NIVEAU : 1 ère année 1°) Ensembles de nombres
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Résumé du cours
NIVEAU : 1ère année
1°) Ensembles de nombres
:
● IN = {0,1,2,3,4,…} = l’ensemble des entiers naturels
● IN* ={1,2,3,4,…} = l’ensemble des entiers naturels non nuls
●
= {….,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,….} = l’ensembles des entiers relatifs
●
= l’ensemble des nombres rationnels
Un nombre est rationnel s’il peut s’écrire sous la forme
a
avec a
b
b
● D = l’ensemble des décimaux
Un nombre est décimal s’il peut s’écrire sous la forme
a
avec a
10 n
, n
● IR = l’ensemble des nombres réels
On a : IN Z D Q IR
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*
Remarques : Ecriture décimale d’un nombre décimal
Exemple x = 5374179,459
(5374179,459=5 ×1000000+3×100000+7×10000+4×1000+1×100+7×10+9+4×0.1+5×0.01+9×0,001)
2°) Division Euclidienne :
Soient a et b deux entiers naturels tel que b est différent de 0.
Effectuer la division Euclidienne de a par b c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q,r) tels que
a bq r et 0 r q
Exemple :
3°) Diviseur d’un entier naturel
Soient a et b deux entiers naturels tel que b est différent de 0.
a
b est un diviseur de a signifie
signifie il existe un entier naturel c tel que a bc
b
Dans ce cas on dit que a est un multiple de b
4°) Critères de divisibilité :
● Un entier est divisible par 2 s’il est pair.
● Un entier est divisible par 3 si la somme de ces chiffres est divisible par 3.
● Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4.
● Un entier est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5.
● Un entier est divisible par 6 s’ il est divisible par 2 et 3.
● Un entier est divisible par 8 si le nombre formé par les trois derniers chiffres est divisible 8.
● Un entier est divisible par 9 si la somme de ces chiffres est divisible par 9.
● Un entier est divisible par 10 si le chiffre des unités est 0.
● Un entier est divisible par 12 s’il est divisible par 3 et 4.
● Un entier est divisible par 25 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 25.
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4°) PGCD.PPCM
PGCD de deux entiers naturels no nuls : ( le plus grand commun diviseur)
Pour déterminer le PGCD de deux entiers naturels a et b
On décompose a et b en produit des facteurs premiers, le PGCD de a et b est alors le produit de
facteurs premiers communs affectés des plus petites puissances.
PPCM de deux entiers naturels : (le plus petit commun multiple)
Pour déterminer le PPCM de deux entiers naturels a et b.
On décompose a et b en produit des facteurs premiers, le PPCM de a et b est alors le produit de
facteurs premiers communs et non communs affectés des plus grandes puissances.
Remarque : PPCM(a,b) PGCD(a,b) a b avec a et b deux entiers naturels.
Entiers naturels premiers entre eux
Deux entiers naturels sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Fraction irréductible
Soient a et b deux entiers naturels ,
(Autrement on dit que
a
est une fraction irréductible si PGCD(a,b) 1.
b
a
est une fraction irréductible si on ne peut pas la simplifier )
b
5°) Entier naturel premier :
Un entier naturel est premier s’il est différent de 1 et s’il possède exactement deux diviseurs 1 et lui-même.
6°) Ecriture scientifique - Valeur approchée – arrondis :
a) Ecriture scientifique d’un nombre décimal :
Définition : Déterminer l’écriture scientifique d’un nombre décimal signifie l’écrire sous la
forme a 10n avec n
et a est un décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule.
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Exemples :
Nombre (écriture décimale)
Ecriture scientifique
923,2531
9,232531 10 2
0,0002537
2,537 10 4
b) Valeur approchée d’un réel :
Définition : m IR a D n
On a dit que a est une valeur approchée de m à 10 n prés si m a 10n
Remarque :
Une valeur approchée d’un réel à une précision donnée est obtenue en coupant l’écriture avec
la virgule du nombre au rang voulu.
Exemples :
Soit b = 4329,71592
sa valeur approchée au dixième ( 0,1 prés) est 4329,7.
sa valeur approchée au centième ( 0,01 prés) est 4329,71.
sa valeur approchée au millième ( 0,001 prés) est 4329,715.
sa valeur approchée au dizaine ( 10 prés) est 4320.
c) Arrondi d’un nombre réel:
Pour trouver l’arrondi d’un nombre à un rang donné , on conserve les chiffres de l’écriture décimale
de ce nombre jusqu’au rang indiqué
● Si le chiffre d’après est inférieur ou égal à 4 alors l’arrondi est le nombre obtenu
● Si non on ajoute 1 au dernier chiffre conservé.
Exemples :
A = 4329,71592 son arrondi à 0,1 près est 4329,7.
son arrondi à 0,01 près est 4329,72.
son arrondi à 0,001 près est 4329,716.
son arrondi à 10 prés est 4330.
son arrondi à 100 prés est 4300.
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