TD n°1

CAPES 2006–2007
Electrocinétique
TD n˚1
Exercice 1 : Vitesse moyenne des porteurs de charge.
Le cuivre a pour masse molaire M = 63.54 g.mol−1 et pour masse volumique µ = 8.8 103 kg.m−3 .
1. Calculer le nombre n d’atome de cuivre par unité de volume.
2. En admettant que le nombre d’électrons par unité de volume, assurant la conduction, soit égal
à n, calculer la vitesse moyenne < v > de ces électrons correspondant à un courant de 10 A
circulant dans un fil de section droite s = 1 mm2 .
On donne : NA = 6.02 1023 , e = 1.6 10−19 C.
Exercice 2 : Modèle macroscopique de conduction.
Pour interpréter le courant électrique constant qui traverse un métal soumis à un champ électrique
~ 0 on admet que l’action des ions positifs du réseau peut être modélisée comme une force
constant E
de frottement visqueux du type f~ = −λ~v où ~v désigne la vitesse du porteur de charge. On désigne
par N la densité de porteurs de charges, q leur charge, m leur masse.
1. Quels sont les porteurs de charge dans un métal ? Donner les valeurs numériques de q et m
pour ces porteurs.
2. Déterminer la loi v(t) dans le cadre du modèle envisagé (modèle macroscopique).
On rappelle que dans un modèle microscopique de conduction, la vitesse moyenne des porteurs
~ 0 où τ désigne la durée moyenne entre
(vitesse d’entraînement) est donnée par < ~v >= qτ /mE
deux chocs subis par les porteurs de charge.
3. Donner l’expression de la conductivité (dite statique) du métal en fonction de N, m, q, et τ .
4. Donner le lien entre le coefficient λ et la durée τ introduite dans le modèle microscopique.
Quelle signification τ a-t-elle dans le modèle macroscopique ?
~ =E
~ 0 cos(ωt).
Le métal est maintenat soumis à un champ électrique alternatif E
5. Déterminer l’expression de la conductivité (dite complexe) du métal en fonction de N , m, q, ω,
λ. Retrouver la limite statique.
6. Quelle est la fréquence limite au delà de laquelle le module de la conductivité dynamique diffère
de plus de 0.1% de la conductivité statique ? A.N. pour le cuivre caractérisé par τ = 2.5 10−14 s.
7. Pour quelle fréquence le courant est-il en quadrature de phase avec le champ électrique ?
Exercice 3 : Loi d’échauffement d’un conducteur.
Un fil de fer cylindrique de section S = 0.25 mm2 , de longueur L = 1 m, de masse volumique
̺ = 8 g/cm3 et de chaleur massique c = 460 J.kg−1 .K−1 (indépendante de la température), possède
une résistivité qui varie linéairement avec la température θ, exprimée en degré Celsius : ρ = ρ0 (1+αθ).
On donne ρ0 = 1.25 10−7 USI et α = 5. 10−3˚C−1 .
Une partie de la chaleur apportée par effet Joule est rayonnée dans le milieu ambiant avec une
puissance proportionnelle à la surface latérale S du conducteur et à sa température : P = kSθ avec
k = 50 W.m−2 .˚C−1 . Initialement la température du fil est θ(0) = 0˚C.
1. En quelle unité s’exprime la résistivité ρ ?
On considère les deux situations suivantes :
- un courant d’intensité I parcourt le fil.
- un générateur de tension idéal maintient entre les extrémités du fil une tension constante U .
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2. Etablir dans les deux cas l’équation différentielle déterminant le comportement de θ.
3. Donner la loi d’échauffement θ(t). On négligera le terme en facteur de α dans le second cas.
4. Monter qu’un régime permanent s’établit et trouver alors la température d’équilibre en fonction
des données du problème. Faire l’application numérique.
Exercice 4 : Application du théorème de Thévenin.
1. Déterminer le générateur de Thévenin équivalent au réseau suivant entre les points A et B.
A
R1
e1
R2
R4
e3
R3
e2
B
A.N. e1 = e2 = e3 = 30 V, R1 = R2 = R4 =10 Ω, R3 =20/3 Ω.
2. On place entre A et B un moteur à courant continu (récepteur) de f.c.é.m e′ = 20 V en série
avec une résistance R = 50 Ω. Déterminer
– le sens de polarisation du récepteur,
– l’intensité du courant dans le récepteur,
– l’énergie utilisée par le moteur durant deux heures.
Exercice 5 : La nature fait bien les choses.
On suppose inconnue la loi d’Ohm U = Ri et on définit la résistance électrique d’un dipôle résistif
par l’expression de la puissance P = Ri2 qui y est dissipée par effet Joule lorsque R est traversée
par un courant constant d’intensité i. On envisage un dipôle constitué de deux résistances montées
en parallèle, nourri par un courant total i. Montrer que la puissance totale dissipée par effet Joule
passe par un minimum pour une valeur du courant i1 traversant R1 que l’on interprètera.
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