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Les postulats de la mécanique quantique (non relativiste)
Postulat 1 : Notion de fonction d’onde
Un système physique sera complètement décrit par la connaissance de la fonction d’onde Ψ ( r , t ) (pour un système
à une particule) ou plus généralement par Ψ ( r1 , r2 ,...rN , t ) pour un système à N particules. Il s’agit d’une fonction à
valeur complexe.
Postulat 2 : Interprétation de la fonction d’onde
2 Ψ ( r , t ) d3 r représente la probabilité de trouver la particule au point r dans le volume d 3 r .
2 Plus généralement, Ψ ( r1 , r2 ,...rN , t ) d 3 r1 d 3 r2 ... d 3 rN représente la probabilité de trouver la particule 1 au point r1
dans le volume d 3 r1 , ainsi que la particule 2 au point r2 dans le volume d 3 r2 etc …
2 Conséquence : Normalisation des fonctions d’onde :
Ψ( r , t) d3 r = 1
∫∫∫
soit encore < Ψ I Ψ > = 1 , au sens du produit scalaire : < Ψ I Φ > =
∫∫∫
Ψ( r , t) Φ( r , t) d3 r
Postulat 3 : Mesure et Opérateurs
Toute grandeur physique mesure A est décrite par un opérateur linéaire et hermitique A agissant sur l’espace des
fonctions d’onde (appelé observable). La mesure de A ne peut donner comme résultat qu’une valeur propre de
l’opérateur A (Principe de quantification).
(Hermitique signifie ayant la propriété suivante : < Ψ I A I Φ > = < Φ I A I Ψ > )
• certaines grandeurs physiques n’ont pas d’équivalent classique, comme le spin.
• Il n’existe pas de règles systématiques pour déterminer A connaissant la grandeur physique classique Ac
correspondante A c ( r , p, t ) : seule la confrontation aux résultats expérimentaux permet de valider la forme
prise par A. A doit néanmoins satisfaire au principe de correspondance, c’est à dire que les résultats
obtenus à partir de A doivent tendre vers le comportement classique prédit par Ac « en limite classique ».
Postulat 4 : Principe de décomposition spectrale
A étant hermitique, ses vecteurs propres forment une base orthogonale de l’espace des fonctions d’onde, qui l’on
supposera normée. La probabilité de mesurer la valeur propre an de A lorsque le système est dans l’état Ψ ( r , t ) est
donnée par :
2
•
< ϕn I Ψ >
si ϕn ( r , t ) est l’unique vecteur propre de A de valeur propre an
(valeur propre non dégénérée)
N(n)
•
∑
< ϕi I Ψ >
2
si la valeur propre an admet N(n) vecteurs propres ϕi ( r , t )
i =1
(L’ensemble des vecteurs propres de an forme un sous espace vectoriel, appelé espace propre de la valeur propre an).
Postulat 5 : Réduction du paquet d’onde
Si le résultat de la mesure de A dans un état quelconque Ψ ( r , t ) est an, alors l’état du système immédiatement après
la mesure est la projection (renormée) de Ψ ( r , t ) sur l’espace propre de la valeur propre an, c’est à dire :
•
ϕn ( r , t ) lorsque la valeur propre est non dégénérée
•
Φ( r , t ) / < Φ I Φ > dans le cas général, avec Φ( r , t ) =
N(n)
∑ < ϕ I Ψ > ϕ ( r , t) )
i
i
i =1
En conséquence, si on remesure A, on retrouvera le même résultat avec 100 % de chance. Ceci signifie que la
mesure a modifié l’état du système. Ce postulat, bien que toujours validée par l’expérience, a focalisé les critiques
des détracteurs de l’interprétation de Copenhague de la mécanique quantique (Einstein, Schrodinger, De Broglie).
Il a été clarifié par l’étude contemporaine des mécanismes de décohérence.
Postulat 6 : Evolution de l’état d’un système physique, Equation de Schrodinger
L’évolution dans le temps de l’état Ψ ( r , t ) (en l’absence de mesure) est régie par l’équation de Schrodinger :
∂Ψ
i
= H Ψ où H est l’opérateur Hamiltonien du système.
∂t
Contrairement à l’électromagnétisme, la fonction d’onde évolue dans le temps selon une équation différentielle du
premier ordre (non du second). Cela signifie que la donnée de la fonction d’onde à un instant précis, non seulement
décrit les propriétés du système à cet instant, mais également à tous les instants suivants.