Racines Carrées

RACINES CARRÉES
Tous les exercices ci- dessous sont tirés des
épreuves du brevet
1 - Ecrire les nombres suivants sous la forme a b avec a et b entiers :
A = 2 72 – 200
B = 27 + 7 75 − 300
C = 27 + 2 75 – 4 3
D = 12 – 3 75 + 2 3 + 5 27
E = 5  15
F = 500 – 7 45 – 80
G = 45 – 5
I = 12 − 75 – 2 27
K = 3 + 3 27
J = 6 12 – 27 + 192
L = 4 2 × 90
M = 2 5 + 2 125 – 7 45
H = (6 + 2 3 )2 – ( 4 3 )2
N = 6 28 + 10 7 – 8 63
2 - Ecrire les nombres suivants sous la forme a b avec a et b entiers ; b est un entier naturel le plus petit possible :
A = 50
B = 72
C = 300
D = 16 + 9 − 25
E = 50 + 72
F = 8 + 50 − 18
G = 2 12 – 27
H=2 3 6
I=
J = 7 6 – 2 24 +5 54
K = 2 3 + 75 – 6 27
L = 3 50 – 18 + 4 8
M = 3 54 + 2 24 – 5 96
N = −4 18 + 128 – 3 32
O = 5 3 – 2 48 + 2 27
P = 15 × 10
Q = 5 27 – 2 75 + 3 3
R = 2 75 × 6
S = 3 20 + 45 – 180
T = 12 + 4 75 – 6 48
U = 98 – 2 50 + 3 8
V = 20 – 4 45 + 180
W = 500 + 3 5 – 3 45
X=5 6×2 3
Y = 75 + 7 3 – 2 27
Z = 8  50  18
AA = 75 – 2 12 + 2 27
AB = 2 32 – 50
AC = 5 12 – 3 + 27
AD = 20 – 125 + 2 245
AE = 45 + 2 80 – 5
AF = 7 15 × 2 35 × 3
AG = ( 2 – 3 5 )( 15 + 2 5 )
AH = 2 32 – 18 + 8
AI = 200 – 4 3 × 6
21 × 14
AJ = 3 75 + 2 3 – 2 48
AK = 45 – 7 5 + 20
AL = 500 – 2 5 + 3 20
AM = -5 54 + 3 150 – 96
AN = 75 – 12
AO = 7 75 – 5 27 + 4 48
AP = 8 × 50 × 18
AQ = 18 + 50 + 18
AR = 6 × 42
3 - Ecrire les nombres sous la forme a + b c :
AT = 2 12 – 5 27 + 7 75
AU = ( 2 + 3)2 – 5
A = 25 – 75 + 5 27 – 36 × 3 + 2 9 ; c = 3
AW = 7 3 – 3 48 + 5 12
B=(3 3–2)(4– 3);c=3
BAC==(6 49
2)+2 + 28
3 + 63 ; c = 7
AY = Error! × Error!
BB = ( 5 + 1 ) ( 5 – 1 )
AS = 2 18 – 3 50 + 100 2
4 - Développer et réduire :
AV = 7 – 7 700 + 28
A = ( 3 – 2 )2
AZ = Error!
B = ( 3 – 5 )2
BC = 15 × 10
C=(2 5–3)(3 5+2)
BDD==3(2277–+ 1)
12
2 - ( 3 - 1) ( 3 + 1) ; c BE
= 7 = 3 28 – 7
BF = 180 + 3 80 – 2 125
D=(2 3–1)(6– 3)
BGE==32 ×
28( –2
3 – 2700
5 )2 ; c = 5
BI = 2 108 – 5 3 + 48
E=(3 2–1)(3 2+1)
BH = 2 12 – 5 27 + 7 75
F = 81 + 7 3 – 27
F = ( 2 + 3 )2 – 11
G= 3(5– 3)–( 3+3)
G = ( 6 – 3 )2
H=5+ 6 2(3 2+4)
I = ( 7 2 – 4 )2
J = ( 3 – 2 )2
H = ( 3 – 5 )2 + 2( 25 + 45 )
I = ( 5 + 2 )2
Ex 5
On considère les nombres :
D = (2 3 + 1) (2 3 − 1) et E = 8 5 − 20 −2 45 .
En indiquant le détail des calculs, écrire D et E sous forme de
nombres entiers.
a 5 + b , avec a et b entiers, puis calculer le produit A  B en
donnant le résultat sous la forme d'un nombre entier.
Ex 13
1) Sachant que A = 2 5 + 4 et B = 2 5 – 4 , calculer la valeur
exacte de A + B et de A  B.
Ex 6
2) On donne : C = 147 – 2 75 + 12
1) Ecrire 5 × 125 sous la forme d'un nombre entier.
Ecrire C sous la forme a b, où a est un entier relatif et où b
est un entier naturel le plus petit possible.
2) Ecrire (
entier.
Ex 14
5+
125 ) × 2 sous la forme a 5 où a est un
Ex 7
On donne x = 72 et y = 98.
Sans utiliser les valeurs approchées, montrer que trois de ces
nombres sont égaux :
1) Ecrire x et y sous la forme a b où a et b entiers, a étant le
plus grand entier possible.
A = 5 + 5 ; B = Error! ; C = 2Error!Error! ; D = Error! ; E =
2) Ecrire sous la forme la plus simple possible x2 − y2 et x + y.
5 + 5.
Ex 15
Ex 8
A= ( 2 – 5 )2 et B = 250 – 490 + 2 81
On donne les nombres D = 5 – 3 2 et E = 4 + 5 2
1) Ecrire A et B sous la forme, a + b c, a, b et c étant des
entiers relatifs.
Calculer D − E ; D  E.
On donnera les résultats sous la forme a + b 2 où a et b sont
des nombres entiers relatifs.
2) En déduire que A − B est un nombre entier relatif.
Ex 16
Ex 9
Soit C = 2x2 − 3. Calculer C pour x = 3.
On pose A = 48 + 20 et B = 108 – 45
Ex 17
1) Montrer que A s'écrit sous la forme a 3 + b 5 et que B
s'écrit sous la forme c 3 + d 5 où a, b, c, d sont des entiers
relatifs.
En indiquant le détail des calculs, écrire chacun des nombres
C et D sous forme d'un entier ou d'une fraction la plus simple
possible.
2) Montrer que le produit AB est un nombre entier.
C = Error! ; D = ( Error! + Error! )2
Ex 10
Ex 18
On pose A = 27 + 1 ; B = 2 3 – 5
1) On considère C = 2 5 + 125 – 6 45
Ecrire sous la forme a 3 + b, où a et b sont deux entiers
relatifs, les nombres suivants : A − B et A2.
Ecrire C sous la forme a b, a et b étant deux nombres
entiers, b étant le plus petit possible.
Ex 11
2) A l'aide d'un calcul, montrer que le nombre :
Les dimensions d'un rectangle sont :
D = ( 3 2 + 3 ) ( 2 – 1 ) est un nombre entier.
longueur L = 245 ; largeur l = 80.
Ex 19
1) Calculer son périmètre P ; donner le résultat sous la forme
a 5, a étant un nombre entier.
1) Calculer : B = ( 4 – 2 3 ) ( 4 + 2 3 )
2) Calculer son aire A ; donner le résultat sous la forme d'un
nombre entier.
Ex 12
2) Ecrire sous la forme a + b 3 où a et b sont des entiers les
expressions : C = ( 4 – 2 3 )2 et D = Error! × ( 28 – 16Error! )
Ex 20
On donne les nombres : A = 2 5 + 3 et B = 2 5 – 3
Exprimer chacun des nombres c et d sous forme d'une
fraction irréductible en faisant apparaître les étapes du calcul
Calculer le carré A2 en donnant le résultat sous la forme
c = Error! + Error! ; d = Error! ( Error! – 1 ) ( Error! + 1 )
Ex 21
Calculer et donner le résultat sous la forme d'un entier relatif
ou d'une fraction irréductible :
A=(2+3 5)(2–3 5)
B = Error!
Ex 22
Sur un terrain rectangulaire AEFG, on a aménagé un parking
carré ABCD bordé de deux allées comme l'indique le schéma
ci-dessous :
1) Donner la valeur exacte du côté AB sachant que le carré
ABCD a une aire de 1200 m2.
2) a) Calculer le périmètre du rectangle AEFG.
b) Calculer l'aire du rectangle AEFG.
(On exprimera chaque résultat sous la forme a + b 3 où
b sont des nombres entiers.)
Ex 23
Calculer et donner la valeur exacte la plus simple des
nombres suivants :
B = 4 75 – 5 3 ; D = (2 3 – 5)(2 3 + 5) ;
E = 100 – 64
Ex 24
Ecrire B sous forme de fraction irréductible :
B= Error!
a et