Correction de la série d`exercices Bobine et dipôle RL

Série d’exercices
Bobine et dipôle RL
Exercice 1 :
On réalise un circuit électrique comportant une bobine d’inductance L et de résistance r, un
conducteur ohmique de résistance R, un générateur de tension de f .é.m. E et interrupteur K.
On donne
L = 210 mH
r =10 Ω
R = 200 Ω
1)
a) Représenter sur le schéma du circuit de la figure 1, les branchements à effectuer pour
visualiser à l’oscilloscope les tensions UAC et UBC ?
b) Quelles grandeurs visualisent les tensions UAC et UBC ?
2)
a) Quelle est la tension aux bornes de la bobine ?
1
b) Etablir l’équation différentielle en i(t) au cours de l’établissement du courant
électrique dans la bobine.
3) Donner en fonction de L, R et r l’expérience de la constante du temps. Calculer sa valeur
en seconde.
4) La courbe de la figure 2 donne les variations de l’intensité i au cours du temps lors de
l’établissement du courant électrique dans la bobine.
Figure 2
En expliquant brièvement la réponse, déduire du graphe :
a) L’intensité maximale I0 du courant à la fin du régime transitoire.
b) La date t à partir de laquelle le régime permanent s’établit.
Déduire la f.é.m. du générateur.
𝑅+𝑟
𝑡
𝐿
5) Soit l’expression : 𝑖(𝑡) = 𝐴(1 − 𝑒 −
)
a) En exploitant la courbe de la figure 2, donner l’expression de A.
b) Déduire l’expression de la tension UL(t) aux bornes de la bobine.
c) Représenter l’allure de la tension UL(t) au cours de l’établissement du courant dans
la bobine.
Exercice 2 :
Un circuit électrique comporte en série :
2
-
Un générateur de tension de f.é.m. E
-
Un résistor de résistance R
-
Un interrupteur k.
-
Une bobine d’inductance L et de résistance r.
Figure 1
A t = 0, on ferme l’interrupteur k et à l’aide d’un oscilloscope branché, on obtient les
oscillogrammes de la figure 2.
Figure 2
1)
a) Quelles sont les tensions visualisées sur les voies (1) et (2) de l’oscilloscope ?
b) A quelles tensions correspondent les courbes (1) et (2) ?
c) Quelle tension permet de suivre l’évaluation de l’intensité au cours du temps ?
2) Etablir l’équation différentielle en i(t)
3
3)
𝑡
a) Vérifier que 𝑖(𝑡) = 𝐼0 (1 − 𝑒 −𝜏 ) est une solution de l’équation différentielle.
b) Quelle est l’expression de la constante du temps 𝜏 de ce circuit ?
c) Déterminer sa valeur graphiquement.
Exercice 3 :
On se propose d’étudier l’établissement du courant dans un dipôle série, comportant une
bobine d’inductance L = 0,5 H et de résistance r et un conducteur ohmique de résistance
R = 20 Ω, lorsque celui-ci est soumis à un échelon de tension de valeur E = 6 V délivrée par
un générateur de tension idéale.
Un oscilloscope à mémoire est branché comme l’indique la figure 1.
Figure 1
A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K et on procède à l’enregistrement.
On obtient l’oscillogramme représenté sur la figure 2.
4
1) Quelle grandeur électrique peut être déterminée à partie de la tension U R(t) ?
2)
a) Explique le retard de l’établissement du courant dans le circuit.
b) Quel est le phénomène qui est à l’origine de ce retard ?
3) Le circuit étudié peut être caractérisé par une constante de temps τ, qui permet d’évaluer
la durée nécessaire à l’établissement du régime permanent dans ce circuit.
a) Etablir l’équation différentielle en i(t) du dipôle RL.
b) Etablir l’expression de l’intensité I0 du courant lorsque le régime permanent est établi.
𝑅
c) Montrer que l’expression de la tension UR en régime permanent est 𝑈𝑅0 = 𝑅+𝑟 . 𝐸
d) Déduire la valeur de la résistance interne r de la bobine.
4) Déterminer la valeur de la constante de temps τ.
5) Calculer la valeur de l’énergie emmagasinée par la bobine à t = 28. 10-3 s.
Exercice 4 :
Pour étudier expérimentalement la réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension, on réalise
un circuit électrique en associant en série :
-
Une bobine d’inductance L et de résistance r ;
-
Un résistor de résistance R ;
-
Un générateur de force électromotrice E = 6V.
5
L’évolution de la tension au cours du temps de la tension aux bornes de la bobine est donnée
𝑑𝑖
par la relation 𝑈𝑏 = 𝑟. 𝑖 + 𝐿. 𝑑𝑡
On enregistre à l’aide d’un système d’acquisition informatisé, l’intensité i du courant qui
traverse la bobine lorsqu’on ferme l’interrupteur K.
Le résultat de l’enregistrement est donné par la courbe ci-dessous :
1)
a) Que peut-on dire de l’effet de la bobine sur l’établissement du courant ?
b) A partir de quelle date le courant induit s’annule dans la bobine ?
c) Quelle est la loi qui permet de déterminer le sens du courant induit ?
d) Comparer le sens du courant principal et celui du courant induit avant de s’annuler.
6
2)
a) Par application de la loi des mailles, établir l’expression de l’intensité I0 du courant en
régime permanent en fonction des grandeurs E, R et r.
b) Montrer que la valeur de la résistance totale du circuit est R + r = 100 Ω.
3)
a) Que caractérise la constante de temps τ ?
b) Déterminer graphiquement la valeur de la constante de temps τ.
En déduire la valeur de L.
4)
a) Etablir l’équation différentielle en i(t).
𝐸
𝑡
b) Vérifier que i(t) = 𝑅+𝑟 (1 − 𝑒 −𝜏 ) est une solution de cette équation différentielle.
5) L’évolution de la tension Ub aux bornes de la bobine ainsi que celle de la tension U R
aux bornes du conducteur ohmique au cours du temps est donnée par le graphe cidessous.
a) Identifier les deux courbes.
b) Pourquoi la courbe 2 ne tend pas vers zéro lorsque t tend vers l’infini ?
c) Déterminer les valeurs des résistances R et r.
d) Représenter l’allure de la courbe donnant les variations de la f.é.m. d’auto-induction
« e » en fonction du temps.
7
Correction de la série d’exercices
Bobine et dipôle RL
Correction exercice 1 :
a)
b)
UAC correspond à la tension E.
UBC correspond à la tension UR.
2)
a) 𝑈𝐿 = 𝑟𝑖 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
b) Appliquons la loi des mailles
𝑈𝐿 + 𝑈𝑅 − 𝐸 = 0
𝑟. 𝑖 + 𝐿.
𝐿
𝑑𝑖
+ 𝑅. 𝑖 = 𝐸
𝑑𝑡
𝑑𝑖
+ (𝑅 + 𝑟 )𝑖 = 𝐸
𝑑𝑡
𝑑𝑖 (𝑅 + 𝑟)
𝐸
+
𝑖=
𝑑𝑡
𝐿
𝐿
8
3)
𝜏=
𝐿
𝑅+𝑟
210. 10−3
𝜏=
= 10−3 𝑠
200 + 10
τ = 10−3 s
4)
a) En régime permanent, l’intensité du courant est maximale et constante
𝐼0 = 60 𝑚𝐴
b) En régime permanent, l’intensité du courant devient constante.
Le régime permanent s’établit lorsque t = 4 ms.
c)D’après l’équation différentielle :
𝑑𝑖 (𝑅 + 𝑟)
𝐸
+
𝑖=
𝑑𝑡
𝐿
𝐿
Sachant qu’en régime permanent, le courant est constant
𝑑𝑖
=0
𝑑𝑡
(𝑅 + 𝑟 )
𝐸
𝐼0 =
𝐿
𝐿
(𝑅 + 𝑟) 𝐼0 = 𝐸
𝐸 = (200 + 10) × 60. 10−3
𝐸 = 12,6 𝑉
5)
a)
𝑅+𝑟
𝑡
𝐿 )
𝑖 (𝑡) = 𝐴(1 − 𝑒 −
𝑅+𝑟
𝑡
𝐿 )
lim 𝑖 (𝑡) = lim 𝐴 (1 − 𝑒 −
𝑡→+∞
𝑡→+∞
=𝐴
D’où A = 𝐼0
D’après l’équation différentielle
9
𝑑𝑖 (𝑅 + 𝑟)
𝐸
+
𝑖=
𝑑𝑡
𝐿
𝐿
En régime permanent, le courant est constant
𝑑𝑖
=0
𝑑𝑡
(𝑅 + 𝑟 )
𝐸
𝐼0 =
𝐿
𝐿
𝐼0 =
𝐸
𝑅+𝑟
𝐴=
𝐸
𝑅+𝑟
D’où
b) D’après la loi des mailles :
𝑈𝐿 + 𝑈𝑅 = 𝐸
𝑈𝐿 = 𝐸 − 𝑈𝑅
𝑈𝐿 (𝑡) = 𝐸 − 𝑅𝑖(𝑡)
Or
𝑖 (𝑡 ) =
𝑅+𝑟
𝐸
(1 − 𝑒 − 𝐿 𝑡 )
𝑅+𝑟
𝑈𝐿 (𝑡) = 𝐸 − 𝑅
𝑈𝐿 (𝑡) = 𝐸 −
𝑈𝐿 (𝑡) = 𝐸
𝑅+𝑟
𝐸
(1 − 𝑒 − 𝐿 𝑡 )
𝑅+𝑟
𝑅. 𝐸
𝑅. 𝐸 −𝑅+𝑟𝑡
+
𝑒 𝐿
𝑅+𝑟 𝑅+𝑟
𝑅+𝑟
𝑅. 𝐸
𝑅. 𝐸 −𝑅+𝑟𝑡
−
+
𝑒 𝐿
𝑅+𝑟 𝑅+𝑟 𝑅+𝑟
𝑈𝐿 (𝑡) =
𝐸. 𝑟
𝑅. 𝐸 −𝑅+𝑟𝑡
+
𝑒 𝐿
𝑅+𝑟 𝑅+𝑟
c)
𝑈𝐿 (𝑡0 ) =
𝐸
( 𝑟 + 𝑅) = 𝐸 = 12.6𝑉
𝑅+𝑟
𝑅+𝑟
𝐸
𝐸. 𝑟
( 𝑟 + 𝑅𝑒 − 𝐿 𝑡 ) =
𝑡→+∞ 𝑅 + 𝑟
𝑅+𝑟
lim 𝑈𝐿 (𝑡) = lim
𝑡→+∞
𝐸. 𝑟
12.6 × 10
=
= 0.6𝑉
𝑅+𝑟
210
10
Correction exercice 2 :
1)
a) La voie (1) permet de visualiser la tension aux bornes du résistor.
La voie (2) permet de visualiser la tension aux bornes du générateur E.
b) La courbe (a) correspond à la f.é.m. du générateur car E = constante.
La courbe (b) correspond à la tension UR.
c) La tension qui suit l’évolution de l’intensité i(t) est UR car 𝑈𝑅 = R. i
2) Appliquons la loi des mailles.
𝑈𝑅 + 𝑈𝑏 − E = 0
𝑈𝑅 + 𝑈𝑏 = E
𝑅. 𝑖 + r. i + L.
di
=E
dt
(𝑅 + r)i + L.
di
=E
dt
di (𝑅 + 𝑟)
E
+
i=
dt
𝐿
𝐿
3)
a) L’équation différentielle en i(t) est :
11
di (𝑅 + 𝑟)
E
+
i=
dt
𝐿
𝐿
Cette équation différentielle du premier ordre avec second membre est de solution
𝑡
𝑖 (𝑡) = 𝐴(1 − 𝑒 −𝜏 )
𝑡
lim 𝑖 (𝑡) = lim 𝐴 (1 − 𝑒 −𝜏 ) = 𝐴
𝑡→+∞
𝑡→+∞
Or i(∞)= constante car en régime permanent, le courant s’établit.
D’où 𝐴 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝐼0
𝑡
𝑖 (𝑡) = 𝐼0 (1 − 𝑒 −𝜏 )
D’où
b) 𝜏 =
𝐿
𝑅+𝑟
c) 𝜏 est l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la courbe avec l’asymptote
Y = U0
D’après la figure 2
τ = 3ms
Correction exercice 3 :
1) Nous savons que UR(t) = R. i(t)
Donc, l’intensité du courant électrique peut être déterminée à partir de la tension UR(t).
2)
a) La variation du courant principal dans le circuit d’une valeur nulle à une valeur non
nulle crée dans la bobine un courant induit, ce courant d’après la loi de Lenz,
12
s’oppose à la cause qui lui a donné naissance, c’est-à-dire s’oppose à l’établissement
du courant principal dans le circuit.
b) le phénomène qui est à l’origine de ce retard est le phénomène d’auto-induction
électromagnétique.
3)
a) D’après l’équation différentielle :
𝑈𝑏 + 𝑈𝑅 − 𝐸 = 0
𝑟. 𝑖 + 𝐿.
𝐿.
𝑑𝑖
+ 𝑅. 𝑖 = 𝐸
𝑑𝑡
𝑑𝑖
+ (𝑅 + 𝑟 ). 𝑖 = 𝐸
𝑑𝑡
Divisons par L :
𝑑𝑖 (𝑅 + 𝑟)
𝐸
+
.𝑖 =
𝑑𝑡
𝐿
𝐿
a) La solution de cette équation différentielle est de type :
𝑡
𝑖 (𝑡) = 𝐴 (1 − 𝑒 −𝜏 )
𝑡
𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝐴 𝑑(𝐴. 𝑒 −𝜏 )
=
−
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑖(𝑡)
𝐴 𝑡
= 0 + 𝑒 −𝜏
𝑑𝑡
𝜏
Remplaçons i(t) et
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
dans l’équation différentielle :
𝑡
𝐴 −𝑡 𝑅 + 𝑟
𝐸
𝑒𝜏 +
𝐴 (1 − 𝑒 −𝜏 ) =
𝜏
𝐿
𝐿
−𝑡
1 −𝑡 𝑅 + 𝑟
𝑅+𝑟
𝐸
𝑒𝜏 +
𝐴−
𝐴. 𝑒 𝜏 =
𝜏
𝐿
𝐿
𝐿
−𝑡 1
𝑅+𝑟
𝑅+𝑟
𝐸
)+
𝐴𝑒 𝜏 ( −
.𝐴 =
𝜏
𝐿
𝐿
𝐿

𝐸
𝐿
est une constante.
𝑡
 𝐴𝑒
−𝜏
 𝐴𝑒
−𝜏
 𝑒
𝑡
1
𝑅+𝑟
1
𝐿
𝑅+𝑟
𝜏
𝐿
. (𝜏 −
.( −
) est une fonction de temps.
)=0
𝑡
−𝜏
est une fonction non nulle.
13


1
−
𝜏
𝑅+𝑟
𝐿
𝑅+𝑟
.𝐴
𝐿
=0
(1)
𝐸
𝐿
(2)
=
D’après (2)
(𝑅 + 𝑟 ). 𝐴 = 𝐸
𝐸
𝑅+𝑟
𝐴=
D’après (1)
1 𝑅+𝑟
−
=0
𝜏
𝐿

1
𝜏
𝑅+𝑟
𝐿

𝜏 = 𝑅+𝑟
=
𝐿
𝑅+𝑟
𝑡
𝐿
𝐸
𝑖 (𝑡 ) = 𝑅+𝑟 (1 − 𝑒 −
D’où
)
En régime permanent, I = constante = I0
𝑅+𝑟
𝐸
(1 − 𝑒 − 𝐿 𝑡 )
𝑡→+∞ 𝑅 + 𝑟
lim 𝑖 (𝑡) = lim
𝑡→+∞
lim 𝑖 (𝑡) =
𝑡→+∞
D’où
𝐸
𝑅+𝑟
𝐸
𝐼0 = 𝑅+𝑟
b) 𝑈𝑅 = 𝑅. 𝑖
En régime permanent :
𝑈𝑅0 = 𝑅. 𝐼0 =
𝑅. 𝐸
𝑅+𝑟
c) D’après la courbe :
𝑈𝑅 = 5 𝑉
14
𝑅.𝐸
𝑈𝑅0 = 𝑅+𝑟
Or
𝑅+𝑟 =
𝑅. 𝐸
𝑈𝑅0
𝑅. 𝐸
−𝑅
𝑈𝑅0
20 × 6
𝑅=
− 20 = 4 𝛺
5
𝑟=
𝑟 = 4𝛺
𝐿
4) 𝜏 = 𝑅+𝑟
𝜏=
0,5
20 + 4
𝜏 = 0,02 𝑠
1
5) 𝐸𝐿 = 2 𝐿. 𝑖(𝑡)2
D’après la figure 2,
𝑈𝑅 (28. 10−3 ) = 4 𝑉
𝑖 (28. 10−3 ) =
𝑈𝑅 (28. 10−3 )
4
=
= 0,2 𝐴
𝑅
20
1
 𝐸𝐿 = 2 × 0,5 × 0,22 .
𝐸𝐿 = 0,01 𝐽
Correction exercice 4 :
1)
a) La bobine retarde l’établissement du courant principal dans le circuit. En effet, la
variation du courant principal d’une valeur nulle à une valeur non nulle crée à l’intérieur
de la bobine un courant électrique induit qui, d’après la loi de Lenz, s’oppose à la cause
qui lui a donné naissance, c’est-à-dire s’oppose à l’établissement du courant principal.
b) Le courant induit s’annule en régime permanent à t = 8 ms.
c) La loi qui permet de déterminer le sens du courant induit est la loi de Lenz.
d) A la fermeture de l’interrupteur, le courant principal augmente, le courant induit circule
dans le sens contraire à celui du courant principal pour s’opposer à cette augmentation.
15
2)
a) Application de la loi des mailles :
𝑈𝑏 + 𝑈𝑅 − 𝐸 = 0
𝑈𝑏 + 𝑈𝑅 = 𝐸
𝑟. 𝑖 + 𝐿.
𝑑𝑖
+ 𝑅. 𝑖 = 𝐸
𝑑𝑡
En régime permanent :
𝐼 = 𝐼0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑑𝑖
𝑑𝑡
=0
 (𝑟 + 𝑅 ). 𝐼0 = 𝐸
𝐸
 𝐼0 = 𝑅+𝑟
c) 𝐼0 = 60 𝑚𝐴
𝐸 =6𝑉
𝐼0 =
𝐸
𝑅+𝑟
𝑅+𝑟 =
𝐸
6
=
= 100 𝛺
𝐼0 60. 10−3
3)
a) La constante du temps τ caractérise la durée de l’établissement du courant.
b)
16
𝜏 = 3 𝑚𝑠
𝜏=
𝐿
𝑅+𝑟
𝐿 = (𝑅 + 𝑟 ). 𝜏
𝐿 = 3. 10−3 × 100
𝐿 = 300. 10−3
𝐿 = 0,3 𝐻
4)
a)
D’après la loi des mailles :
𝑟. 𝑖 + 𝐿.
𝐿.
𝑑𝑖
+ 𝑅. 𝑖 = 𝐸
𝑑𝑡
𝑑𝑖
+ (𝑅 + 𝑟 ). 𝑖 = 𝐸
𝑑𝑡
Divisons par L :
𝑑𝑖 (𝑅 + 𝑟)
𝐸
+
.𝑖 =
𝑑𝑡
𝐿
𝐿
b) Cette équation différentielle du premier ordre avec second membre est de solution :
𝑡
𝑖 (𝑡) = 𝐴 (1 − 𝑒 −𝜏 )
𝑑𝑖 (𝑡) 𝐴 −𝑡
= 𝑒 𝜏
𝑑𝑡
𝜏
Remplaçons i(t) et
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
dans l’équation différentielle :
17
−𝑡
𝐴 −𝑡 𝑅 + 𝑟
𝐸
𝑒 𝜏+
. 𝐴 (1 − 𝑒 𝜏 ) =
𝜏
𝐿
𝐿
𝑡 1
𝑅+𝑟
𝑅+𝑟
𝐸
)+
𝐴𝑒 −𝜏 ( −
.𝐴 =
𝜏
𝐿
𝐿
𝐿

𝐸
𝐿
est une constante.
𝑡
1
 𝐴. 𝑒 −𝜏 (𝜏 −

𝑅+𝑟
𝐿
.𝐴 =
𝑅+𝑟
𝐿
) est une fonction de temps.
𝐸
𝐿
 (𝑅 + 𝑟 )𝐴 = 𝐸
 𝐴=
𝐸
𝑅+𝑟
𝑖 (𝑡 ) =
𝑡
𝐸
(1 − 𝑒 −𝜏 )
𝑅+𝑟
5)
a)
𝑖 (𝑡 ) =
𝑡
𝐸
(1 − 𝑒 −𝜏 )
𝑅+𝑟
𝑡
𝐸
(1 − 𝑒 −𝜏 )
𝑡→+∞ 𝑅 + 𝑟
lim 𝑖(𝑡) = lim
𝑡→+∞
18
lim 𝑖(𝑡) =
𝑡→+∞
𝐸
𝑅+𝑟
𝑖 (0) = 0
-
La courbe 1 correspond à la tension aux bornes du résistor : UR(t).
D’après la loi des mailles :
𝑈𝑏 + 𝑈𝑅 = 𝐸
𝑈𝑏 = 𝐸 − 𝑈𝑅
𝑈𝑏 = 𝐸 − 𝑅. 𝑖(𝑡)
𝑈𝑏 = 𝐸 − 𝑅.
𝑡
𝐸
(1 − 𝑒 −𝜏 )
𝑅+𝑟
𝑈𝑏 (0) = 𝐸
lim 𝑈𝑏 (𝑡) = lim 𝐸 − 𝑅.
𝑡→+∞
𝑡→+∞
𝑡
𝐸
(1 − 𝑒 −𝜏 )
𝑅+𝑟
lim 𝑈𝑏 (𝑡) = 𝐸 −
𝑡→+∞
lim 𝑈𝑏 (𝑡) =
𝑡→+∞
𝑅. 𝐸
𝑅+𝑟
𝑟. 𝐸
𝑅+𝑟
Donc :
-
La courbe 2 correspond à la tension aux bornes de la bobine : Ub(t).
b) 𝑈𝑏 (𝑡 ) = 𝑟. 𝑖 + 𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
En régime permanent, 𝐼 = 𝐼0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.
𝑑𝑖
=0
𝑑𝑡
 𝑈𝑏 = 𝑟. 𝐼0
c)
D’après la courbe, en régime permanent :
𝑈𝑏 = 𝑟. 𝐼0 = 0,6 𝑉
𝑟=
0,6
60. 10−3
19
𝑟 = 10 𝛺
𝐼0 =
𝐸
𝑅+𝑟
𝑅=
𝐸
−𝑟
𝐼0
𝑅=
6
− 10
60. 10−3
𝑅 = 90 𝛺
𝑑𝑖
d) 𝑒 = −𝐿 𝑑𝑡
La bobine est équivalente à un générateur de f.é.m. « e » associé en série avec un résistor de
résistance r.
𝑈𝑏 = −𝑒 + 𝑟. 𝑖
D’après la loi des mailles :
𝑈𝑏 + 𝑈𝑅 = 𝐸
−𝑒 + 𝑟. 𝑖 + 𝑅. 𝑖 = 𝐸
−𝑒 + (𝑟 + 𝑅). 𝑖 = 𝐸
𝑒 = ( 𝑟 + 𝑅 ). 𝑖 − 𝐸
Sachant que
𝑖 (𝑡 ) =
𝑡
𝐸
(1 − 𝑒 −𝜏 )
𝑅+𝑟
𝑒 = (𝑟 + 𝑅 ).
𝑡
𝐸
(1 − 𝑒 −𝜏 ) − 𝐸
𝑅+𝑟
𝑡
𝑒 = 𝐸. (1 − 𝑒 −𝜏 ) − 𝐸
20
𝑡
𝑒 = 𝐸. (1 − 𝑒 −𝜏 − 1)
−𝑡
𝑒 = −𝐸𝑒 𝜏
𝑒(0) = −𝐸
lim 𝑒(𝑡) = 0
𝑡→+∞
21