Signaux physiques Sommaire 1 Dualité onde

Lycée Newton - PTSI
S7 - Ouverture sur la physique quantique
Signaux physiques
Chapitre 7 : Ouverture sur la physique quantique
Sommaire
Page
1 Dualité onde-corpuscule
1.1 Nature ondulatoire de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 L’effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Description de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Observations expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Interprétation du potentiel d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Incohérences de l’interprétation classique . . . . . . . . . . .
1.2.5 L’hypothèse d’Einstein sur la quantification du rayonnement
1.2.6 Le photon pour expliquer l’effet photoélectrique . . . . . . . .
1.3 Retour sur l’expérience des fentes d’Young . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Les ondes de matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Notion de fonction d’onde
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 description quantique d’une particule : le paquet d’onde
2.3 Relation d’indétermination de Heisenberg . . . . . . . .
2.4 Puits rectangulaire infini . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Situation classique . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Approche quantique qualitative . . . . . . . . . .
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A la fin du xixe siècle, les phénomènes physiques sont décrits par deux théories : la mécanique de Newton (1687)
et l’électromagnétisme de Maxwell (1864). Elles constituent ce que l’on appelle la physique classique. Les lois de la
physique sont alors déterministes : étant donné un ensemble de conditions initiales, l’évolution d’un système physique
est parfaitement déterminée et à un ensemble de causes correspond toujours les mêmes conséquences.
Un ensemble de faits expérimentaux sont venus remettre en cause la vision alors acceptée. On peut citer l’effet photoélectrique, le spectre du rayonnement du corps noir ou encore les raies de l’hydrogène. Pour expliquer ces
phénomènes, il a fallu remettre en cause les paradigmes de l’époque et élaborer une nouvelle théorie : la physique
quantique.
1
Dualité onde-corpuscule
1.1
Nature ondulatoire de la lumière
Les physiciens ont longtemps débattu de la nature de la lumière : tandis que certains la représentaient constituée
de corpuscules de lumière parfaitement localisés, d’autres la décrivait comme une onde se répartissant continuement
dans l’espace. Au xviiie siècle, les phénomènes de diffractions et d’interférences ont clairement mis en évidence le
caractère ondulatoire de la lumière :
• lorsqu’on essaie de limiter l’étendue spatiale d’une onde en la faisant passer par un trou ou une fente, l’onde a
tendance à s’étaler spatialement : c’est le phénomène de diffraction :
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Huygens est le premier à avoir émis l’hypothèse de la nature ondulatoire de la lumière et sa description permet
d’expliquer le phénomène de diffraction : chaque point d’une surface d’onde peut être considéré comme une
source secondaire, et la surface d’onde à un instant postérieur est l’enveloppe des surfaces d’onde provenant de
cette infinité de sources secondaires. Ceci est illustré par le schéma suivant (a) :
Quand l’onde plane arrive sur une ouverture de taille d, une partie des sources secondaires est supprimée. Il
y en aura d’autant moins que la longueur d sera petite par rapport à λ. Un calcul de deuxième année nous
permettra d’estimer l’angle θ caractérisant la divergence de l’onde plane après le passage d’une fente de largeur
d:
λ
sin θ '
(1)
d
• lorsqu’on envoie une onde sur une paroi séparée de deux fentes assez fines, l’onde diffracte au travers des deux
fentes. Dans le cas d’ondes lumineuses, on distingue dans la zone atteinte par les deux ondes issues des deux
fentes une alternance de franges sombres et claires. C’est le phénomène d’interférences.
Cette obeservation expérimentale peut se comprendre en considérant les amplitudes a1 (M ) et a2 (M ) des ondes
émises par les deux fentes et considérées en un point M :
a1 (M ) = A0 cos(ωt − φ1M )
(2)
a2 (M ) = A0 cos(ωt − φ2M )
(3)
où φ1M et φ2M sont les déphasages résultant de la propagation des deux ondes vers le point M . L’onde résultante
a(M ) en un point M s’écrit alors comme la somme des deux ondes qui sont passées par chacun des fentes :
a(M ) = a1 (M ) + a2 (M )
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En optique, les détecteurs sont sensibles non pas à l’amplitude a(M ) mais à la moyenne temporelle de son carré
appelée intensité lumineuse I(M ), définie à partir de a(M ) de la façon suivante :
I(M ) = 2ha(M )2 i
(5)
I(M ) = 2h(a1 (M ) + a2 (M ))2 i = 2ha1 (M )2 i + 2ha2 (M )2 i + 4ha1 (M )a2 (M )i
(6)
I(M ) = 2I0 + I12 (M )
(7)
On peut donc écrire :
avec I0 (M ) l’intensité observée si une seule fente laissait passer la lumière. Le terme I12 (M ), appelé terme
interférentiel, rend compte du phénomène ondulatoire. Un calcul simple de deuxième année montre qu’il est
directement relié au déphasage entre les deux ondes :
I12 = 2I0 cos(φ2M − φ1M )
(8)
I(M ) = 2I0 (1 + cos(φ2M − φ1M ))
(9)
si bien que :
Si les deux ondes sont en opposition de phase en M (φ2M − φ1M = π), la somme des deux ondes est nulle :
on parle d’interférences destrutives et on n’observe aucune lumière en ce point, ce qui correspond à une frange
sombre (intensité nulle). En revanche, si elles sont en phase (φ1M = φ2M ), les deux ondes s’ajoutent, et on
obtient des interférences contructives, ce qui correspond aux franges brillantes (intensité 4I0 ) :
a1 (M, t)
a1 (M, t)
t
a2 (M, t)
t
a2 (M, t)
+
+
t
t
=
=
a(M, t)
a(M, t)
t
t
Les travaux de Maxwell ont ensuite conduit à considérer la lumière comme une onde électromagnétique. Là
encore, il apparaît comme clairement établi que la lumière correspond à un phénomène ondulatoire. A la fin du
xixe siècle pourtant, deux expériences ne pouvaient pas être expliquées dans ce cadre : il s’agit du rayonnement
produit par un four chauffé à haute température (rayonnement du corps noir) ainsi que l’effet photoélectrique.
1.2
L’effet photoélectrique
En 1886, le physicien Hertz met en évidence un nouveau phénomène : des électrons peuvent être arrachés d’une
plaque métallique lorsque celle-ci est soumise à un rayonnement électromagnétique : c’est l’effet photoélectrique.
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1.2.1
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Description de l’expérience
Figure 1 – Dispositif d’étude de l’effet photoélectrique et résultats expérimentaux
L’expérience de base pour l’étude de cet effet est schématisée à gauche de la figure précédente. Un vide poussé
est réalisé dans une enceinte renfermant une cathode C, constituée d’un matériau que l’on veut étudier et d’une
anode A. Un rayonnement lumineux monochromatique est introduit dans le dispositif sur la cathode (aussi appelée
photocathode). Une différence de potentiel V = VC − VA est appliquée entre la cathode et l’anode, et le dispositif
est construit de telle sorte que V puisse varier et prendre des valeurs positives ou négatives. On constate alors,
dans certaines configurations, l’apparition d’un courant i dans le circuit : la lumière peut, dans certains cas, extraire
des électrons (aussi appelés photoélectrons) de la cathode qui sont captés ensuite par l’anode. En faisant varier la
différence de potentiel, on peut tracer la caractéristique i(V ) du dispositif.
1.2.2
Observations expérimentales
• En variant la différence de potentiel V , on fait les constatations suivantes :
– Si V > 0, le potentiel de l’anode est supérieur au potentiel de la cathode. Un champ électrique E est créé,
dirigé de l’anode vers la cathode. Les électrons sont donc soumis à une force F = −eE dirigée vers l’anode.
A partir d’une certaine tension V , tous les électrons émis atteignent l’anode et on est alors dans une situation de saturation : une augmentation de la tension ne modifiera pas le courant créé. Le nombre d’électrons
arrachés au métal dépend de l’intensité lumineuse I. Les deux caractéristiques représentées sur la figure (1)
correspondent à deux intensités lumineuses distinctes I2 > I1 .
– Si V = 0, malgré l’absence de forces s’exerçant sur les électrons émis, certains d’entre eux ont une énergie
cinétique suffisante à l’extraction pour atteindre l’anode. Un courant s’installe dont l’intensité ne dépend que
de l’intensité du rayonnement lumineux.
– Si V < Vs < 0, plus aucun courant ne circule. Le potentiel d’arrêt Vs ne dépend pas de l’intensité lumineuse.
• Il existe un seuil en fréquence. En 1914, Robert Millikan montra expérimentalement qu’en dessous d’une
fréquence limite ν0 , il n’y a pas d’effet photoélectrique et qu’au delà le potentiel d’arrêt est une fonction affine
de la fréquence :
Vs = α(ν − ν0 )
(10)
• L’effet est immédiat. On constate qu’il n’y a pas de décalage temporel entre l’arrivée de la lumière et l’éjection
des photoélectrons. En fait, on constate expérimentalement que, s’il existe, ce retard est inférieur à 10−9 s.
1.2.3
Interprétation du potentiel d’arrêt
Le potentiel V = Vs est négatif, la force qu’il exerce sur les électrons (de charge q = −e négative) fournit un
travail résistant qui tend à les freiner : leur vitesse décroît depuis leur départ de la cathode, tout comme leur énergie
cinétique Ec . En négligeant leur poids devant la force électrostatique qu’ils subissent, l’énergie potentielle Ep de chaque
électron est purement électrostatique, leur énergie mécanique Em = Ec + Ep est conservée car il n’y a pas de forces
dissipatives. Au départ de la cathode, l’énergie cinétique est maximale, et l’énergie potentielle minimale, nulle si l’on
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prend l’origine en ce point. Au niveau de la cathode, nous avons donc Em = Ec . Le fait que le courant s’annule dès que
V < Vs indique que dans cette limite, les électrons sont suffisamment ralentis sur leur trajet pour qu’ils rebroussent
chemin avant de pouvoir atteindre l’anode. Le potentiel Vs correspond donc à la situation où les électrons les plus
rapides atteignent l’anode avec une vitesse nulle. Ces électrons sont donc ceux qui ont été émis avec la plus grande
vitesse que l’on notera vmax , leur énergie cinétique initiale est donc :
Ec,max =
1
mv 2
2 max
(11)
Cette valeur est donc aussi celle de leur énergie mécanique tout au long de leur trajet :
Em =
1
mv 2
2 max
(12)
Parvenant à l’anode, ces électrons n’ont plus d’énergie cinétique et leur énergie potentielle est exactement :
Ep = −eVs > 0
(13)
La conservation de l’énergie mécanique implique donc :
− eVs =
1
mv 2
2 max
(14)
On a ainsi :
2
mvmax
Ec,max
=−
(15)
2e
e
Le potentiel Vs est donc directement relié à l’énergie cinétique maximale que peut avoir un électron émis par la
cathode lorsque celle-ci est soumise au flux lumineux.
Vs = −
1.2.4
Incohérences de l’interprétation classique
L’interprétation classique du phénomène considérait que sous l’influence du rayonnement, les électrons se mettent
à vibrer et peuvent alors s’échapper lorsqu’ils possèdent assez d’énergie pour s’échapper. Cette explication a très
rapidement montrer ses limites en mettant à jour des incohérences importantes. En effet, l’interprétation classique
est :
• incapable d’expliquer pourquoi le potentiel d’arrêt est indépendant de l’intensité lumineuse :
Si l’intensité lumineuse augmente, l’énergie communiquée aux électrons augmente. Une partie ce cette énergie
sera utilisée pour extraire les électrons, et une autre sera communiquée à ces électrons arrachés, augmentant
ainsi leur énergie cinétique. L’interprétation du potentiel d’arrêt indique donc, dans le raisonnement classique,
que celui-ci doit augmenter avec l’intensité lumineuse, en contradiction avec l’observation.
• incapable d’expliquer la fréquence de seuil :
La fréquence de la lumière ne joue aucun rôle dans la description classique de l’effet photoélectrique : il suffit
que l’intensité soit suffisante pour communiquer l’énergie nécessaire à l’électron afin qu’il soit arraché.
• incapable d’expliquer l’émission instantanée :
Dans un raisonnement classique conférant une surface à l’électron, supposons qu’il absorbe de l’énergie à travers
la petite suface qu’il présente à a lumière incidente. Si l’intensité de la lumière devient faible, il suffira d’attendre
suffisamment longtemps afin qu’il puisse absorber l’énergie nécessaire pour pouvoir être arraché.
1.2.5
L’hypothèse d’Einstein sur la quantification du rayonnement
C’est en 1905 qu’Einstein proposa son hypothèse sur la quantification du rayonnement, c’est-à-dire 9 ans avant
les expériences de Millikan.
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L’émission et l’absorption d’un rayonnement de fréquence ν se font par l’intermédiaire de « quanta »
d’énergie appelés photons. L’énergie E d’un photon est donné par la relation de Planck-Einstein :
E = hν
(16)
où h est une constante, appelée constante de Planck et introduqu en 1900 par celui-ci pour expliquer
certaines propriétés du rayonnement du corps noir :
h = 6,626 × 10−34 J.s
(17)
Rq : le nom moderne de photon a été choisi en 1926 par le chimiste gilbert N. Lewis.
En conclusion, la lumière peut être vue comme un flux de particules.
1.2.6
Le photon pour expliquer l’effet photoélectrique
Le photon est entièrement absorbé par un électron lors de l’effet photoélectrique. L’électron gagne alors son
énergie, soit E = hν. Si celle-ci est suffisante, l’électron pourra l’utiliser afin de s’extraire de la cathode avec une
énergie cinétique Ec . Pour pouvoir se libérer du matériau qui le confine naturellement, l’électron devra fournir une
énergie d’extraction W qui dépend de ce matériau et de l’électron considéré (les électrons ne sont pas tous retenus
de la même façon). L’application du principe de conservation de l’énergie conduit à la loi de l’effet photoélectrique :
Ec = hν − W
(18)
Pour les életrons retenus le moins fortement, le travail d’extraction est minimal et leur énergie cinétique est donc
maximale. En notant W0 le travail d’extraction minimal et Ec,max l’énergie cinétique maximale, l’application de la
loi de l’effet photoélectrique aux électrons les plus faiblement retenus donne :
Ec,max = hν − W0
(19)
Pour un même matériau, cette énergie cinétique maximale ne dépend que de la fréquence du rayonnement. Les contradictions sont alors levées :
• L’énergie cinétique des électrons émis n’augmente pas avec l’intensité lumineuse. En effet, augmenter l’intensité
revient à augmenter le nombre de photons et donc à augmenter le nombre d’électrons arrachés. L’énergie des
électron émis reste la même.
• En dessous d’une fréquence limite ν0 , il n’y a plus d’effet photoélectrique. En effet, en posant hν0 = W0 , si
ν < ν0 , il ne peut y avoir d’effet photoélectrique, les électrons ne pouvant être arrachés à la matière.
• Il n’y a pas de retard observable entre l’arrivée de la lumière et l’éjection du photoélectron. L’énergie E = hν est
apportée instantanément à l’électron ; elle ne s’accumule pas comme le prévoit l’interprétation classique. Dès
que le photon est absorbé, l’électron est émis si l’énergie est suffisante (hν > W ).
La dépendance affine de Vs par rapport à la fréquence s’explique aussi simplement :
− eVs = Ec,max = hν − W0 = h(ν − ν0 )
(20)
soit :
h
(ν − ν0 )
(21)
e
Si on détermine |Vs | pour différentes fréquences, on obtient une droite de coefficient directeur h/e, résultat conforme
aux mesures expérimentales.
|Vs |=
Conscient de l’aspect révolutionnaire de son interprétation, Einstein fit preuve de prudence dans la rédaction de
son article. L’intitulé de celui-ci : « Sur un point de vue heuristique concernant la production et la transformation de la
lumière » montre qu’il proposait des pistes de réflexions nouvelles plutôt qu’une vision ferme de la nature de la lumière.
Einstein reçut le prix Nobel en 1921 pour « ses services à la physique théorique, et spécialement pour sa
découverte de la loi de l’effet photoélectrique ». Les commentaires du jury montre que son interprétation en terme de
quanta de lumière ne fut pas acceptée immédiatement. Seule la loi qui découlait de son modèle a été récompensée.
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1.3
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Retour sur l’expérience des fentes d’Young
Imaginons que l’on reproduise l’expérience des fentes d’Young en réduisant très fortement l’intensité lumineuse
de la source éclairant les fentes et en plaçant un capteur à mémoire au niveau de l’écran. On observe une successions
d’impacts parfaitement localisés. Ceci met en évidence l’aspect corpusculaire de la lumière. En effet, si la lumière
était une onde, on s’attendrait à voir celle-ci se répartir sur l’ensemble de l’écran, de telle manière qu’il se formerait
une figure d’interférences de faible intensité.
Cependant, au bout d’un temps suffisamment long, les impacts successifs des différents photons reconstituent la
figure d’interférences (figure (d)), mettant ainsi en évidence la nature ondulatoire de la lumière.
Ce double aspect constitue ce que l’on appelle la dualité onde-corpuscule de la lumière. L’interprétation de cette
propriété de la lumière fait intervenir la notion de fonction d’onde. Ce point fera l’objet de la section 2.
1.4
Les ondes de matière
Dans la conception corpusculaire du photon, on peut définir son impulsion par la relation (admis) :
p=
E
hν
=
c
c
(22)
En notant λ la longueur d’onde du rayonnement lumineux vue comme une onde de fréquance ν, l’impulsion du photon
s’écrit sous la forme :
h
p=
(23)
λ
Dans sa thèse de doctorat en 1924, Louis De Broglie postula que la relation (23), réservée depuis 1905 au photon,
est en fait applicable à tous les types de particules. Selon cette hypothèse, une particule de matière d’impulsion
p possède des propriétés ondulatoires caractérisées par une longueur d’onde λdB appelée longueur d’onde de De
Broglie :
h
λdB =
(24)
kpk
Alors que le postulat d’Einstein confère à la lumière, qui est classiquement une onde, un caractère corpusculaire,
celui de De Broglie associe aux particules de matière, qui sont classiquement considérées comme des corpuscules,
un aspect ondulatoire. Des expériences de fentes d’Young réalisés avec des atomes refroidis ont permis de mettre en
évidence l’aspect ondulatoire de la matière :
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2.1
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Notion de fonction d’onde
Définition
Toute particule est décrit par une fonction d’onde ψ dont la valeur ψ(M, t) au point M et à l’instant t correspond
à l’amplitude de densité de probabilité de présence de la particule autour du point M à l’instant t. En notant dP la
probabilité de présence de la particule à l’instant t dans le volume élémentaire dτ autour du point M , on peut écrire :
dP = |ψ(M, t)|2 dτ
(25)
Lors de l’expérience des fentes d’Young, la fonction d’onde ψ(M, t) au point M après les fentes s’écrit comme la
superposition des deux fonctions d’onde ψ1 (M, t) et ψ2 (M, t) associées aux deux chemins possibles :
ψ(M, t) = ψ1 (M, t) + ψ2 (M, t)
(26)
La probabilité de présence dP (M ) en un point M de l’écran s’écrit donc :
dP (M ) = |ψ(M, t)|2 dτ = |ψ1 (M, t) + ψ2 (M, t)|2 dτ
(27)
dP (M ) = dP1 + dP2 + 2ψ1 ψ2 dτ
(28)
soit :
où dPi est la probabilité de présence de la particule calculé à partir du chemin relatif à la fente i uniquement et où
2ψ1 ψ2 dτ correspond au terme d’interférences permettant d’expliquer la formation des franges.
Sur la plaque photographique, il se produit ce que l’on appelle une réduction du paquet d’onde, ou une décohérence
de la fonction d’onde : le photon se matérialise, avec une probabilité donnée par la fonction d’onde : élevée à certains
endroits (frange brillante), faible ou nulle à d’autres (franges sombres).
Cette expérience illustre également une caractéristique essentielle de la mécanique quantique : jusqu’à ce qu’une
observation soit faite, la position d’une particule est décrqu en termes d’ondes de probabilité, mais après que la
particule est observée (ou mesurée), elle est décrqu par une valeur parfaitement déterminée.
2.2
description quantique d’une particule : le paquet d’onde
Considérons une particule se déplaçant suivant un axe Ox. Pour la représenter de manière localisé dans l’espace,
nous sommes amenés à construire ce que l’on appelle un paquet d’onde. Il est possible de montrer qu’un paquet d’onde
peut être produit mathématiquement par une superposition d’ondes sinusoïdales de longueurs d’onde et d’amplitude
différentes. La figure suivante montre comment on peut obtenir un paquet d’onde à partir d’un nombre fini de fonctions
sinusoïdales :
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∆λ important
∆λ faible
ψ1 (λ = λ0 − ∆λ)
ψ1 (λ = λ0 − ∆λ)
x
ψ2 (λ = λ0 )
x
ψ2 (λ = λ0 )
+
+
x
ψ3 (λ = λ0 + ∆λ)
x
ψ3 (λ = λ0 + ∆λ)
+
+
x
x
=
=
ψ = ψ1 + ψ2 + ψ3
ψ = ψ1 + ψ2 + ψ3
x
x
∆x
∆x
Ces constructions font apparaître une étendue spatiale ∆x à chaque paquet d’onde. Cette construction va nous
permettre de développer une relation très importante qui découle directement de la dualité onde-corpuscule : la
relation d’indétermination de Heisenberg.
2.3
Relation d’indétermination de Heisenberg
Dans la construction de gauche, l’intervalle ∆λ est faible et l’on voit que le paquet d’onde est faiblement localisé.
On dit que l’indétermination ∆x sur la position est grande. La façon usuelle de présenter cette relation fait intervenir
le nombre d’onde kx caractérisant l’onde se propageant suivant Ox :
kx =
2π
λ
(29)
L’analyse de Fourier montre que pour produire un paquet d’onde de longueur ∆x, on doit combiner des fonctions d’ondes sinusoïdales avec des nombres d’onde compris entre kx0 et kx0 + ∆kx où kx0 est une constante (sans
importance) et avec ∆kx satisfaisant la condition :
∆x∆kx ≈ 1
(30)
On a par ailleurs :
h
px
(31)
h
h
=
kx = h̄kx
λ
2π
(32)
λ=
On peut donc écrire :
px =
où on a introduit la constante de Planck réduite h̄ =
h
2π .
Ainsi :
∆px = h̄∆kx
(33)
∆x∆px ≈ h̄
(34)
soit, en utilisant l’équation (30) :
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Cette relation a été formulé en 1927 par le physicien allemand Werner Heisenberg est appelée relation d’indétermination de Heisenberg. Une faible indétermination sur la position ∆x ' 0 impose une grande indétermination sur
l’impulsion :
∆px −→ ∞
(35)
Et inversement, si l’impulsion est parfaitement déterminée (∆px ' 0), alors la position est fortement indéterminée :
∆x −→ ∞
2.4
(36)
Puits rectangulaire infini
Dans nombres de situations physiques, des particules sont placées dans un puits de potentiel. Le puits le plus
simple est le puits rectangulaire infini. La particule est libre de se déplacer entre x = 0 et x = L, ce qui correspond à
une énergie potentielle nulle. En revanche, la particule ne peut sortir de cet intervalle. En dehors de [0, L], l’énergie
potentielle est infinie :
V
x
0
2.4.1
L
Situation classique
Si on place une particule dans un tel puits avec une vitesse initiale non nulle, la particule va effectuer d’incessants
allers-retours en rebondissant sur les parois.
2.4.2
Approche quantique qualitative
D’un point de vue ondulatoire, les allers-retours de la particuler correspondent à la superposition d’une onde aller
et d’une onde retour de même amplitude. On s’attend donc à trouver une structure d’onde stationnaire.
De plus, la particule ne peut pas être présente à l’extérieur du puits. Cela se traduit par une fonction d’onde
nulle à l’extérieur. L’interprétation de la fonction d’onde en terme d’amplitude de probabilité de présence impose une
contituité et donc les conditions aux limites suivantes :
ψ(x = 0) = ψ(x = L) = 0
(37)
Nous avons déja rencontré une situation très similaire : la corde vibrante dont les deux extrémités on été fixés.
Les solutions forment une onde stationnaires s’annulant aux extrémités. On peut donc s’attendre à des solutions de
la forme :
Å
ã
nπx nπct
(38)
ψ(x, t) = ψ0 sin
sin
L
L
avec n ∈ N ∗ . Représentons les premières solutions :
.
La longueur d’onde de la solution n vaut :
λn =
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2L
n
(39)
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Lycée Newton - PTSI
S7 - Ouverture sur la physique quantique
La quantité de mouvement associée est donnée par la relation de De Broglie :
p=
h
nh
=
λn
2L
(40)
On en déduit alors l’énergie cinétique, en notant m la masse de la particule :
En =
1
n2 h2
p2
mv 2 =
=
2
2m
8mL2
(41)
n2 π 2 h̄2
2mL2
(42)
soit :
En =
Les niveaux d’énergie sont donc quantifiés et augmentent avec n2 . Il est important de noter que la quantification
de l’énergie provient du confinement spatial de la particule. Une particule pouvant accéder à une partie infinie de
l’espace peut posséder des valeurs continues d’énergie.
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