
1
3
5
7
9
11
13
15
coefficient p„
*k
n
-2.96
4.70
0.78
0.00
1.40
2.04
2.04
-3.44
8
9
10
11
12
13
14
15
exposant
(2n+l)
17
19
21
23
25
27
29
31
Coefficient pn
*k
2.04
0.01
-0.32
1.72
-1.10
0.16
-1.72
0.46
Pour compléter l'analyse du profil de phase du masque optimisé, une comparaison
est faite entre la forme de cette courbe et celles des masques proposés dans la littérature.
Les résultats de cette analyse sont présentés au tableau suivant.
Tableau 2.6 - Comparaison du masque de phase avec des propositions issues de la littérature
Auteurs
Équation du masque
Shérif étal.
[27]
Valeurs des
paramètres
Pearson R
(coefficient de
libres
corrélation)
£ =120.99
£ =0.387
0.9865
x(iogkl+ft)
Dowski et
Cathey [3]
Sauceda et
OjedaCastaneda [8]
^Uo)=£iV
£, = 44.6 rad
0.98758
^(*o)=£2^£«(*o)h>r
Ç2 = 52.9 rad
0.99818
Yang et al. [9]
0(*o) = £*o e W*o 2 ]
£ = 4.76 rad
y =2.49
n+£=43
0.99893
Le masque de Yang se rapproche le plus du masque optimisé.
2.5.4 Vérification de la répétabilité des résultats
Une bonne façon de s'assurer d'avoir atteint le minimum global consiste à réitérer
plusieurs fois la même optimisation en conservant exactement les mêmes paramètres. Si la
solution obtenue ne change pas d'une optimisation à l'autre, il s'agit probablement du
minimum global. En effet, il est peu probable que l'algorithme s'arrête à chaque fois au
même minimum local si la température diminue trop rapidement. Les résultats de cette
démarche sont présentés à la figure 2.7 (page suivante).
41
«o-i
■4e
—
1
Recuit simulé #1
Recuit simulé #2
Recuit simulé #3
-
Recuit simulé #4
"2e~1
/
f
-40
-60"-'
Position spatiate normalisée
Figure 2.7 - Vérification de la répétabilité des résultats de l'optimisation par recuit simulé d'un masque de
phase polynomial en coordonnées cartésiennes séparables
La concordance entre les résultats confirme que le minimum global a été atteint.
2.5.5 Discussion
Après optimisation, les résultats révèlent que la MTF cible réduite permet d'obtenir
une solution extrêmement invariante par rapport au défocus. La fonction de transfert de
phase est pour sa part partiellement invariante. Les différences entre les courbes de cette
dernière n'empêchent pas d'appliquer un filtre de déconvolution pour améliorer les images.
La fonction la plus proche du résultat obtenu est le masque "exponentiel" proposé
par Yang.
Le masque en coordonnées cartésiennes séparables comporte cependant un
désavantage notable : il a été conçu en fonction d'une pupille carrée, alors que l'ouverture
des lentilles est circulaire. Cet inconvénient est aussi partagé par les autres masques en
coordonnées cartésiennes mentionnés précédemment ([27], [3], [8] et [9]). L'annexe D
regroupe les MTFs et les PTFs obtenues avec Zemax™ pour une ouverture circulaire. Les
MTFs sont un peu moins invariantes que pour une ouverture carrée. Par contre, les PTFs ne
sont pratiquement pas changées. Il est bien entendu possible de limiter l'ouverture des
lentilles circulaires à une forme carrée, mais il y a alors une perte notable de puissance
optique, ce qui diminue l'intérêt d'utiliser un masque de phase.
2.6 Algorithme de recuit simulé en symétrie de rotation
La symétrie de rotation est un autre choix naturel pour l'optimisation de masques de
phase puisque les lentilles et les diaphragmes suivent cette géométrie. La fonction de
transfert optique respecte aussi une propriété très intéressante. En effet, en symétrie de
rotation sa partie imaginaire est nulle. Compte tenu que la fonction de transfert de phase est
définie comme arctan(lm{OrF}/ Re{OTF}), elle est aussi égale à zéro. Dès lors, la fonction
de coût peut être basée uniquement sur la MTF sans avoir à vérifier la phase de l'OTF.
L'algorithme du recuit simulé en symétrie de rotation emprunte beaucoup
d'éléments à la version décrite précédemment pour le système de coordonnées cartésiennes
séparables. Néanmoins, la définition du masque et l'implantation comportent des
différences majeures qui valent la peine d'être décrites plus en détails.
2.6.1 Définition du masque
Le masque de phase en symétrie de rotation n'est pas défini de la même façon qu'en
coordonnées cartésiennes séparables. En effet, l'utilisation d'un polynôme impair ne
garantit pas de doubler la profondeur de champ dans la présente géométrie. Il est donc
préférable de conserver les termes pairs.
Ar0) = ^±P„r:
(2.16)
Où ra est le rayon normalisé. Une tentative d'utiliser le principe de Shérif et al. [6] a été
testée malgré tout. Il s'agissait d'optimiser le masque de phase uniquement pour les MTFs
qui correspondent à des déplacements positifs par rapport au foyer de l'objectif. Afin de
rendre les MTFs pour des positions négatives invariantes à leur tour, la phase de la moitié
du masque devait être inversée. Le principe fonctionnait, mais la qualité des images était
grandement endommagée par l'inversion de la phase. Cette façon de procéder n'a donc pas
été utilisée pour obtenir les résultats finaux. Neuf positions de l'objet ont donc été évaluées
au lieu de cinq pour le système de coordonnées cartésiennes.
2.7 Implantation de l'algorithme du recuit simulé en
symétrie de rotation
L'implantation de cette version de l'algorithme suit la structure adoptée en
coordonnées cartésiennes séparables. La classe Simulatedjmnealing est donc pratiquement
identique, à l'exception de la phase du masque qui est calculée différemment.
MTFcoordseparables est de plus remplacée par une classe qui se nomme FHT. Les
fonctions qu'elle comporte sont cependant très différentes puisque le calcul de l'OTF en
coordonnées polaires utilise la transformée de Hankel. La liste des fonctions qui composent
FHT est incluse au tableau 2.7 et les codes clés sont en annexe C.
Tableau 2.7 - Liste des fonctions de la classe FHT
Fonction
Void l i n t o e x p ( d o u b l e
double defocus);
*input,
void exptolin(double
*output);
void
PSF_doHankel(void);
void MTF_doHankel(void);
void
getMTF(void);
Description
Echantillonne le masque de phase avec une suite
exponentielle
Convertit la MTF d'un échantillonnage
exponentiel à linéaire
Applique la transformée de Hankel rapide pour
obtenir la PSF
Applique la transformée de Hankel rapide pour
obtenir la MTF
Calcul la MTF à partir du masque de phase
préalablement importé
2.8 Résultat de l'optimisation en symétrie de rotation
La convergence de la MTF cible définie itérativement a encore une fois nécessité
trois optimisations. Cette fois, le nombre d'itérations de température a été maintenu à 5500,
mais le nombre d'itérations entre deux changements a été augmenté à 300.
2.8.1 Fonction de transfert optique
Le masque de phase en symétrie de rotation ne respecte pas la condition de
Shérif et al. [6]. Il faut donc l'optimiser à la fois en fonction des défocus positifs et négatifs.
Afin de conserver la clarté des graphiques, les neuf courbes ont été divisées en deux
groupes. Les résultats pour l'optimisation des neufs courbes sont présentés à la figure 2.8.
1 0
0.8
0.6
W20 =0A (0|jm)
S
1
0.4
1.04A(50Mm)
2.08A(100um)
3.12A(150um)
4.17A(200|jm)
MTF cible
%
m
0.2
~^>^î-'^
05
(1
-0.2
'
*^**—*^ a t
1
15
:
J
Fréquence spatiale normalisée
I©
0.9 4
0.8
"'
0.7
0.6
I
S °-
5
0.4
0.3
0.2
0.1
.s
1
• W 20 =-4.17A(-200um)
■-3.12A(-150um)
-2.08A(-100Mm)
--1.04A(-50um)
11
il
l\
-OA(Oum)
■ MTF cible
ni \
u
- H\
VA'- \s
v^>^
0
0.5
^ï^5*ss? mm^^m
1
*"•** *v***-t.
1.5
Fréquence spatiale normalisée
Figure 2.8 - MTF pour différents défocus pour le masque polynomial en symétrie de rotation.
A- défocus positifs B- négatifs
1©
0.8
i
If:
t
t
0.6
Si
Si
Si
Si
o
0.4
■W20 = -4.17A(-200um)
■-3.12A(-150um)
l|;
- 3.12A (150um)
Si
Si
V
0.2
i>
1K \
-4.17Â(200um)
_ _
ii\6v->.
Il Ï^P^ ^ - A . . .
„ \1 V 'o 5
1.5
2
-0.2
Fréquence spatiale normalisée
-W2l1 =2.08A(100|jm)
-1.04A(50um)
- 0A (0|jm)
-1.04A(-50pm)
--2.08A(-100um)
- MTF cible
Fréquence spatiale normalisée
Figure 2.9 - MTF pour différents défocus pour le masque optimisé avec une contrainte diminuée
A- défocus non-optimisés B- défocus optimisés
La fréquence de coupure est grandement affectée puisqu'elle est diminuée par un facteur
quatre. De plus, les courbes varient beaucoup par rapport à la MTF cible. Cette situation
peut signifier que la contrainte imposée au système optique est trop élevée. Pour vérifier
cette hypothèse, la même optimisation a été reconduite, mais en limitant cette fois la
profondeur de champ à un intervalle de -100 um à 100 um. La figure 2.9 (page précédente)
regroupe les MTFs obtenues pour ce nouveau masque.
Les courbes optimisées sont pratiquement identiques en dessous de la moitié de la
fréquence de coupure. Au dessus de ce seuil, des différences majeures entre les MTFs
limitent leur invariance par rapport à la position axiale de l'objet. De plus, la profondeur de
champ est limitée à 200um.
2.8.2 Simulation d'images
Compte tenu de la diminution de la fréquence de coupure et des différences entre les
MTFs, il est important de vérifier la qualité des images simulées.
Tableau 2.8 - Simulation d'images avec le masque polynomial en symétrie de rotation (défocus négatifs)
Les basses fréquences semblent assez bien conservées entre 0 et -lOOum. La modulation
des hautes fréquences est cependant très atténuée, en accord avec l'interprétation des
MTFs. Les images à -150um et -200um ne sont pas de meilleure qualité que le système
optique sans masque. La même vérification doit être reconduite pour les positions positives
par rapport au foyer de l'objectif.
Tableau 2.9 - Simulation d'images avec le masque polynomial en symétrie de rotation (défocus positifs)
Cette fois, les images sont beaucoup plus invariantes. Même si les MTFs des positions
+ 150um et +200um n'ont pas été optimisées, leur qualité est relativement bonne.
2.8.3 Profil de phase
Le profil de phase du masque optimisé pour une profondeur de champ de -lOOum à
lOOum est présenté à la figure 2.10. Il est intéressant de remarquer que la différence de
phase maximale du profil n'est pas très élevée, de l'ordre de trois longueurs d'onde.
Figure 2.10 - Profil de phase du masque polynomial optimal en symétrie de rotation
Les coefficients du polynôme optimisé en symétrie de rotation sont quant à eux
regroupés au tableau qui suit.
Tableau 2.10 - Coefficients du polynôme optimisé en symétrie de rotation
exposant
coefficient p\,
exposant
1
2
3
4
5
6
7
8
-9.31
9.90
-1.78
-3.05
-1.03
-3.53
7.70
2.81
9
10
11
12
13
14
15
16
coefficient p\,
*1
-0.95
7.17
-7.15
-7.37
0.76
-2.45
6.55
0.05
2.8.4 Répétabilité
Afin de vérifier la convergence de l'algorithme, les profils de phase de plusieurs
optimisations configurées avec les mêmes paramètres doivent être comparés.
Rayon (normalisé)
0.4
0.S
0.6
- Recuit simulé «1
■ Recuit simule «2
- Recuit simulé 83
Figure 2.11 - Vérification de la répétabilité des résultats de l'optimisation par recuit simulé d'un masque de
phase polynomial en symétrie de rotation
Les courbes comportent de faibles écarts. Ces différences peuvent s'expliquer par le fait
que l'algorithme ne réussit pas à atteindre la MTF cible pour toutes les fréquences. Dans
49
cette situation, plusieurs solutions peuvent avoir le même coût et présenter des profils de
phase légèrement différents. Les écarts sont somme toute assez faibles, ce qui prouve que
l'algorithme converge bien.
2.8.5 Discussion
L'optimisation d'un polynôme en symétrie de rotation ne permet pas d'obtenir un
masque de phase qui respecte la contrainte de fournir une profondeur de champ de -200jim
à 200um. Néanmoins, en divisant cette exigence par deux, une solution acceptable est
obtenue, du moins pour les fréquences inférieures à la moitié de la fréquence de coupure.
Le profil de phase de ce masque comporte par ailleurs l'avantage d'introduire une
différence de phase peu élevée par rapport au masque en coordonnées cartésiennes
séparables.
50
Chapitre 3 - Technique de fabrication des masques
Il existe plusieurs méthodes pour la fabrication des masques de phase. Il convient
donc de comparer les avantages et les inconvénients de chacune d'entre elles avant d'en
choisir une en particulier. La première de ces méthodes est basée sur l'exposition d'une
plaque photographique [28]. Le film est divisé en une matrice de pixels qui sont exposés un
par un par un faisceau laser. La puissance du laser est mesurée en temps réel par un
photodétecteur afin de connaître la dose incidente sur la plaque photographique. Lorsque
l'opacité désirée est obtenue, un système de translation déplace la cartouche qui contient la
plaque pour passer à l'exposition du pixel suivant. La plaque photographique sert ensuite
de patron pour l'exposition d'une couche de photorésine recouvrant un substrat. Le
développement de la photorésine convertit la dose d'exposition en hauteur. Il serait aussi
possible de bleacher la plaque photographique pour convertir la fonction de transmission
en amplitude en profil de phase (tel que proposé par Lesem et al. [29] pour un autre type de
masque de phase).
Cette méthode dépend de la courbe H&D de l'émulsion photographique (densité de
l'émulsion en fonction de la dose d'énergie). La maîtrise des différentes étapes du
développement de la plaque photographique peut par ailleurs être un processus long et
ardu.
Une autre méthode permet d'atteindre le même but beaucoup plus rapidement. Cette
technologie à haute résolution spatiale a été développée récemment sous le nom de verre
High-Energy Beam-Sensitive (HEBS). [30,31] Il s'agit en fait d'un verre de zinc
borosilicate qui contient de la silice, des oxydes de métal, des nitrates, des halides et des
photo-inhibiteurs. Les niveaux de gris sont obtenus en exposant ce verre à un faisceau
d'électrons. Plus la dose est élevée, plus le verre devient opaque.
Pour le moment, ce type de verre est commercialisé par Canyon Materials, une
compagnie de San Diego. En date du 16 mai 2006, cette compagnie offrait les prix
51
compilés au tableau 3.1 pour des masques HEBS destinés à la fabrication d'éléments
diffractifs.
Tableau 3.1 - Prix typiques de masques HEBS
Structures
6 um
6 um
2 um
2 um
Niveaux de gris
16
100
16
100
Prix
8000 $ US
10 000 $US
12 000 $ US
14 000 $ US
Tous ces prix correspondent à une région exposée de 1.2 cm par 1.2 cm.
Source : Chuck Wu [32]
Cette technique, quoique prometteuse, est donc très dispendieuse. De plus, des défis
importants subsistent. Lors de l'exposition, il faut s'assurer de ne pas saturer la photorésine.
Dans le cas contraire, le profil de photorésine obtenu après développement comporterait de
l'écrêtage. De plus, lors de la gravure, la composition du gaz doit être ajustée pour obtenir
un ratio de gravure qui corresponde à l'amplitude désirée dans le substrat.
La technique du SPDT (Single Point Diamond Turning) utilise une approche
complètement différente des méthodes précédentes. Le substrat est fixé sur un axe en
rotation rapide. Un bras mécanisé contrôlé par ordinateur appuie ensuite une pointe contre
le substrat pour graver la forme du masque de phase. Cette technique est cependant limitée
aux masques à symétrie de rotation. Certaines compagnies, comme B-Con Egineering, inc,
offrent aussi une solution plus évoluée à 5 degrés de liberté ce qui permet de fabriquer des
masques asymétriques. Cette solution est par contre dispendieuse.
La technique retenue pour ce mémoire se base sur une série d'expositions binaires
de la photorésine. Chaque zone de la photorésine est soit exposée jusqu'à la saturation ou
totalement protégée. Pour arriver à cette fin, tout masque en amplitude peut faire l'affaire,
mais les verres chromés sont préférés. Ces photomasques sont déjà utilisés dans l'industrie
de la microélectronique et l'industrie des cartes électroniques (PCB). Leur résolution
spatiale peut être très élevée (de l'ordre de 0.5 um). Un masque chromé est peu coûteux
comparé aux options alternatives (100$ pour une résolution de 6 [im).
L'équipement
nécessaire pour appliquer cette technique est facilement accessible et les résultats peuvent
52
être excellents. Contrairement à ce que laisse entendre le nom de la méthode, les masques
de phase fabriqués par expositions binaires peuvent avoir plusieurs niveaux de phase. En
effet, il est possible de graver un même substrat à plusieurs reprises pour obtenir le nombre
de niveaux de phase désiré. Ces avantages justifient le choix de cette méthode pour la
fabrication des masques optimisés au chapitre 2.
3.1 Discrétisation de la phase
La méthode de fabrication sélectionnée exige cependant que la phase du masque
soit préalablement discrétisée. Deux techniques peuvent être appliquées pour accomplir
cette tâche [33,34]. La première porte le nom de méthode linéaire à gravure uniforme. La
phase doit d'abord être ramenée entre [0,2;r]. La région gravée à chaque étape correspond
alors simplement aux endroits du masque où la phase est supérieure* à
A*(M -n), où
M est le nombre de niveaux de phase désiré et n est l'itération de gravure. La profondeur à
graver ne varie pas d'une itération à l'autre. Chaque gravure ajoute un niveau de phase
supplémentaire. Pour obtenir M niveaux, il faut donc M-\
étapes de gravure, ce qui
signifie autant d'étapes d'alignement qui peuvent introduire des erreurs dans le résultat
final. En résumé, cette méthode peut être exprimée sous la forme mathématique suivante :
QÀx0,y0)-
0 lorsque m o d 2 , W x o 5 ^ ) } > — (M-n)
n = ia_M_x
1 autrement
Où </>{x0,y0) est le masque continu, mod2;r{} est le modulo 2n et £>„estle
chromé (le substrat est gravé lorsque Qn (x0, y0 ) = 0 ) .
(3<1)
n<1
masque
La deuxième méthode de discrétisation de la phase s'appelle technique
dichotomique à gravure irrégulière. Il faut encore une fois ramener la phase entre [0,2^].
La région à graver à l'itération n dépend cette fois de l'erreur de phase par rapport au
masque continu. Les zones où cette erreur est supérieure à
/n„ sont gravées à l'itération
n . Cette fois le nombre de niveaux de phase double à chaque étape de gravure. Il faut donc
log2 M étapes de gravure pour obtenir M niveaux de phase. La profondeur de gravure,
Selon la convention de signe de Saleh et Teich, la phase induite par le masque est négativement
proportionnelle à son épaisseur.
53
quant à elle, est divisée par deux à chaque itération. L'expression mathématique de cette
méthode de discrétisation prend la forme suivante.
Q (x
y
) = J0 lorsque mod2Mxo,yo)}-0n_[{xo,yo)>
[l autrement
= fiï-QAxo,y0)]2%m
LAx0,y0)
2
^/„
(3.3)
Où </>{x0,y0) est le masque continu, 0„_,\x 0 ,y 0 ) est la phase du masque discrétisé avant la
ne gravure etg n est le ne masque chromé (le substrat est gravé lorsque Qn = 0 ) . Il est
important de mentionner que les masques chromés peuvent être utilisés dans le désordre au
niveau expérimental sans qu'il n'y ait d'effets sur le résultat final.
Une comparaison de ces deux méthodes est nécessaire pour déterminer laquelle est
la plus avantageuse. Le nombre de photomasques nécessaires pour obtenir M niveaux de
phase est ( M - l ) / l o g 2 M fois moins élevée dans le cas de la deuxième méthode. Le
tableau suivant permet de comparer les deux méthodes pour différents nombres de niveaux
de phase
Tableau 3.2 - Comparaison des deux méthodes de discrétisation de la phase
M
2
3
4
5
6
7
8
M-l
1
2
3
4
5
6
7
log2M
1
n/d
2
n/d
n/d
n/d
3
(M-l)/log2M
1
n/d
1.5
n/d
n/d
n/d
2.33
La méthode dichotomique à gravure irrégulière se révèle donc être plus avantageuse dès
que quatre niveaux de phase ou plus sont nécessaires. Elle a donc été choisie pour la
discrétisation de la phase du masque continu. Par ailleurs, deux cycles de gravures
(4 niveaux de phase) ont été choisis afin de minimiser les effets négatifs liés aux erreurs
d'alignements.
54
3.2 Efficacité des masques à quatre niveaux de phase
Il est légitime de se questionner sur l'effet de la discrétisation de la phase sur la
performance du masque. Physiquement, les différences entre le masque discrétisé et le
masque continu génèrent des effets diffractifs indésirables qui se superposent à la PSF
obtenue sans l'effet de la discrétisation. Ces effets ont été quantifiés par Goodman [35] en
1970. Le raisonnement mathématique a par la suite été simplifié par Dallas [36]. Ce
développement mathématique est reproduit en annexe E.
Le résultat peut être interprété comme une série d'ordres de diffractions dans le plan
image. Le cas m = 0 correspond à la PSF obtenue avec le masque continu. Le coefficient
[sinc(l/Mj] permet de calculer la proportion de la puissance incidente fournie à cette PSF.
Dans le cas d'un masque à 4 niveaux de phase (M = 4 ), une efficacité de 81.06% est donc
obtenue. Avec M = 8, ce chiffre passe à 94.96%.
En général, les autres ordres de diffractions ajoutent du bruit à l'image désirée. Dans
certains cas, des fausses images peuvent se superposer à l'ordre m = 0. Lorsque ces
situations se présentent, Dallas et Lohmann [37] ont démontré que l'effet de ces images
peut être minimisé en ajoutant un terme de phase quadratique au masque de phase. Si cette
condition est respectée les images des autres ordres de diffractions ne sont pas situées dans
le même plan que l'image de l'ordre m = 0 . Leur intensité forme alors une source de bruit
additionnel qui couvre plus ou moins uniformément le champ de l'image.
3.3 Conception du masque chromé
La méthode des expositions binaires nécessite un masque chromé. Ces masques
servent de patrons lors de l'exposition de la photorésine. Leur fine couche de chrome
bloque complètement le rayonnement de la lampe UV de l'aligneur de masque, ce qui
empêche toute exposition à ces endroits. L'équipement pour fabriquer des masques
chromés porte le nom de phototraceur (photoplotter). Il s'agit d'un laser qui expose une
photorésine recouvrant une couche de chrome sur un substrat de verre. La photorésine nonexposée est ensuite enlevée et le chrome est gravé. La photorésine restante est finalement
dissoute.
55
Les zones du substrat qui sont recouvertes de chrome sont spécifiées par un format
de fichier vectoriel de type Gerber. Ce fichier indique au phototraceur quel outil doit être
utilisé (anneau, cercle, carré vide, carré plein) et les mouvements qui doivent être faits lors
de l'exposition. Cette façon de procéder s'explique par la structure des premiers
photo traceurs. En effet, à l'origine ces appareils étaient équipés d'une roulette sur laquelle
étaient montés différents types d'ouvertures. L'ordinateur de l'appareil commandait le
moteur de la roulette afin de sélectionner une ouverture avant de procéder à l'exposition. Il
était par conséquent important que le client et l'opérateur du phototraceur s'entendent
préalablement sur les ouvertures utilisées pour exposer le masque chromé. Chacune de ces
ouvertures porte un code unique (D-code dans le langage de Gerber) qui sert de référence
dans le fichier du client. Bien que les appareils modernes ne fonctionnent pas selon le
même principe, cette façon de procéder est restée. Les nouveaux phototraceurs permettent
toutefois à l'utilisateur de définir ses propres ouvertures sans que l'opérateur n'ait à les
installer physiquement sur l'appareil.
Tableau 3.3 - Commandes Gerber
Commande
%FSLAX23Y23*%
RS-274X
Oui
%MOMM*%
Oui
%ADD10C,0.006*%
Oui
G54D10*
X0Y0D02*
Non
Non
X0Y0D01*
Non
M02*
Non
Explication
Format Statement
Le L signifie qu'il est possible d'omettre les zéros qui
précèdent le premier chiffre significatif. Le A indique
que les coordonnées sont absolues au lieu d'être
relatives à la position précédente. X23 signifie que les
coordonnées sont fournies avec deux chiffres avant la
virgule et trois après.
Mode
Indique que les coordonnées sont en millimètres.
Aperture Définition
Spécifie que l'outil D10 est un cercle plein de diamètre
6 (xm.
Sélectionne l'outil D10
Déplace le faisceau du phototraceur à la position 0,0
sans exposer le masque
Déplace le faisceau du phototraceur à la position 0,0 en
exposant le masque.
Fin du programme
56
Chaque bloc de données Gerber comprend une série de lettres et de chiffres et se
termine par un signe * [38]. Le format compte deux versions majeures : RS-274D et
RS-274X. RS-274X ajoute des commandes additionnelles à RS-274D pour mieux
configurer le phototraceur. Ces nouvelles commandes se différentient des anciennes par le
signe % qui les encadrent. Le tableau de la page précédente regroupe les commandes
couramment utilisées.
Le transcodage du masque chromé au format Gerber peut être complété de plusieurs
manières différentes. La méthode choisie consiste à représenter les zones chromées du
masque binaire par une série de lignes. Afin de simplifier l'algorithme de transcodage, ces
lignes sont toujours orientées selon l'axe y. La première étape consiste à diviser l'axe x par
la largeur minimale des lignes. Pour chacune de ces divisions, il faut ensuite utiliser des
commandes de type D02 pour les endroits qui ne comportent pas de chrome suivit de
commandes D01 pour les zones recouvertes de chrome. Compte tenu que la précision de
placement est plus élevée que la largeur minimale des lignes, la résolution en y est plus
élevée que celle en x.
Masque binaire entier
Tranche du masque binaire
avec la coordonnée x constante
> Commande D01
l
f
Commande
de type D02
b \im
Figure 3.1 - Représentation du transcodage du masque binaire
Une fois le transcodage terminé, le masque est prêt à être commandé. Plusieurs
paramètres doivent cependant être spécifiés en plus du fichier Gerber.
57
1. Largeur du substrat
Les spécifications de l'aligneur de masque MJB-3 limitent le choix à un substrat
carré de 4" afin d'assurer le bon fonctionnement du système de succion sous vide.
2. Largeur minimale des structures (Feature-sizè)
Il s'agit de la largeur minimale que peut avoir une ligne, ce qui limite dans le cas
des masques de phase la dimension des niveaux de phase. La limite pour Fine-Line
Imaging (le fournisseur sélectionné) est de 6 um, mais d'autres compagnies qui
utilisent des faisceaux d'électrons vendent des photomasques avec des structures de
0.5 um.
3. Champ lumineux ou fond noir (light/dark field)
Spécifie si le chrome doit être enlevé (champ lumineux) ou conservé (fond noir)
aux endroits qui ne sont pas protégés.
4. Pellicule
Une pellicule peut être ajoutée au-dessus du masque pour protéger la fine
couche de chrome. Cette option est surtout utile pour les compagnies qui réutilisent
souvent un même masque, mais son intérêt est limité pour un masque qui n'est
utilisé que quelques fois.
5. Chrome vers le haut/vers le bas
Détermine comment la figure est orientée. Si le chrome est vers le bas, la figure
sera lue comme il faut lorsque regardée au travers du substrat.
La figure 3.2 illustre un masque chromé issu de cette technique de conception. Les
deux masques binaires en amplitude utilisés pour la première et la deuxième ronde de
lithographie sont respectivement situés en bas et en haut. Le troisième agrandissement
permet par ailleurs de discerner une des croix d'alignement. Son asymétrie sert à s'assurer
que l'orientation du substrat corresponde à celle du masque chromé.
Figure 3.2 - Détails du masque chromé conçu pour la fabrication du masque en coordonnées cartésiennes
séparables
58
3.4 Étapes de fabrication
La fabrication des masques de phases par gravures binaires est réalisée en
accomplissant successivement les étapes de la préparation du substrat, de la déposition à la
tournette d'une couche de photorésine, de l'exposition, du développement et de la gravure.
Tel que mentionné précédemment, ces étapes de photolithographies doivent être répétées à
deux reprises (deux cycles de lithographies) pour obtenir quatre niveaux de phase
2e cycle de lithographie
1 * cycle de lithographie
Déposition d'une couche de photorésine
■
■'////////////////////////////////////////A
S~V777K777À
\777K7777r
Exposition
uv
uv
iniuui
'/////{xx y y. :i : . y.i
IUUUU
]
SÎWWJ
'////un
U////VM
KXW////J
Développement
w/M
v//////i
El
*////////,
,
VSZ ,
W77À
Gravure
CHF . 0
CHF , 0
V//////A
Nettoyage
"i
r
Figure 3.3 - Évolution du profil du masque en fonction de l'étape de fabrication pour la discrétisation
dichotomique à gravure irrégulière
3.4.1 Préparation des substrats
Cette étape permet de laver les substrats avant la première lithographie et d'enlever
la photorésine avant de procéder à la seconde lithographie. L'opération
dure
approximativement deux heures, mais plusieurs substrats peuvent être traités en même
temps avec peu de pénalité quant à la durée de la procédure. La méthode suggérée par la
personne ressource en photolithographie (Martin Bernier) prend la forme suivante :
59
a) Plonger dans le Remover 1165 pour 10 minutes (pour enlever la photorésine
restante)
b) Rincer les substrats à l'eau
c) Plonger dans l'acide Piranha pendant 10 minutes (pour enlever les
impuretés)
d) Rincer à l'eau
e) Nettoyer avec un papier doux imbibé de savon micro 90
f) Rincer à l'eau
g) Utiliser un bain d'isopropanol pour se débarrasser de l'eau et lever
tranquillement le support des substrats pour éviter tout dépôt d'alcool
h) Chauffer à 110°C durant 30 minutes (pour enlever le solvant restant)
3.4.2 Photorésine
Une photorésine positive est utilisée (HiPR 6512). Ce type de résine contient
généralement trois constituants de base : une composante inhibitrice photoactive, une résine
de base et un solvant [39]. Sans la composante photoactive, la résine est modérément
soluble. En ajoutant l'inhibiteur, la solubilité diminue grandement. L'exposition aux rayons
UV entre 300 et 450 nm détruit l'inhibiteur, ce qui permet à la photorésine de se dissoudre.
3.4.3 Déposition à la tournette d'une couche de photorésine
La déposition à la tournette permet d'ajouter une couche uniforme de photorésine
sur le substrat. L'épaisseur de la photorésine dépend de la vitesse de rotation de la
tournette, de la viscosité de la photorésine, de la quantité de solvant et de son taux
d'évaporation (voir la référence [40]). Les trois derniers paramètres sont inhérents à la
composition de la photorésine. Dans le cas du HiPR 6512, la courbe inférieure de la
figure 3.4 (page suivante) permet de faire la correspondance entre vitesse de la tournette et
l'épaisseur de photorésine.
60
(9O°G*0 M e MMplHtn sotltamt)
22000
20O0O 18000-
H1PR*517
16000
14000
HiP-ft-SSIZ
12000
10000
2000
— I —
3000
4000
5000
— i —
6000
7000
Spirt Speed (cpmi
Figure 3.4 - Courbe de l'épaisseur de la photorésine en fonction de la vitesse de rotation de la tournette
(selon Fujifilm [41])
Du point de vue des manipulations, le dépôt à la tournette se fait en deux temps. Un produit
chimique appelé Primer 80/20 est tout d'abord appliqué sur le substrat. Son rôle est
d'améliorer l'adhérence de la photorésine avec le verre de silice. Une goutte de HiPR 6512
est ensuite versée au centre du substrat. La tournette est par la suite activée dans le but
d'uniformiser cette couche de photorésine.
3.4.4 Exposition et développement
L'exposition se fait avec un aligneur de masque MJB-3 de Karl Suss. Cette machine
permet une précision maximale d'alignement de 0.5 um (dépendamment de l'habileté de
l'opérateur). La résolution est limitée à une paire de ligne noire et blanche de 1.5 um de
largeur. L'appareil comporte un système de succion pour tenir le masque chromé et
l'échantillon à exposer. La position de l'échantillon peut être ajustée avec des vis
micrométriques pour les axes x et y ainsi que pour l'angle. Une fois l'échantillon aligné
avec le masque chromé, l'exposition se fait par une lampe au mercure qui émet entre autres
à 365 nm et à 435 nm, deux longueurs d'onde de sensibilité élevée pour la photorésine
HiPR 6512. Le temps d'exposition est géré par une minuterie préalablement configurée.
Du point de vue pratique, l'alignement se fait en respectant la procédure suivante :
1. Placer le masque chromé sur la plaque de fixation et activer le vide. Fixer la plaque
sur l'aligneur de masque;
2. Placer le substrat sur la platine d'alignement;
61
3. Ajuster la séparation entre le substrat et le masque chromé avec le contrôle Variable
Thickness Adjustment. Pour savoir si la séparation est suffisamment petite, il faut
regarder la réflexion d'une source de lumière blanche. Lorsque des franges
d'interférences apparaissent, la séparation entre le masque chromé et l'échantillon
est de l'ordre de quelques longueurs d'onde.
4. Tourner le levier de contact vers l'appareil et le levier de séparation vers soi. Ce
contrôle sépare le substrat du masque chromé de quelques micromètres pour
permettre l'alignement;
5. Aligner le substrat avec le masque chromé en utilisant les contrôles pour x, y et
l'angle;
6. Quand l'alignement est satisfaisant, tourner le levier de séparation vers l'appareil,
configurer la minuterie et appuyer sur le bouton exposition.
Une fois l'exposition terminée, la photorésine exposée doit être enlevée. Cette étape
est accomplie sur la tournette à basse vitesse (750 RPM). Un produit chimique appelé
développeur (plus particulièrement la marque 303A de Shipley) est balayé à la surface de
l'échantillon pendant qu'il tourne. Après 30 secondes de ce traitement, le développeur est
remplacé par de l'eau déionisée afin d'enlever la photorésine dissoute. Un traitement au
four UV de 15 minutes, suivi d'une cuisson à 120°C pendant une demi-heure complète le
développement en rendant la photorésine restante plus résistante. Le résultat de l'opération
doit ensuite être vérifié au profilomètre. La figure 3.5 est un exemple de développement
complété avec succès.
.wr-t -
1MH
:p:q
,44.,.
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r-4-
U
:
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CI. If.
J ÏKM
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:
H
KT
Figure 3.5 - Mesure Dektak du masque NC02 au deuxième cycle de lithographie après le développement
62
3.4.5 Gravure
La gravure du substrat est accomplie par RIE - Reactive Ion Etching [42]. Un gaz
est tout d'abord ionisé par une onde RF. Une différence de potentiel DC est ensuite auto­
induite entre les électrodes du RIE. Les ions positifs sont alors accélérés vers le substrat
puisque ce dernier repose sur l'anode. Les radicaux réactifs adsorbent ensuite avec le
substrat, réagissent avec lui et les produits de cette réaction désorbent. Les gaz ainsi libérés
sont finalement expulsés hors de l'enceinte où la réaction a lieu. Les paramètres clés du
procédé de RIE employé sont listés au tableau suivant.
Tableau 3.4 - Paramètres de la gravure au RIE
Paramètre
Cathode
Température
Pression d'opération
Flux voluminique CHF3
Flux voluminique 02
Valeur
graphite
25
40
47
Unité
-
°C
mTorr
sccm*
1.5 sccm*
170 W
Puissance RF
13.56 MHz
Fréquence RF
re
16 min
Temps de la 1 gravure
e
Temps de la 2 gravure
36 min
* Standard Cubic Centimeterper Minute {cm2/min)
3.4.6 Sources d'erreurs
La qualité du masque final dépend de plusieurs facteurs. Une erreur est par exemple
déjà présente à la surface du substrat avant même de commencer les manipulations. En
effet, il est impossible de fabriquer des verres de silices parfaitement plats. Le fabricant,
Bond Optics, inc, garantit par contre une qualité optique de /1/20. La seule façon
d'influencer ce facteur de qualité est de changer de fournisseur de substrat.
La deuxième source d'erreur concerne la profondeur de gravure du RIE. Même si
l'appareil commercial utilisé, Unaxis 790, contrôle précisément chacun des paramètres
physiques d'importance, le taux de gravure reste difficile à prédire. En effet, la chambre où
la réaction a lieu s'encrasse avec l'utilisation. Ces contaminants influencent le taux de
gravure malgré l'étape de nettoyage obligatoire avant d'utiliser l'appareil. Il est donc
important de calibrer la courbe profondeur en fonction du temps avant de procéder à la
63
fabrication d'un masque de phase. Si cette étape est accomplie correctement, ce type
d'erreur peut être minimisé à quelques pourcents de la valeur désirée.
La dernière source d'erreur est intimement liée à l'habileté de l'opérateur de
l'aligneur de masque. Lors de la deuxième exposition, il faut en effet aligner au microscope
du MJB-3 des croix présentes sur le masque chromé et sur le substrat. Même en prenant
beaucoup de précautions, un léger désalignement est inévitable. Son effet sur le masque
final se caractérise par des zones intactes qui auraient dues être gravées. Ce phénomène
correspond au cercle A de la figure 3.6.
880
780|
u
4000
6000
8000
Distance (nm)
10000
12000
Figure 3.6 - Profil diagonal du masque NC02 après deux gravures. Types d'erreurs : A- Erreurs d'alignement,
B- Erreur de départ du substrat.
Malgré les défauts inévitablement liés à la fabrication, la technique des gravures
binaires successives permet d'obtenir des masques de phase de bonne qualité. Cet avantage
s'ajoute à la disponibilité des appareils et des technologies nécessaires à l'application de
cette technique. Il s'agit donc d'un excellent choix pour vérifier expérimentalement les
masques optimisés au chapitre 2.
64
Chapitre 4 - Résultats expérimentaux du masque en
coordonnées cartésiennes séparables
La méthode de fabrication décrite au chapitre précédent a été employée pour
fabriquer le meilleur masque optimisé du chapitre 2. Il s'agit bien entendu du masque en
coordonnées cartésiennes séparables. Le masque en symétrie de rotation n'a pas été retenu
puisqu'il ne permet pas de conserver la fréquence de coupure du système optique limité par
la diffraction pour l'intervalle de profondeur de champ désiré.
4.1 Résultats de la fabrication
Le premier cycle de lithographie permet d'obtenir un masque de phase à deux
niveaux. L'aspect important à vérifier à cette étape du processus est la profondeur de
gravure. Le temps de gravure doit être ajusté en fonction des résultats précédents afin de
minimiser cette erreur. Ces améliorations successives ont permis d'obtenir 2% de
différence entre la valeur désirée (253 nm) et obtenue (248 nm) pour le masque CS6.
:::,:.:,:,:: . . ,
.: ,.;
1 1 "TT
,«.,
r.
■ • . . ■ ■ "
■ - ■ . . • ! , . . ,
J f
Figure 4.1 - Section du profil Dektak du masque CS6 après une gravure
La deuxième ronde de lithographie donne un masque de phase à quatre niveaux.
Cette fois, il faut vérifier à la fois la profondeur de gravure et l'erreur d'alignement. La
profondeur de gravure mesurée est de 495 nm alors que la valeur désirée est de 507 nm.
Une erreur relative de 2% est donc présente. En ce qui concerne l'erreur d'alignement, elle
65
n'est pas visible à la figure 4.2. D'autres mesures indiquent par contre que sa valeur est
inférieure à 6 um.
i >
<i
■
hfl
rtnrr
Figure 4.2 - Section du profil Dektak du masque CS6 après deux gravures
Le tableau suivant regroupe les caractéristiques du meilleur masque à quatre
niveaux de phase fabriqué à partir des spécifications du masque polynomial optimisé en
coordonnées cartésiennes séparables.
Tableau 4.1 - Paramètres clés du masque de phase CS6
Paramètre
Valeur
Temps de la lre gravure
16
Profondeur de la 1re gravure
248
Erreur relative de la lre gravure
2
e
Temps de la 2 gravure
36
e
Profondeur de la 2 gravure
495
e
Erreur relative de la 2 gravure
2
Erreur d'alignement
<6
Erreur initiale du substrat
A/20*
* Selon les spécifications du fournisseur
Unité
Min
nm
%
min
nm
%
um
—
4.2 Ajout du masque de phase au microscope
Le but ultime de ce projet est bien entendu d'augmenter la profondeur de champ du
microscope de Brightwell, inc. par l'ajout du masque polynomial optimisé par recuit
simulé. Les masques de phase fabriqués ne doivent donc pas être jugés uniquement par la
66
qualité de leurs profils, mais aussi par leur capacité à augmenter la profondeur de champ
tout en maintenant les hautes fréquences spatiales.
4.2.1 Technique d'alignement du masque de phase
La justesse de l'alignement du masque de phase est essentielle pour obtenir les
résultats escomptés. En tenant compte des trois coordonnées spatiales et des trois angles
représentés à la figure suivante, six degrés de liberté doivent être ajustés.
x
1
0
*► z (axe optique)
y
Figure 4.3 - Représentation des six paramètres à ajuster pour aligner le masque de phase
Une tolérance de quelques degrés est acceptable pour les angles (j) et (p. L'influence de
l'angle 6 sur la qualité des images est décrite plus loin. La position axiale (z) n'est pas
critique. Par contre, lorsque le masque n'est pas centré sur l'axe optique (coordonnées x et
y), l'onde incidente ne perçoit pas le bon profil de phase. Cette situation est facilement
identifiable puisque la MTF n'est alors pas invariante par rapport au défocus. Un exemple
des images obtenues avec un mauvais alignement est présenté à la figure 4.4.
Figure 4.4 - Exemples d'images obtenues avec un désalignement du masque de phase A- objet au foyer
B-objet à -200um du foyer (défocus de W20 = - 4 . 1 7 À ) C- objet à 200um ( W20 =4.11 À)
67
Pour parvenir à un bon alignement, il vaut mieux commencer par configurer le
microscope en illumination critique. L'intensité lumineuse est beaucoup plus uniforme dans
le plan du masque de phase avec cette configuration. Dans le cas de l'illumination de
Kôhler, la focale arrière de l'objectif est un plan conjugué à la surface émettrice de la diode
électroluminescente. Son image se trouve donc superposée au masque de phase, ce qui
complique l'étape suivante de l'alignement. Par ailleurs, une autre astuce peut faciliter
l'alignement : enlever les filtres neutres du diaphragme d'ouverture permet de maximiser
l'intensité lumineuse dans le plan du masque de phase ce qui facilite le repérage du
faisceau. Une fois que ces manipulations sont complétées, il suffit de centrer l'axe du
masque de phase avec l'axe optique en ajustant les vis micrométriques de la monture. Il ne
reste plus qu'à revenir à l'illumination de Kôhler avant de procéder à l'acquisition des
images.
4.2.2 Images obtenues avec le masque de phase
L'insertion du masque de phase dans le système optique devrait rendre la MTF
invariante par rapport à la position de l'objet. En plaçant le même objet à plusieurs
distances de l'objectif, l'image devrait donc être identique. L'évaluation directe du
fonctionnement du masque de phase nécessite donc de positionner une cible de résolution à
plusieurs distances objets le long de l'axe optique et de comparer les images obtenues. Les
résultats de cette expérience dans le cas d'un masque de phase à quatre niveaux (CS6) sont
présentés au tableau 4.2 (page suivante). Pour fin de comparaison, les images sans masque
y sont aussi incluses. Un tableau de plus grande dimension est aussi disponible en
annexe F.
68
Tableau 4.2 - Images obtenues avec le masque de phase (défocus positifs)
En théorie, le masque polynomial optimisé en coordonnées cartésiennes séparables devrait
avoir le même comportement que l'objet soit situé d'un côté ou de l'autre du foyer de
l'objectif. En réalité, il se peut que les défauts de fabrication introduisent des différences
entre les positions positives et négatives de l'objet. Il est donc important de répéter la même
expérience pour un objet approché de l'objectif.
Tableau 4.3 - Images obtenues avec le masque de phase (défocus négatifs)
69
4.3
Déconvolution
Les images brutes ne permettent pas d'apprécier le plein potentiel du masque de
phase. En effet, l'intérêt d'ajouter un masque de phase au système optique réside dans la
possibilité d'appliquer un filtre de restauration numérique sur les images acquises.
4.3.1 Filtre de déconvolution
Le filtre employé pour le traitement des images expérimentales est le même que
celui décrit à la section 2.5.2. Les MTFs et les PTFs calculées avec une pupille carrée ont
cependant été remplacées par leurs équivalents pour une pupille circulaire. De plus, l'OTF
limitée par la diffraction décroît un peu plus rapidement pour une pupille circulaire.
4.3.2 Importance de l'orientation de l'OTF
Avant de procéder à la déconvolution, il faut s'assurer que l'angle du masque de
phase corresponde à celui du filtre. Si cette condition n'est pas respectée, des effets
indésirables entachent la qualité de l'image déconvoluée. Un exemple de cette situation est
présenté à la figure suivante.
Figure 4.5 - Exemple d'image déconvoluée obtenue pour un filtre à 90° du masque de phase
Bien qu'il s'agisse d'un cas extrême, un petit écart angulaire (quelques degrés) entre les
axes du masque de phase et ceux du filtre donne un effet intermédiaire entre les images de
bonne qualité et ce résultat beaucoup moins acceptable.
4.3.3 Images obtenues après déconvolution
Lorsque l'alignement du masque de phase et son orientation sont adéquats, les
images de la deuxième ligne du tableau 4.4 sont obtenues.
70
Tableau 4.4 - Images obtenues après déconvolution en fonction de la position de l'objet (défocus positifs)
Au foyer
(W20 = 0 )
7
= mi
+
100 uni
+100
(W2<> = 2.08A.)
+150 utn
(W20 = 3.12X)
6
III E
" m=
6—...
111 =
1
= 1 1 1 III-
■:-SÎM|
+200 uni
(W20 = 4.17X)
H
IDE
iSntl
îï:
+50 uni
(W20=1.04A.)
: **
ms
«El
Sr: M
111
•w■i
7 •
• 5 llll
i £ tlf 1
111 =
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6
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llt =
IIIE
= 111 m
111 =
ItlS
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IIIE
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«i:
il) =
S Mil
i £ !»
111 =
1115
H; H!
•• i m
lits
IHE
= 111 111H
o
=m
Encore une fois, il est important de faire la même vérification pour des positions objets
approchées de l'objectif puisque les défauts du masque de phase peuvent induire une
différence par rapport aux positions positives.
Tableau 4.5 - Images obtenues après déconvolution en fonction de la position de l'objet (défocus négatifs)
Au foyer
(W20 = 0 )
?
•imi
I 3 Ht I
-50 um
-100 um
-150 nm
-200 nm
(W20 = -1.04A,) (W20 = -2.08X.) (W20 = -3.12X.) (W20 = -4.17X)
6
IIIE
MB
I* I
111 =
ill S -
= 111
III ■
(HE
~m
m
m m== 111
■
ïéÊÊjk
i D:
•
" »f":
w. :
7.
6
m
mm mmû
: ï ™ iil =
:
ni:
V
ma
»2iil|
ill
111 =
111=
m-s
m=
ffl
*£ttl
Ht
= H! 1
2 .M I
III s
m*
Ut m
tin
=
= H1
111
,UI
M
il
71
4.4
Discussion
Le profil du masque CS6 se rapproche du masque idéalisé à quelques pourcents
d'erreur près. Cette précision de la fabrication est rendue possible grâce à la technique des
gravures binaires. En effet, lorsque cette technique est bien maîtrisée, les résultats peuvent
être prévisibles et répétables.
Les deux premiers tableaux de l'annexe F permettent d'apprécier la correspondance
entre les simulations d'images basées sur l'OTF calculée par optique de Fourier ainsi que
les acquisitions expérimentales. Cette correspondance est d'autant plus frappante que les
simulations correspondent à un masque de phase continu alors que le masque fabriqué est
limité à quatre niveaux de phase. De plus, les mesures expérimentales se font avec une
pupille circulaire alors que les simulations correspondent à une ouverture carrée. Par
ailleurs, la principale différence entre les images simulées et expérimentales est le bruit de
fond plus important dans la seconde situation. Cette différence peut s'expliquer par les
ordres de diffractions indésirables qui viennent se superposer à l'ordre zéro (l'image
désirée). Ce constat implique par ailleurs que l'astuce de Dallas et Lohmann [37] n'est pas
nécessaire ici puisqu'il ne semble pas y avoir d'images fantômes.
Les deux autres tableaux de l'annexe F sont utiles pour comparer les images
simulées déconvoluées avec un filtre moyen et le même traitement appliqué aux images
expérimentales. Dans les deux cas, les hautes fréquences sont conservées de -200|j.m à
200(im. Par contre, le bruit des images expérimentales déconvoluées gène le discernement
des éléments 5 et 6 du groupe 7 (les fréquences spatiales les plus élevées). En effet, le bruit
partage la même bande de fréquences que ces lignes de la charte de résolution. La
performance du masque CS6 n'est donc pas limitée par sa conception ou sa fabrication,
mais par le bruit qu'il introduit dans le système optique. Une solution simple à ce problème
serait d'augmenter le nombre de niveaux de phase pour atténuer les ordres de diffractions
supérieurs. D'un autre côté, l'ajout de cycles de lithographies peut aussi nuire à la qualité
des images si les erreurs d'alignements prennent trop d'importance.
72
Quoi qu'il en soit, le masque CS6 induit indéniablement une nette amélioration à la
qualité des images hors foyer par rapport au système optique sans masque. De plus, le filtre
de déconvolution fonctionne adéquatement. Le but initialement fixé d'augmenter la
profondeur de champ de -200um à 200um est donc atteint par la conception choisie en
conjonction avec la technique de fabrication basée sur deux gravures binaires.
73
Conclusion
L'origine de ce projet vient du désir de la compagnie Brightwell, inc. d'augmenter
la profondeur de champ de leur microscope de 34 (j.m à 400 um. Pour ce faire, la technique
de l'ingénierie du front d'onde a été sélectionnée. Cette méthode consiste à ajouter un
masque de phase à la dernière lentille du système optique afin de rendre l'OTF invariante
par rapport à l'aberration du défocus. Dans le passé, plusieurs auteurs ont publié des
masques de phase visant à atteindre ce but. En particulier, Dowski et Cathey [3] ont
apporté une contribution cruciale à cette approche en proposant un masque cubique en x et
en y. Néanmoins, leur théorie n'indique pas quel coefficient cubique doit être utilisé pour
un système optique donné. Ce masque a de plus a été obtenu en supposant que l'objectif
final de la démarche implique une profondeur de champ illimitée. Une meilleure solution
pourrait être obtenue avec un but plus réaliste. L'objectif de ce mémoire était donc de
répondre à ces questions en optimisant des masques polynomiaux par recuit simulé.
Avant de s'attaquer au problème de la profondeur de champ, un modèle théorique
du microscope a été développé. Le système.d'illumination fut tout d'abord décrit en détails
au chapitre 1 afin de comprendre son effet sur la qualité des images. Le système
d'imagerie, quant à lui, fut étudié avec l'approche de l'optique de Fourier. Cette démarche
a permis de concevoir une technique pour évaluer rapidement l'OTF en fonction de la
position de l'objet et du masque de phase ajouté à la lentille tube. L'avantage de cette
méthode est évident lorsque son temps d'exécution est comparé à celui du logiciel
Zemax™ : ce dernier prend environ 2 secondes pour évaluer une MTF (échantillonnage de
1024x1024) alors que la même opération prend 2.28 millisecondes à l'algorithme basé sur
l'optique de Fourier. Deux déclinaisons ont été développées : une pour la géométrie en
coordonnées cartésiennes séparables et une seconde en symétrie de rotation.
Ce modèle a permis de procéder à l'optimisation de masques de phase polynomiaux
par recuit simulé. Cet algorithme permet d'atteindre le minimum global d'une fonction de
coût en explorant efficacement son espace de paramètres. En coordonnées cartésiennes
74
séparables, une fonction générale a été employée pour la description de la phase du masque,
en se limitant cependant à un polynôme impair en accord avec la propriété démontrée par
Shérif et al. [6]. La fonction de coût de cette optimisation emploie une MTF cible afin
d'obtenir une invariance totale de la qualité des images en fonction de la position de l'objet.
Les résultats de cette optimisation révèlent que la MTF cible réduite permet
d'obtenir une solution invariante par rapport au défocus. La fonction de transfert de phase
varie cependant. Néanmoins, la qualité finale des simulations d'images déconvoluées reste
excellente grâce à l'utilisation d'un filtre moyen. La solution la plus proche du résultat
obtenu est le masque "exponentiel" proposé par Yang.
Afin de fabriquer le meilleur masque optimisé, la technique des gravures binaires a
été sélectionnée. Contrairement à ce que laisse entendre le nom de la méthode, les masques
ainsi créés peuvent avoir plusieurs niveaux de phase puisque le même substrat peut être
gravé à plusieurs reprises en changeant à chaque fois les zones protégées par la photorésine.
Pour obtenir ces structures, la fonction de transmission en amplitude d'un masque chromé
doit être transférée à la photorésine. Deux cycles de gravures (4 niveaux de phase) ont été
complétés.
Les mesures expérimentales confirment que l'optimisation par recuit simulé de
masques de phase polynomiaux a permis d'obtenir une solution invariante par rapport au
défocus. En ce sens, le but initial du projet est atteint, soit d'augmenter la profondeur de
champ du microscope jusqu'à 400 um. La performance du masque CS6 est cependant
limitée par le bruit qu'il introduit dans le système optique. Pour pallier au problème, le
nombre de niveaux de phase devrait être augmenté pour atténuer les ordres de diffractions
supérieurs. Idéalement, le rapport signal sur bruit du microscope aurait aussi intérêt à être
rehaussé.
Compte tenu que le masque en coordonnées cartésiennes ne se démarque pas
significativement des solutions proposées précédemment, il serait intéressant d'analyser
plus en détails l'autre solution optimisée, soit celle en symétrie de rotation. La fabrication
75
d'un masque de phase sous cette forme permettrait par exemple de confirmer les
performances simulées. Cette ligne de conduite n'a pas été choisie en raison des contraintes
de temps. De plus, le masque ne pouvait respecter les exigences de Brightwell, inc.
Un dernier aspect de ce mémoire mériterait d'être étudié plus en détails : la fonction
de transfert de phase. En effet, bien que les MTFs du masque optimisé en coordonnées
cartésiennes séparables soient pratiquement confondues, les PTFs comportent des
différences. Tel que démontré, ces écarts n'empêchent pas d'obtenir des images de bonne
qualité après deconvolution avec un filtre moyen. Néanmoins, leur qualité serait
indéniablement rehaussée par l'utilisation d'un masque rendant à la fois les MTFs et les
PTFs invariantes par rapport à la position de l'objet. Il est cependant possible qu'une telle
solution relève du domaine des utopies.
Bibliographie
[I] Kenneth R. Spring et Michael W. Davidson, Nikon MicroscopyU: Concepts and
Formulas in Microscopy: Depth ofField/Focus,
http://www.microscopyuxom/articles/forrnulas/formulasfielddepth.html, consulté le 10
novembre 2007.
[2] R. J. Pieper et A. Korpel, Image processing for extended depth offield, Applied Optics,
vol. 22, no. 10, mai 1983, pp. 1449-1453
[3] Edward R. Dowski, Jr. et W. Thomas Cathey, Extended depth offield through wavefront coding, Applied Optics, vol. 34, no. 11, avril 1995, pp. 1859-1866
[4] W. Chi et N. George, Electronic imaging using a logarithmic asphere, Optics Letters,
vol. 26 , no. 12, juin 2001, pp. 875-877.
[5] Eyal Ben-Eliezer, Emanuel Marom, Naim Konforti et Zeev Zalevsky, Radial maskfor
imaging Systems that exhibit high resolution and extended depths offield, Applied
Optics, vol. 45, no 9, mars 2006, pp. 2001-2013
[6] Shérif S. Shérif, ED R. Dowski et W. Thomas Cathey, Extended depth offield in
hybrid imaging Systems: circular aperture, Journal of Modem Optics, vol. 51, no 8,
mai 2004, pp. 1191-1209
[7] S. Prasad et al., Pupil-phase optimization for extended-focus, aberration-corrected
imaging Systems, Proceedings of SPIE, vol. SPIE-5559, 2004, pp. 335-345
[8] Angel Sauceda et Jorge Ojeda-Castaneda, High focal depth with fractional-power wave
fronts, Optics Letters, vol. 29, no 6, mars 2004, pp. 560-562
[9] Qingguo Yang, Liren Liu, Jianfeng Sun, Optimizedphase pupil masks for extended
depth offield, Optics Communications, no 272, 2007, pp. 56-66
[10] Wilfrid Taylor Dempster, Principles of Microscope Illumination and the Problem of
Glare, Journal of the Optical Society of America, vol. 34, no 12, décembre 1944,
pp. 704-705
[II] H. H. Hopkins et P. M. Barham, The Influence ofthe Condenser on Microscopic
Resolution, The Proceedings ofthe Physical Society B, vol. 63, no. 370b, octobre 1950,
pp. 737-744
[12] Warren J. Smith, Modem Optical Engineering, 3e édition, McGraw-Hill, 2000, p. 26
[13] Nicolas Caron, Rapport final, document remis dans le cadre du cours GPH-17443
Projet de fin d'étude, Québec, août 2005, pp. 12-19.
[14] Bahaa E. A. Saleh, Malvin Cari Teich, Fundamentals of'Photonics, Wiley & Sons,
1991, p. 48 et 58
[15] Idem, p. 126
[16] E. G. Steward, Fourier Optics an introduction, Ellis Horwood limited, 1983, p. 89
[17] James W. Cooley et John W. Tukey, An Algorithm for the Machine Calculation of
Complex Fourier Séries, Mathematics of Computation, Vol. 19, no 90, avril 1965,
pp. 297-301
[18] Wiliam H. Press et al., Numerical Recipes in C, 2e édition, Cambridge University
Press, 1992, pp. 496-524
[19] A. E. Siegman, Quasi fast Hankel transform, Optics Letters, vol. 1, no 1, juillet 1977,
pp. 13-15
77
[20] S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt, Jr., M. P. Vecchi, Optimization by SimulatedAnnealing,
Science, vol. 220, no 4598, mai 1983, pp. 671-680
[21] Scott Kirkpatrick, Optimization by Simulated Annealing: Quantitative Studies,
Journal of Statistical Physics, vol. 34, nos 5/6, 1984, pp. 975-986
[22] N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller et E. Teller,
Equation of State Calculations by Fast Computing Machines, Journal of Chemical
Physics, vol. 21, no 6, juin 1953, pp. 1087-1092
[23] Debasis Mitra, Fabio Romeo et Alberto Sangiovanni-Vincentelli, Convergence and
Finite-Time Behavior of simulated Annealing, Advances in Applied probability, vol. 18,
no 3, septembre 1986, pp. 747-771
[24] Harold Szu et Ralph Hartley, Fast Simulated Annealing, Physics Letters A, vol. 122,
no 3-4, juin 1987, pp. 157-162
[25] L. Ingber, Very Fast Simulated Re-Annealing, Math. Comput. Modelling, vol. 12,
no 8, 1989, pp. 967-973
[26] L. Ingber, Adaptive simulated annealing (ASA): Lessons learned, arXiv, no 0001018,
23 jan. 2000, 26 p.
[27] S. S. Sherif, W. T. Cathey et E. R. Dowski, Phase plate to extendthe depth offieldof
Incohérent hybrid imaging Systems, Applied Optics, vol. 43, no. 13, mai 2004,
pp. 2709-2721.
[28] H. Andersson et al., Single photomask, multilevel kinoforms in quartz and photoresist:
manufacture and évaluation, Applied Optics, vol. 29, no 28, octobre 1990,
pp. 4259-4267
[29] L. B. Lesem, P. M. Hirsch, J. A. Jordan, jr., The Kinoform: A new Wavefront
Reconstruction Device, IBM J. Res. Develop., mars 1969, pp. 150-155
[30] Walter Dâschner et al., Cost-effective mass fabrication ofmultilevel diffractive optical
éléments by use ofa single optical exposure with a grayscale mask on high-energy
beam-sensitive glass, Applied Optics, vol. 36, no 20, juillet 1997, pp. 4675-4680
[31] Canyon Materials, inc, Properties ofHEBS-Glass,
http://www.canyonmaterials.com/prop_hebsl.html, consulté le 17 novembre 2007
[32] Chuck Wu, Communication personnelle avec Chuck Wu, employé de Canyon
Materials, 16 mai 2006
[33] Victor A. Soifer, Methodsfor Computer Design of Diffractive Optical Eléments,
Willey, 2002, pp. 285-287
[34] Christian Kevin Sieracki, An Expérimental and Computational Study ofBinary
Optical Eléments for Aberration Correction in Three-Dimensional Fluorescence
Microscopy, thèse, Dartmouth Collège, octobre 1995, p. 28-32
[35] J. W. Goodman et A. M. Silvestri, Some Effects of Fourier-domain Phase
Quantization, IBM J. Res. Develop., septembre 1970, pp. 478-484
[36] W. J. Dallas, Phase Quantization - a Compact Dérivation, Applied Optics, vol. 10,
no 3, mars 1971, pp. 673-674
[37] W. J. Dallas et A. W. Lohmann, Phase Quantization in Holograms - Depth Effects,
Applied Optics, vol. 11, no 1, janvier 1972, pp. 192-194
[38] Gerber RS-274XFormat User's Guide, rev. D, Barco Graphics N. V., Belgique, mars
2001,55p
[39] Frederick H. Dill et al., Characterization of Positive Photoresist, IEEE Transaction on
Electron Devices, vol. ED-22, no 7, juillet 1975, pp. 445-452
78
[40] D. E. Bornside, C. W. Macosko et L. E. Scriven, Spin coating: One-dimensional
model, J. Appl. Phys., vol. 66, no 11, décembre 1989, pp. 5185-5193
[41] HiPr6500 Séries Technical Product Information, Fujifilm
[42] Henri Jansen et al., A survey on the reactive ion etching ofsilicon in microtechnology,
J. Micromech. Microeng, no 6, 1996, pp. 14-28
Annexe A - Fonctions clés de la classe
Simulatedannealing
Explication des variables internes de la classe
NB_ITERATIONS_TEMPERATURE : Nombre d'itérations de température
NB_ITERATIONS : Itérations entre deux changements de température
POLYNOMIAL_ORDER : Ordre du polynôme
E : Énergie
T : Température
cprime : coefficient d'atténuation de la température
probability : Probabilité de choisir une solution
random_number : nombre aléatoire suivant la distribution uniforme
coefficients : vecteur des coefficients du polynôme
previous_coefficients : vecteur des coefficients de l'itération
précédente
previous_E : Énergie de l'itération précédente
min_E_coefficients : vecteur des coefficients de la solution minimale
min_E : énergie minimale
target : vecteur de la MTF cible
MTF : Vecteur de pointeurs vers les MTFs
Fonction chooseaneighbour
Choix du voisin
void Simulated_annealing::chooseaneighbour(void)
{
do
{
// Obtenir les coefficients à partir de la distribution normale
for (int i=0; i< POLYNOMIAL_ORDER; i++)
coefficients[i]+=T*sqrt(2.0)*(erfinv(2*(rand()*1.0/RAND_MAX)-1));
} while ( ! VerifySlope ( ) ); /'/ Vérification de la dérivée
}//Fin de la fonction chooseaneighbour
Fonction optimize
Boucle principale du programme
void
Simulated_annealing::optimize(void)
{
for (unsigned int temp=0; temp<NB_ITERATIONS_TEMPERATURE;
{
for (unsigned int iter=0; iter<NB_ITERATIONS; iter++)
{
chooseaneighbour(); // Recherche d'un voisin
E=evaluate_energy();// Évaluation de l'énergie
// Vérifie si la nouvelle solution doit être conservé
if ( E > previous_E)
{
// Choisir une nombre aléatoire entre 0 et 1
random_number=rand 0*1.0/RAND_MAX;
// Calcul de la probabilité d'acceptation
probability=exp(-(E-previous_E)/T);
// Déterminer si la solution doit être rejetée
if (random_number > probability )
{
// Refuser la nouvelle solution
for(unsigned int i=0;i<POLYNOMIAL_ORDER;i++)
coefficients[i]=previous_coefficients[ i] ;
E=previous_E;
}
}
// Enregistrer l'état actuel
for(unsigned int i=0; i<POLYNOMIAL_ORDER; i++)
previous_coefficients[i]=coefficients[i];
previous_E=E;
// Vérifier si l'énergie est inférieur au record
if ( E < min_E )
{
Min_E=E;
for(unsigned int i=0; i<POLYNOMIAL_ORDER; i++)
min_E_coefficients[i]=coefficients[i];
}
}// Fin de la boucle imbriquée
T=cprime*T; // Refroidir la température
}//Fin de la boucle de changements de température
} //Fin de la fonction optimize
81
Fonction evaluateenergy
Calcul de l'énergie
double Simulated_annealing::evaluate_energy(void)
{
double energy; // Énergie de la solution
double phase [1024] ; // Vecteur de la x^nase du masque
// Calcul des MTFs pour chaque position de l'objet
for (int i=4; i<9; i++) // Pour les cinq positions de l'objet
{
// Calcul du vecteur de phase
for (int n=0; n<1024; n++) //Pour 1024 positions spatiales
{
// Ajout du défocus
phase[n]=26.2/4*(i-4)*pow((n-1024/2.0)/(1024/2.0),2);
for (int k=0; k< POLYNOMIAL_ORDER; k++)
phase[n]+=coefficients[k]*pow((n-1024/2.0)/(1024/2.0),2*k+l);
}
// Calcul des MTFs avec la classe MTFcoordseparables
_MTFcoordseparables.importphase(phase);
_MTFcoordseparables.getMTF();
_MTFcoordseparables.exportMTF(MTF[i]);
}
// Calcul de l'énergie
energy=0;
for (int i=0; i<1024; i++) //Pour chaque fréquence
for (int j = 4; j<9; j++) //Pour les cinq fiositions de l'objet
energy+=(MTF[j][i]-target[i])*(MTF[j][i]-target[i])*Deltafreq;
return energy; // Retourne l'énergie
}//Fin de la fonction evaluate_„energy
82
Annexe B - Fonctions clés de la classe
MTFcoordseparables
Note : La librairie FFTW utilise le dernier indice des tableaux pour encoder la composante
réelle (indice 0) et imaginaire (indice 1) des nombres complexes.
Signification des variables internes de la classe
nmax : Dimension maximale du vecteur de phase
PSF_p : Variable de configuration des paramètres de la FFT pour le
calcul de la PSF
MTF_p : Configuration de la deuxième FFT
pupil : vecteur de la pupille généralisée
PSF_out : Vecteur contenant l e r é s u l t a t de l a première FFT
MTF_in : Vecteur d ' e n t r é e de l a deuxième FFT ( i n t e n s i t é de l a PSF)
MTF_out : R é s u l t a t de l a deuxième FFT
Fonction importphase
Importe le profil de phase de la pupille
vecteurphase : pointeur vers un vecteur du profil de phase
void MTFcoordseparables::importphase(double *vecteur_phase)
{
double x; // Coordonnée x centrée sur l'axe optique et normalisée
int indice; // Entier utilisé pour accéder à un élément d'un vecteur
for (unsigned int n=0; n<nmax; n++)
{
// Calcul de la coordonnée x (normalisée à l'unité)
x = (n-nmax/2.0)/(nmax/2.0);
// L'amplitude doit être zéro en dehors de la pupille
pupil[n][0]=0;
pupil[n][1]=0;
// 1/4 du champ est occupé par la pupille généralisée
if (fabs(x) < 0.25 )
{
// Calcul de l'indice pour accéder à vecteur__phase
indice=(unsigned int) floor( (x+0.25)*nmax);
// Calcul de l'exponentielle complexe associée au masque de phase
pupil[n][0]=cos(vecteur_phase[indice]);
pupil[n][1]=sin(vecteur_phase[indice]);
}
}// Fin de la boucle sur les éléments du vecteur pupil
}// Fin de la fonction importphase
83
Fonction getPSF
Calcul de la PSF
void MTFcoordseparables::getPSF(void)
{
fftw_execute(PSF_p);
// Prendre le carré et réarranger les deux parties du vecteur
// (Centrer la fréquence 0 mm'"')
for (unsigned int n=0; n<nmax/2; n++)
{
MTF_in[n][0]=PSF_out[n+nmax/2][0]*PSF_out[n+nmax/2][0]
+PSF_out[n+nmax/2][1]*PSF_out[n+nmax/2][1];
MTF_in[n][1]=0;
}
for (unsigned int n=nmax/2; n<nmax; n++)
{
MTF_in[n][0]=PSF_out[n-nmax/2][0]*PSF_out[n-nmax/2][0]
+PSF_out[n-nmax/2][1]*PSF_out[n-nmax/2][1];
MTF_in[n][1]=0;
}
}// Fin de la fonction getPSF
Fonction getMTF
Calcul de la MTF
void MTFcoordseparables::getMTF(void)
{
getPSF();
fftw_execute(MTF_p);
}// Fin de la fonction getMTF
Fonction exportMTF
Exporte la MTF
MTF : pointeur vers un vecteur contenant la MTF
void MTFcoordseparables::exportMTF(double *MTF)
{
// Calcul du facteur de normalisation
// (Modulation pour une fréquence spatiale de 0 mm'"1)
double MODULATION_MAX=sqrt(MTF_out[0][0]*MTF_out[0][0]
+MTF_out[0][1]*MTF_out[0][1]);
for (unsigned int n=0; n<nmax; n++)
{
// Calcul de l'indice de correspondance des fréquences
// Rapport des fréquences de coupure multiplié par le rapport des
indices maximums
indice = (unsigned int) floor( n*120/476 *2048/1024 );
MTF[n]=sqrt(MTF_out[indice][0]*MTF_out[indice][0]
+MTF_out[indice][1]*MTF_out[indice][1])/MODULATION_MAX;
}
84
Annexe C - Fonctions clés de la classe FHT
Signification des variables internes de la classe
RMAX : rayon maximal du masque de phase
rmax : indice associé à RMAX
index : vecteur de correspondance entre les indices de
l'échantillonnage linéaire et ceux de l'échantillonnage
exponentiel
PSF_p_in : Vecteur d'entrée de la première FFT pour la PSF
PSF_p_out : Vecteur de sortie de la première FFT pour la PSF
PSF_s_in : Vecteur d'entrée de la deuxième FFT pour la PSF
PSF_s_out : Vecteur de sortie de la deuxième FFT pour la PSF
PSF_r : Vecteur de la suite exponentielle dans le plan spatial
PSF_rho : Vecteur de la suite exponentielle dans le plan fréquentiel
PSF_j_in : Vecteur précalculé associé à l'échantillonnage
PSF_j_out : FFT du vecteur pécalculé
MTF_p_in : Vecteur d'entrée de la première FFT pour la MTF
MTF_p_out : Vecteur de sortie de la première FFT pour la MTF
MTF_s_in : Vecteur d'entrée de la deuxième FFT pour la MTF
MTF_s_out : Vecteur de sortie de la deuxième FFT pour la MTF
MTF_r : Vecteur de la suite exponentielle dans le plan spatial
MTF_rho : Vecteur de la suite exponentielle dans le plan fréquentiel
MTF_j_in : Vecteur précalculé associé à l'échantillonnage
MTF_j_out : FFT du vecteur précalculé
Fonction lintoexp
Échantillonne le masque de phase avec une suite exponentielle
input : pointeur vers un vecteur de la phase du masque
defocus : paramètre de Hopkins du défocus à ajouter au masque de phase
void FHT::lintoexp(double *input, double
{
f o r ( u n s i g n e d i n t n=0; n<2*rmax; n++)
{
i f (n < rmax)
defocus)
{
// Calcul de l'exponentielle complexe associée au masque de phase
PSF_p__in[n][0]=PSF_r[n]*cos(input[(int)floor(PSF_r[n]/RMAX*rmax)]
+defocus*pow(PSF_r[n]/RMAX, 2)) ;
PSF_p_in[n][l]=PSF_r[n]*sin(input[(int)floor(PSF_r[n]/RMAX*rmax)]
+defocus*pow(PSF_r[n]/RMAX,2));
}
else
{
// La moitié du vecteur d'entrée doit être égale à zéro
PSF_p_in[n][0]=0;
PSF_p_in[n][1]=0;
}
}
}//Fin de la fonction lintoexp
85
Fonction exptolin
Convertit la MTF d'un échantillonnage exponentiel à linéaire
output : pointeur vers un vecteur de la MTF
void FHT::exptolin(double *output)
{
// Calcul du facteur de normalisation
double MODULATION_MAX =
sqrt(pow(MTF_s_out[0] [0],2)+pow(MTF_s_out[0] [1] , 2));
for (unsigned int i=0; i<rmax; i++)
{
if ( MTF_s_out[index[i]][0] < 0 )
output[i]=-sqrt(pow(MTF_s_out[index[i]] [0] , 2)
+pow(MTF_s_out[index[i]][1],2))/MODULATION_MAX;
else
output[i]=sqrt(pow(MTF_s_out[index[i]][0],2)
+pow(MTF_s_out[index[i]][1],2))/MODULATION_MAX;
}
}//Fin de la fonction exptolin
Fonction P S F d o H a n k e l
Applique la transformée de Hankel rapide pour obtenir la PSF
void FHT::PSF_doHankel(void)
{
// Exécution de la première TF;
fftw_execute(PSF_p);
// Multiplication avec le vecteur pré-calculé
for (unsigned int n=0; n<2*rmax; n++)
{
// Le vecteur pré-calculé est aussi un nombre complexe
PSF_s_in[n][0]=PSF_p_out[n][0]*PSF_j_out[n][0]
-PSF_p_out[n][1]*PSF_j_out[n][1];
PSF_s_in[n][1]=PSF_p_out[n][0]*PSF_j_out[n][1]
+PSF_p_out[n][1]*PSF_j_out[n][0];
}
// Exécution de la dernière TF
fftw_execute(PSF_s);
// Division par la fréquence pour obtenir le champ de la PSF
for (unsigned int n=0; n<rmax; n++)
{
PSF_s_out[n][0]=PSF_s_out[n][0]/PSF_rho[n];
PSF_s_out[n][1]=PSF_s_out[n][1]/PSF_rho[n];
}
} //Fin de la fonction PSF_doHankel
Fonction MTFdoHankel
Applique la transformée de Hankel rapide pour obtenir la MTF
void FHT::MTF_doHankel(void)
{
// Exécution de la première TF;
fftw_execute(MTF_p);
/'/ Multiplication avec le vecteur pré-calculé
for (unsigned int n=0; n<2*rmax; n++)
{
MTF_s_in[n][0]=MTF_p_out[n][0]*MTF_j_out[n][0]
-MTF_p_out[n][1]*MTF_j_out[n][1];
MTF_s_in[n][1]=MTF_p_out[n][0]*MTF_j_out[n][1]
+MTF_p_out[n][1]*MTF_j_out[n][0];
}
// Exécution de la dernière TF
fftw_execute(MTF_s);
// Division par la fréquence pour obtenir la MTF
for (unsigned int n=0; n<rmax; n++)
{
MTF_s_out[n][0]=MTF_s_out[n][0]/MTF_rho[n];
MTF_s_out[n][1]=MTF_s_out[n][1]/MTF_rho[n];
}
}//Fin de la fonction MTF_doHankel
Fonction getMTF
Calcul la MTF à partir du masque de phase préalablement importé
void FHT::getMTF(void)
{
PSF_doHankel();
// Prendre le carré du champ pour obtenir l'intensité
for (int n=0; n<2*rmax; n++)
{
if ( n < rmax )
{
MTF_p_in[n][0]=MTF_r[n]*(pow(PSF_s_out[n][0],2)
+pow(PSF_s_out[n][1],2));
MTF_p_in[n][1]=0;
}
else
{
MTF_p_in[n][0]=0;
MTF_p_in[n] [1]=0;
}
}
MTF_doHankel();
}//Fin de la fonction getMTF
87
Annexe D - Vérification du masque en coordonnées
cartésiennes separables pour une ouverture circulaire
Fréquence spatiale normalisée
Figure D.l- Vérification des MTFs du masque en coordonnées cartésiennes separables pour une ouverture
circulaire
-70
J
0.5
1
1.5
Fréquence spatiale normalisée
Figure D.2- Vérification des PTFs du masque en coordonnées cartésiennes separables pour une ouverture
circulaire
88
Annexe E - Développement mathématique de Goodman,
Silvestri et Dallas
Il faut tout d'abord apporter une précision en ce qui concerne la discrétisation de la phase.
Goodman utilise la relation suivante :
<j>{v) =
2K
lorsque
X pourn = 1,2,3,...,M
K<0(V)<~
M
M
(E.l)
M
Alors que les masques définis dans ce mémoire adoptent plutôt la convention :
'-7t<é(v)<—X
(E.2)
</>(v) =
M-—2K lorsque M
M
Cette différence ne pose toutefois pas de problème puisqu'elle est équivalente à ajouter une
phase constante au masque continu :
li \ n-l.
.
2 w - 3 ■,/ \ n 2/7-1
(E.3)
ç\y)- M 2K lorsque —^—
- — <M
- —K
M K < ç>[v) M
Le développement de Dallas se base sur l'expression de la phase discrétisée sous la forme
suivante :
rfy)
exp[/^(v)] = ^]exp[2^'«/M]rect
2KIM
(E.4)
—n
Ce qui correspond à considérer l'effet de chaque niveau de phase individuellement. Il s'agit
ensuite d'exprimer la fonction rectangle sous la forme d'une série de Fourier complexe. La
période de cette fonction est 2K rad.
rect
<z>(v)
= ^c,
■n
2KIM
j
(E.5)
exphMv)]
/=
Les coefficients de la série sont donnés par l'expression
i
M{
2)
C/=—
2K
fexp[-jl#]d0
(E.6)
L
-(»- )
Il suffit d'évaluer l'intégrale.
1
c, = —j27d exp
.2K J
r
.2K ,
1
■exp ■j — / nJ—' vn +22M
y
M
1
.2K
,
■
i
c, = —
exp — j — ni exp -J — « -exp + J — /
M
M
M
j27d
(E.7)
n
(E.8)
Les deux exponentielles complexes peuvent être combinées en une fonction sinus.
.2K
1
.2K
,
exp — 7 77/ 2jJi^-i] = (VM)^exp ■ i — ni sin KM
J2M
\M
Kl
M
M
.( n
(E.9)
89
c, = (l/Af)exp
.m
- i — ni
M
Ce qui donne en définitive :
rect
sine
4(v)
£(l/Af)exp
—n
.2K
,
- ; — ni
ln!M
En combinant ce résultat avec l'équation E.4 :
JVJ —l
M
J_
(E.10)
M
«nef—jexp[//^(v)]
(E.ll)
o°
exp[^(v)] = ^exp[2^«/M]^(l/7l/)exp[2^(-//^ r )«]sinc(//M)exp[;70(v)](E.12)
Les deux sommations peuvent ensuite être inversées.
M-\
exp[^(v)] = ^sinc(//M)exp[;7 < z>(v)](l/M)^exp[2^>2/M]exp[2^(-//M)«] (E.13)
n=0
1"
exp[^(v)] = Y sinc(//Af)exp[//^(v)]— Y exp
■2#(/-l)£
(E.14)
M
(Note : cette dernière équation comporte un signe de différence entre le développement de
Goodman et celui de Dallas. La forme employée par Goodman est ici reproduite. )
MU
i=-
La deuxième sommation est égale à zéro sauf pour l-\-0,±M,±2M,...
Pour ces cas
M-l
particuliers, elle devient simplement Y 1 = M. Goodman et Dallas proposent alors de
«=o
modifier l'indice de la première sommation par m = (l-1)1 M, ce qui permet d'obtenir
exp[^(v)]= ^ s i n c ( l / M + w)exp[/(l + wM)(Z)(v)]
(E.15)
La fonction de pupille est maintenant définie par l'équation suivante.
Ô(v)= Ysmc{l/M
+ m)G{v]exp\j{\ + mM)<f>{v)]
(E.16)
m=—°°
Si on prend la transformée inverse de la fonction de pupille ainsi définie, on obtient ce
résultat :
g{x)= ]Tsinc(l/M + m)gro(x)
(E.17)
m=—<*>
Les coefficients de la série sont donnés par
gm M = \\G{v\ exp[/(l + mM )<f>{v)]exp\j2xvx)dv
(E.18)
90
Annexe F - Résultats expérimentaux détaillés pour le
masque CS6
Tableau F.l- Images obtenues avec le masque de phase (défocus positifs)
Défocus
Image sans masque
Simulation
(pupille carrée)
Mesures
expérimentales avec
CS6
w20 = 4.m
(objet à 200 um)
w20 = 3.m
0
(150 um)
W20 = 2.08X
(100 Lim)
fm
,;s tj|.
W 20 = 1.04 A.
(50 uni)
■ llli
^^
l l j 35
mm- 1 1 1
™ M
i'
Ml
zz III
W20 = 0
(au foyer)
n
7
• = lltj
3■M ^ ^
111
>gNt ^ ™ m S
**^»w
11»
& —.
I(
|
= 111
111= S
111= •
- ' -ISS
91
Tableau F.2- Images obtenues avec le masque de phase (défocus négatifs)
Défocus
Image sans masque
W20 = -4.17X
(objet à -200 |xm)
Simulation
(pupille carrée)
iêmmm
,
i
Mesures expérimentales
avec CS6
■;
■>■
Si
•
*ffP
W20 = -3.12X
m
(-150 |im)
ÊÊk
" ■ "
W20 = -2.08X
(-100 um)
■
"
W^ll:
"
| 1
. «
W20 = -1.04A.
(-50 um)
" II! •
:
■ $
:
S
,.;■■
3&- m
w20 = o
(au foyer)
?
liM
III:
III •
« 'I: *
III
tSM
6
***** I I I
111= :
"** *
= 1 1 1
MIE
Bip
n
^BBP Ttll
^ V
^
l tu.
:--
92
Tableau F.3- Images obtenues après déconvolution (défocus positifs)
Défocus
Image sans masque
W20 = 4.17À
(objet à 200 um)
Simulation de la
déconvolution
(pupille carrée)
Déconvolution des
mesures expérimentales
avec CS6
6
IIIE
• g Ht I
1
J Î »
M -
» ••
= III
7
W20 = 3.12À
(150 um)
S Illl
111 =
lll =
tu S
m=
~Hi|
1 4 1 ■***
* f f
* SS-f»!
illl
%s *
Mis
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6
MIE
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m:
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NI
*
I'|f"«HMt
= n»J
» S H> I
i f *
« f i
'
» »»»
i l
■ : : ■ ■ : : :
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(50 um)
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.
I
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ni
■£1111
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. s .<
*
£
l
*
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Hl =
Ht s
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(au foyer)
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1
W20 = 2.08X.
(100 um)
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»S «
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III:
lit 2
m.
6 —...
liî =
lit:
III:
m:
tu-
mi
lil:
Iiï^-S
' = M l .:«r=s
93
Tableau F.4- Images obtenues après déconvolution (défocus négatifs)
Défocus
Image sans masque
Simulation de la
déconvolution
(pupille carrée)
w 20 = - 4 . m
0
m
IHE
(objet à -200 u.m)
W20 = -2.08X
(-100 fim)
h
= 111
111 =
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m=
7
6
•SîMI
m
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Mesures expérimentales
avec CS6
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