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Initiation à la mécanique quantique
1. Longueur d’onde de De Broglie
a. Calculer la longueur d’onde de De Broglie pour un électron d’énergie cinétique égale à
10 eV. Commenter.
b. Calculer la longueur d’onde de De Broglie pour une personne de masse 70 kg se
déplaçant à la vitesse de 10 m.s–1. Commenter.
c. À ce jour, les fullerènes C60 sont des molécules les plus grosses pour lesquelles des
phénomènes ondulatoires ont été observés. Dans les expériences correspondantes, les
molécules ont une vitesse moyenne de 220 m.s–1.
Calculer la longueur d’onde de De Broglie de ces molécules.
Comment se compare-t-elle aux dimensions de la molécule qui est de l’ordre du
nanomètre ?
2. Gaz quantique ou classique
On considère de l’hélium gazeux à température ambiante et à la pression atmosphérique.
3
2
L’énergie cinétique moyenne d’un atome d’hélium est égale à ec = kBT, kB représentant la
constante de Boltzmann.
a. Déterminer et évaluer numériquement la vitesse quadratique moyenne d’un atome
d’hélium.
b. Calculer la longueur d’onde de De Broglie correspondante. La comparer à la distance
moyenne entre atomes d’hélium.
c. On s’attend à ce que les effets quantiques puissent jouer un rôle lorsque la longueur
d’onde de De Broglie est de l’ordre de grandeur ou plus grande que la distance moyenne
interatomique. Expliquer pourquoi et dites si l’étude de ce gaz d’hélium vous semble
relever ou pas de la mécanique quantique.
d. Lors de la formation d’un cristal métallique, on suppose que chaque atome du cristal
fournit un électron. L’ensemble de ces électrons libres constitue un gaz d’électron où
l’énergie de chaque électron est de l’ordre de l’électron-volt. La distance moyenne entre
électrons est supposée égale à la distance moyenne entre atomes. Reprendre les
arguments développés précédemment pour le gaz d’hélium dans le cas du gaz d’électrons
libres dans un métal. On pourra utiliser les valeurs numériques suivantes relatives au
cuivre : MCu = 63 g.mol–1 ; µCu = 8,9.103 kg.m–3.
e. La conduction de l’électricité dans un métal est liée au gaz d’électrons libres.
Relève-t-elle d’un traitement classique ou quantique ?
3. Largeur spectrale
Un atome se trouve dans un état excité dont l’énergie est supérieure à celle du niveau
fondamental de 4,7 eV. Le temps de vie de cet état excité est de l’ordre de 10–13 s.
a. Déterminer la fréquence et la longueur d’onde du rayonnement électromagnétique émis
lors de la désexcitation de l’atome.
b. Quelle est l’indétermination minimale sur l’énergie du photon lors de la désexcitation de
l’atome ?
c. En déduire la largeur spectrale de la raie d’émission correspondante exprimée en
longueur d’onde et en fréquence.
4. Énergie minimale d’un oscillateur harmonique.
Un oscillateur harmonique unidimensionnel de masse m et de pulsation propre ω0 est soumis à
1
2
une énergie potentielle V(x) = m ω20 x2. La position moyenne x et la quantité de mouvement
moyenne p x de l’oscillateur sont nulles. Utiliser la relation d’indétermination de Heisenberg
spatiale permet de montrer que la valeur moyenne de l’énergie de cet oscillateur est bornée
1 2
ℏ2
2
inférieurement : E ≥ m ω0 (∆x) +
où ∆x représente l’indétermination quantique
2
2
8m ( ∆x )
sur la position x de l’oscillateur.
a. Déterminer la valeur minimale que peut prendre la valeur moyenne de l’énergie de
l’oscillateur en fonction de ℏ et ω0. Exprimer l’amplitude de l’indétermination quantique ∆x
en fonction de m, ℏ et ω0.
b. À température non nulle, en raison de l’agitation thermique, il existe aussi des fluctuations
kBT
∆xT de la position de l’oscillateur autour de sa valeur moyenne. On donne ∆xT =
mω20
avec kB = 1,38.10–23 J.K–1. Donner l’expression de la température Tc en dessous de
laquelle les fluctuations quantiques sont plus importantes que les fluctuations thermiques.
c. Donner la valeur numérique de la température Tc dans le cas d’un oscillateur mécanique
constitué d’une masse suspendue à un ressort. Choisir une fréquence d’oscillation
correspondant à une expérience réalisable au laboratoire de physique. Commenter la
valeur obtenue pour Tc.
d. En 2010, une équipe de l’Université de Californie à Santa Barbara a atteint le régime
quantique en amenant un micro-résonateur piézo-électrique de fréquence très élevée
(6,0 GHz) à une température de 25 mK. Commenter le choix d’un oscillateur de fréquence
élevée et d’une température aussi faible.
5. Diffraction d’une onde électromagnétique par une fente
On considère l’expérience de diffraction d’une onde électromagnétique plane, de longueur
d’onde λ0 = 633 nm, à travers une fente de largeur a = 0,070 mm selon l’axe (Ox), et de
longueur infinie selon (Oy). La figure de diffraction est observée sur un écran lointain, placé à
une distance D = 2,00 m. L’éclairement observé sur l’écran se concentre le long de l’axe (Ox).
2
 πax 
 sin λ D 
0
Il est donné par la relation : ε(x) = ε0. 
 .
π
ax


 λD 
 0 
a. On admet que la densité de probabilité de présence d’un photon au voisinage d’un point
de l’écran est proportionnelle à l’éclairement en ce point : dP(x,t) = C.ε(x).dx.
Déterminer l’expression de la constante C.
b. Déterminer la probabilité pour qu’un photon soit détecté à l’intérieur de la tache centrale
λ0D
.
a
2
2
∞  sinu 
π  sinu 
Données : ∫ 
 du = π et ∫−π 
 du ≈ 2,84.
−∞
u
u




de diffraction correspondant à |x| ≤
6. État fondamental de l’atome d’hydrogène
Dans son état fondamental, un électron de l’atome d’hydrogène en orbite autour d’un proton
r
fixe en O est décrit par la fonction d’onde à symétrie sphérique ψ(M, t) = A.exp  −  où A et a
 a
sont des constantes positives et r = OM.
a. Quel est, au premier ordre, le volume dτ compris entre les sphères de rayons r et r + dr ?
b. En déduire la probabilité dP = f(r).dr que la position de l’électron soit mesurée entre r et
r + dr ? En déduire une valeur de A.
c. Pour quelle valeur r0 de r la probabilité de trouver l’électron est-elle maximale ?
d. Quelle est la valeur moyenne r de r dans cet état ?
Quelle quantité physique représente a ?
Donnée :
∞ n
∫0
x .exp( − αx).dx =
n!
pour α > 0.
αn+1
7. Onde stationnaire ou non ?
On s’intéresse à une particule de masse m, soumise à une énergie potentielle V = 0.
a. Trouver les solutions stationnaires ϕ(x) de l’équation de Schrödinger.
b. En déduire l’onde Ψ(x,t) associée. Que reconnaît-on ?
c. Donner un exemple d’onde qui soit une onde stationnaire du point de vue de la mécanique
quantique et une onde progressive du point de vue de la physique ondulatoire.
8. Interférences
On considère une expérience d’interférences, où un faisceau de particules quantiques est
dirigé vers 3 fentes contenues dans le même plan. La détection des particules est effectuée en
un point M à grande distance du plan contenant les trois fentes.
1
Lorsque la seule fente n°1 est ouverte, l’amplitude de probabilité en M vaut Ψ1(M) =
.
3
i
Lorsque la seule fente n°2 est ouverte, l’amplitude de probabilité en M vaut Ψ2(M) =
.
2
e − iπ
Lorsque la seule fente n°3 est ouverte, l’amplitude de probabilité en M vaut Ψ3(M) =
.
6
Déterminer la probabilité de détection d’une particule au voisinage du point M lorsque :
a. Seule la fente 2 est ouverte.
b. Les fentes 1 et 2 sont ouvertes.
c. Les fentes 1 et 3 sont ouvertes.
d. Toutes les fentes sont ouvertes.
9. Diffraction de molécules par une onde lumineuse.
On considère une expérience de diffraction de molécules de fullerène (C60) par une onde
stationnaire lumineuse. Un four contenant de la poudre de fullerène est chauffé à une
température proche de 900 K. Un dispositif permet de sélectionner dans le faisceau de
fullerène sortant du four les molécules de vitesse moyenne égale à v = 120 m.s–1 et dont la
dispersion relative de vitesse est
∆v
= 0,17. Le faisceau est collimaté par deux fentes
v
verticales successives de largeur respectivement égales à a = 7 µm et b = 5 µm, et séparées
de D’ = 1,13 m. Le faisceau de molécules est ensuite diffracté par une onde lumineuse
stationnaire. On admettra que, du point de vue des molécules de fullerène, l’onde lumineuse
stationnaire agit comme un réseau plan de diffraction, constitué de N fentes, infiniment fines et
équidistantes de d = 257 nm. Un détecteur, situé à une distance D = 1,2 m après le réseau,
permet de compter les molécules de C60. Le dispositif expérimental est représenté sur la fig. 1.
a. Déterminer la longueur d’onde de De Broglie des molécules de fullerène qui sont
sélectionnées par le filtre de vitesse.
b. Déterminer la dispersion ∆λDB de la longueur d’onde de De Broglie.
2
λDB
c. Que représente la longueur ℓc =
? Calculer sa valeur numérique.
∆λDB
d. Expliquer quel est l’intérêt des fentes de collimation. En utilisant l’inégalité de Heisenberg
spatiale, évaluer l’ouverture angulaire du faisceau moléculaire produite par chacune des
deux fentes.
La fig. 2 représente un exemple de figures d’interférences obtenue expérimentalement.
On suppose que le détecteur permet d’observer les interférences à l’infini du faisceau
moléculaire diffracté. Pour interpréter les résultats expérimentaux, on se ramène à la fig. 3.
On suppose que la longueur d’onde de De Broglie n’est pas modifiée par le passage à travers
le réseau.
e. Déterminer les directions θ pour lesquelles il y a interférence constructive des faisceaux
diffractés.
f. Interpréter l’allure de la courbe expérimentale fig. 2. En déduire la valeur numérique de la
vitesse moyenne des molécules de C60 et la comparer à la valeur donnée par les auteurs
de l’expérience.
g. Montrer, en utilisant des arguments similaires à ceux développés dans les chapitres
d’optique physique, que le défaut de cohérence temporelle du faisceau permet
d’expliquer le nombre limité de franges visibles.
10. Étalement d’un paquet d’ondes
On considère une particule libre de masse m.
a. Retrouver rapidement la relation de dispersion correspondante.
On considère que l’état de la particule quantique est représenté par un paquet d’ondes formé
d’ondes planes progressives, dont les vecteurs d’ondes sont distribués autour d’une valeur
moyenne k0 avec une dispersion ∆k, qui détermine l’extension spatiale initiale ∆x0 du paquet
d’ondes à l’instant initial t = 0. La pulsation moyenne correspondant à k0 est notée ω0.
b. Rappeler la définition de la vitesse de groupe vg0 et déterminer son expression.
c. Montrer en utilisant la relation de dispersion qu’à la largeur ∆k correspond une dispersion
de la vitesse de groupe ∆vg autour de la valeur moyenne vg0.
Exprimer ∆vg en fonction de ℏ, m et ∆x0.
d. En déduire la largeur du paquet d’ondes ∆x(t) après un déplacement d’une durée t depuis
l’origine. Déterminer l’instant t0 pour lequel la largeur du paquet d’ondes a doublé.
e. Application numérique.
Calculer t0 pour un électron de masse m = 10–30 kg initialement confiné dans un atome
∆x0 = 10–10 m, puis pour une gouttelette d’eau de rayon égal à 10 µm et de masse
m = 4.10–12 kg. Commenter les valeurs numériques obtenues.
11. Paquet d’ondes gaussien libre
 ( k − k 0 )2 
Une onde gaussienne est décrite par la densité g(k) = A.exp  −
 , où A, k0 et q sont
2


q


des constantes positives. La particule concernée est libre et de masse m.
a. Écrire la forme de la fonction d’onde ψ(x,t) correspondante.
b. Commenter la nature physique de cette onde.
c. Évaluer explicitement l’onde à t = 0.
∞
 β2 
π
2
On donne ∫ exp −αu + βu .du =
exp −
pour α > 0 et β ∈ C.
−∞
α  4α 
(
)
d. Commenter le résultat précédent.
e. Quels types de paramètres doit-on choisir pour que la particule soit localisée très
précisément à l’instant initial t = 0 ?
Faire le lien avec le principe d’incertitude de Heisenberg ?
12. Courant de probabilité
Soit la fonction d’onde ψ(x,t).
iℏ  ∂Ψ *
* ∂Ψ 
Ψ
−
Ψ
ux.
On considère la densité de courant de probabilité J =
.
.
2m 
∂x
∂x 
a. Montrer que J satisfait une équation de conservation, en utilisant l’expression usuelle de la
densité de probabilité.
b. Dans le cas d’une onde de De Broglie, retrouver l’expression de J.
13. Particule libre sur un cercle.
Une particule de masse m est libre de se déplacer sur un cercle de centre O et de rayon R.
La position du point M est repérée en coordonnées polaires par l’angle θ.
a. Proposer une équation de Schrödinger indépendante du temps pour cette situation.
b. Quelle condition « aux limites » peut-on proposer pour une fonction d’onde stationnaire ?
c. En déduire l’ensemble des solutions stationnaires ϕn(θ) où n est un entier relatif.
d. Quelles sont les solutions associées ψn(θ,t) ?
e. Comment expliquer que les états correspondants à ± n aient même énergie ?
14. Niveaux d’énergie du puits de potentiel infiniment profond
a. Représenter l’allure de la fonction d’onde propre pour les 3 premiers niveaux d’énergie
d’une particule quantique dans un puits de potentiel infiniment profond, de largeur a.
b. En déduire dans chaque cas l’expression de la longueur d’onde de De Broglie en fonction
de a.
c. En généralisant, trouver l’expression de l’énergie En du nième niveau en fonction de n, m, a
et ℏ.
15. Émission d’un photon
Un électron est confiné dans un puits de potentiel quantique formé par une couche de GaAs
(matériau semi-conducteur) prise en « sandwich » entre deux couches de GaAlAs.
Pour déterminer les états stationnaires de l’électron, on considère une particule quantique de
masse m*e = 0,067 me (me = 9,1.10–31 kg est la masse d’un électron) évoluant dans un puits de
potentiel infini de largeur a = 3,0 nm.
On considère la transition du niveau d’énergie n = 2 au niveau d’énergie fondamental n = 1.
Déterminer la longueur d’onde de la radiation émise lors de cette transition.
La situer dans le spectre électromagnétique.
16. Courant tunnel
Un faisceau d’électrons, correspondant à une intensité I = 0.1 mA, est envoyé sur une barrière
de potentiel de largeur d = 1,0 nm et de hauteur V0 = 2 eV. L’énergie cinétique d’un électron
incident est E = 1,0 eV.
a. Peut-on se placer dans l’approximation de la barrière épaisse ?
b. Estimer l’intensité du courant tunnel qui émerge de l’autre côté de la barrière.
c. Toutes choses égales par ailleurs, on remplace les électrons par des protons. Déterminer
la nouvelle valeur de l’intensité du courant tunnel qui émerge de l’autre côté de la barrière.
17. Marche de potentiel
On étudie le mouvement d’une particule quantique dans le potentiel V(x) (marche de potentiel)
représenté sur la fig. 4 et défini par V(x) = 0 pour x < 0 (région I) et V(x) = V0 (avec V0 > 0) pour
x ≥ 0 (région II).
On envisage le cas d’une particule quantique incidente d’énergie E > V0.
2m (E − V0 )
2mE
On pose k1 =
et k2 =
.
ℏ
ℏ
a. Montrer qu’un état stationnaire de la particule peut être représenté par la fonction d’onde
propre ϕ(x) = A.exp(ik1x) + r.A.exp(– ik1x) pour x < 0 (région I) et par ϕ(x) = t.A.exp(ik2x)
pour x ≥ 0 (région II), A étant une constante non nulle.
b. Écrire la condition de raccordement en x = 0 et en déduire les expressions de r et t.
Examiner le cas où E >> V0 et commenter.
c. En superposant les états stationnaires d’énergies voisines de E, on forme un paquet
d’ondes représentant une particule quantique incidente. La fig. 4 représente l’évolution
dans l’espace et dans le temps de ce paquet d’ondes. La zone grisée correspond à la
région II. Le temps s’écoule « du haut vers le bas » sur la figure.
Commenter aussi précisément que possible ces graphes.
d. Dans la situation où E < V0, l’expression de la fonction d’onde propre de la région I peut
être conservée. Expliquer cependant comment est modifié k2 et par suite, le coefficient r.
En déduire alors l’expression de la probabilité de réflexion R de la particule. Commenter.
18. Enrichissement isotopique Cet exercice utilise les résultats de l’exercice 17.
On étudie le mouvement d’une particule quantique dans le potentiel V(x) (marche de potentiel)
défini par V(x) = 0 pour x < 0 (région I) et V(x) = V0 (avec V0 > 0) pour x ≥ 0 (région II).
Une source envoie, depuis – ∞, un faisceau de particules quantiques, constitué d’un mélange
de deux isotopes. On souhaite utiliser le phénomène de réflexion sur une marche de potentiel
pour modifier la composition isotopique du mélange.
a. Expliquer pourquoi il est nécessaire que l’énergie E des particules quantiques soit
supérieure à la hauteur de la marche de potentiel V0 si l’on veut modifier la composition
isotopique du mélange. Prévoir qualitativement si le faisceau réfléchi est plus riche ou plus
pauvre en isotope de plus grande masse.
b. Les particules quantiques ont une masse m et une énergie E > V0. En reprenant les
résultats de l’exercice précédent, déterminer la probabilité de réflexion R d’une particule
quantique par la marche de potentiel. Représenter l’allure de R en fonction de E pour
E > V0. Compléter ce graphe en représentant aussi R pour E < V0.
On se place désormais dans le cas où E >> V0.
c. Donner l’expression approchée de R correspondant à cette limite.
d. On note m1 et m2 les masses des deux isotopes qui forment le faisceau de particules
quantiques incidentes. Toutes ces particules quantiques sont envoyées avec la même
vitesse. Expliquer pourquoi les coefficients de réflexion R1 et R2 diffèrent pour les deux
m
isotopes et exprimer le rapport R1/R2 en fonction du rapport des masses 1 .
m2
e. Le faisceau réfléchi est-il enrichi en isotope le plus lourd ou le plus léger ?
19. Étoile à neutrons
Une étoile à neutrons se forme à la suite de l’explosion d’une supernova (forme ultime de
l’évolution d’une étoile très massive). Elle est caractérisée par un faible diamètre (de l’ordre de
la dizaine de kilomètres) et une masse comparable à celle du Soleil. Il en résulte qu’elle forme
un astre très dense.
On considère une étoile à neutrons de masse M = 2,0.1030 kg, exclusivement constituée de
neutrons de masse m = 1,7.10–27 kg. On suppose que la densité de neutrons est uniforme à
l’intérieur d’une étoile, qui est assimilée à une sphère de rayon R. Les neutrons forment un gaz
de particules quantiques sans interactions.
a. Calculer le nombre N de neutrons dans l’étoile.
b. On admet que l’énergie cinétique de chaque neutron peut être évaluée en supposant qu’il
V
est confiné dans un volume , où V est le volume de l’étoile. Exprimer l’échelle de
N
longueur caractéristique du confinement d’un neutron en fonction de V et N.
c. En déduire que l’énergie cinétique totale des neutrons s’écrit, à une constante
5
ℏ 2N 3
multiplicative près, sous la forme suivante Ec ≈
.
mR 2
d. Du fait de l’attraction universelle que les neutrons exercent entre eux, l’étoile possède une
énergie de cohésion gravitationnelle Eg qui s’exprime simplement en fonction de la
constante de gravitation universelle G, de sa masse M et de son rayon R.
Déterminer, par analyse dimensionnelle, une expression de Eg (à une constante
multiplicative près). On précisera le signe à donner à Eg.
e. Représenter l’allure de l’énergie totale de l’étoile E = Ec + Eg et montrer qu’il existe un
rayon d’équilibre stable pour l’étoile. Calculer ce rayon d’équilibre et en déduire la masse
volumique de l’étoile.
f. Comparer cette masse volumique à celle d’un noyau atomique, qu’on peut assimiler à une
distribution de masse sphérique uniforme et de rayon r = r0A1/3 où A est le nombre de
nucléons du noyau et r0 = 1,2.10–15 m.
20. Puits infini : état non stationnaire
On étudie l’évolution d’une particule quantique, de masse m, piégée dans un puits de potentiel
infini de largeur a : V(x) = 0 pour 0 < x < a et V(x) → ∞ en dehors de cet intervalle.
On considère un état stationnaire de la particule quantique, d’énergie En, associé à une
x
2
fonction d’onde propre de la forme ϕn(x) =
sin(nπ ) où n = 1, 2, 3, …
a
a
a. Donner la valeur de l’énergie En. On pose E1 = ℏω0.
Exprimer ω0 en fonction de a, m et ℏ. Exprimer ensuite En en fonction de n, ℏ et ω0.
b. On considère l’état décrit par la fonction d’onde Ψn(x,t) telle que Ψn(x,t = 0) = ϕn(x).
Donner l’expression de Ψn(x, t) pour t > 0.
On considère maintenant l’état décrit par la fonction d’onde Ψn(x,t) telle que
1
Ψn(x, t = 0) =
[ϕ1(x) + ϕ2(x)].
2
c. En utilisant les résultats précédents, donner l’expression de Ψ(x,t) pour t > 0.
d. On définit les deux états suivants :
1
1
ϕg(x) =
[ϕ1(x) + ϕ2(x)]
ϕd(x) =
[ϕ1(x) – ϕ2(x)].
2
2
Exprimer Ψ(x,t) en fonction de ϕd(x) et ϕg(x).
En déduire l’expression de la densité de probabilité de présence P(x,t) = |Ψ(x,t)|2.
Montrer qu’elle oscille à une fréquence ν que l’on exprimera en fonction de ω0 et h, puis
en fonction de E1, E2 et h.
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4