loi normale centrée réduite

LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE
I. Notion de loi à densité sur un intervalle borné :
Jusqu'à présent, pour définir une loi de probabilité, il suffisait d'associer à chaque issue la probabilité qui lui
correspondait (la variable aléatoire était discrète). Cela était possible car le nombre d'issues était fini. Il arrive
que la variable aléatoire soit continue, et donc qu'elle prenne une infinité de valeurs (ex : durée de
communications téléphoniques, taille des individus d'une population, durée de vie d'une ampoule …). On ne
peut alors plus attribuer une probabilité à chaque issue (elle serait nulle), mais on s'intéresse à la probabilité que
la variable aléatoire appartienne à un intervalle, (durée de communication entre 1 et 2 min). On dit qu'on définit
une loi de probabilité continue (la variable aléatoire est continue).
1°) Définitions :
Définition :
On appelle fonction de densité de probabilité sur l'intervalle I, toute fonction f continue et positive sur I
telle que l'intégrale de f sur I soit égale à 1.
Dire que P est la loi de probabilité de densité f de X signifie que la probabilité pour que X appartienne à un
b
intervalle [a ; b] de I est égale à l'aire sous la courbe de f sur [a ; b] c'est à dire P(a  X  b) =
∫ f ( x)d x .
a
Exemples :
y
y
y
0,002
1
0,002e-0,002x
0,25
x
x
Fig. 1
x
500
Fig. 2
Fig. 3
Les trois fonctions ci-dessus sont les densités des lois de probabilité des variable aléatoires suivantes :
Fig. 1 : X est un nombre au hasard entre 0 et 1.
Fig. 1 : Y est un nombre au hasard entre 1 et 5.
Fig. 1 : Z est la durée de vie en heures d'une ampoule d'un certain modèle.
2°) Conséquences :
Conséquences :
1- Pour tout nombre c, P (X = c) = 0.
2- P(a  X  b) = P(a < X  b) = P(a  X < b) = P(a < X < b).
c
3- Si I = [a ; +∞[ et si c > a, alors P (X > c) = 1 – P (a < X < c) = 1 –
∫t
a
f (t) d t
II. Loi normale centré réduite :
1°) Théorème de Moivre-Laplace (admis)
Théorème :
On suppose que, pour tout entier n, la variable aléatoire Xn suit une loi binomiale b (n ; p).
On pose Z n =
X n−np
√ np(1− p)
, variable centrée et réduite associée à Xn.
b
x
2
1 –2
e dx.
Alors, pour tous réels a et b tels que a < b, on a lim P (a⩽Z n⩽b) = ∫
n →+∞
a √2 π
2°) La loi normale centrée réduite :
Définition :
Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite notée n (0 ; 1) si, pour tous réels a et b tels
b
x
−
que a < b, on a P (a  X  b) = ∫ f ( x)d x où f est la fonction définie sur ℝ par f (x) = 1 e 2 .
√2 π
a
2
f est la fonction densité de la loi n (0 ; 1).
Remarque :
f (0) =
1
≈ 0,4.
√2 π
Premières propriétés :
(1) f est continue sur ℝ.
(2) L'aire totale sous la courbe de f est égale à 1. Elle représente la probabilité P (X ∈ ]–∞ ; +∞[).
(3) La fonction f est paire (rappel : cela signifie que pour tout réel x, la fonction f vérifie f (x) = f (–x) et que
sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).
(4) L'aire sous la courbe sur [0 ; +∞[ est égale à 0,5.
(5) Pour tout réel u, P (X  –u) = P (X  u) (en raison de la parité de f).
Représentation graphique de la fonction de densité de la loi normale n (0 ; 1)
Utilisation de la calculatrice :
Sur la TI, lorsque l'on veut calculer P (u  X  v), X étant une variable aléatoire suivant la loi normale
n (0 ; 1), on tape NormalFRép(u,v,0,1), la fonction NormalFRép se trouvant dans le menu distrib (2nde var).
Exemple :
Si l'on veut calculer P (–1  X  1), on tape NormalFRép(-1,1,0,1) et on obtient environ 0,682689
Remarque :
La calculatrice ne donne que P (u  X  v), et non pas P (X  u) ou P (X  v).
Exemple :
Si l'on veut calculer P (X  1,5), on calculera en fait 0,5 – P (0  X  1,5).
Théorème (ROC)
Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale n (0 ; 1), alors pour tout réel  ∈ ]0 ; 1[, il existe un
unique réel positif u tel que P (–u  X  u) = 1 – .
Preuve :
Soit G la fonction définie sur [0 ; +∞[ par G (u) = P (0  X  u).
On a alors P (–u  X  u) = 2 P (0  X  u) = 2 G (u).
G(u) = 0,5
D'après sa définition, G est croissante, G (0) = 0 et ulim
→+∞
2 G (u) = 1.
donc 2G est croissante, 2G (0) = 0 et ulim
→+∞
On obtient donc le tableau de variations suivant :
x
2G (x)
0
+∞
1
0
Comme 0    1, –1  –  0, et donc 0  1 –   1. Donc, d'après le corollaire du théorème des
valeurs intermédiaires, l'équation 2G (x) = 1 –  admet une unique solution sur [0 ; +∞[.
En appelant cette solution u, on a 2 G (u) = 1 –  et donc P (–u  X  u) = 1 – .
Utilisation de la calculatrice :
Sur la TI, lorsque l'on veut calculer u tel que P (X  u) = a, X étant une variable aléatoire suivant la loi
normale n (0 ; 1), on tape FracNormale(a,0,1), la fonction FracNormale se trouvant dans le menu distrib (2nde
var).
Exemple :
Si l'on veut calculer u tel que P (X  u) = 0,6, on tape FracNormale(0.6,0,1) et on obtient environ 0,2533.
IV. Autres propriétés de n (0 ; 1) :
1°) Valeurs approchées à connaître :
La calculatrice et le tableur donnent u tel que P (X  u) = a (a connu)
Si l'on veut u0,05, on tape donc FracNormale(0.025,0,1) et on trouve u0,05 ≈ 1,96 à 10–2 près.
Si l'on veut u0,01, on tape donc FracNormale(0.005,0,1) et on trouve u0,01 ≈ 2,58 à 10–2 près.
Remarque :
u0,05 est le réel pour lequel P (–u0,05  X  u0,05) ≈ 0,95 et on a donc P (–1,96  X  1,96) ≈ 0,95.
De même P (–2,58  X  2,58) ≈ 0,99.
2/ Espérance et variance de la loi n (0 ; 1)
Définition :
Propriété : si X suit la loi n (0 ; 1), alors l'espérance de X est définie par
0
E (X) = lim
∫t
x→−∞ x
y
f (t )d t + lim ∫ t f (t )d t .
y→+∞ 0
L'espérance d'une variable aléatoire X suivant n (0 ; 1) est nulle (la démonstration sera faite au cours 17).
La variance de X est définie par V (X) = E ( ( X − E( X ) )
2
)
et on admet qu'elle vaut 1.