EM3 - Equations locales de l`électromagnétisme
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EM3 - Equations locales de l’électromagnétisme 1 Sources de champ électromagnétiques 1.1 Description microscopique et mésoscopique des sources de champ électromagnétique Figure 2 – Déplacement organisé des porteurs de charge Figure 1 – Comment modéliser la conduction électrique dans un conducteur ohmique ? Dans un milieu conducteur, le courant électrique est assuré par un mouvement global de porteurs de charges. Dans le cas d’un métal par exemple, les porteurs de charges sont des électrons. En l’absence de champ électrique, chaque électron a une vitesse aléatoire d’agitation thermique qui est modifiée de manière aléatoire entre deux chocs. → → On note − v la vitesse d’agitation thermique d’une particule à l’instant t et − v la vitesse moyenne d’agitation k,th thermique des particules. th n 1 X→ → − − → − v th = v k,th = 0 N k=1 En présence d’un champ électrique, la vitesse d’une particule chargée, libre de se déplacer macroscopiquement dans → → → → le métal, est alors − vk = − v k,th + − vd où − vd est une vitesse dite ≪ de dérive ≫. Dans ce cas la vitesse moyenne d’un → − électron dans le métal est vd . Si un porteur de charge porte une charge q, et que ce porteur est présent dans le milieu avec une densité volumique n égale au nombre de porteurs de charges par unité de volume, la densité volumique de charges libre ρ s’exprime alors : 1 EM3 - Equations locales de l’électromagnétisme 2 → − On considère un métal plongé soumis à un champ électrique E , pour lequel les porteurs de charges sont uniquement des électrons. (un seul type de porteurs de charges q = −e) – Exprimer la quantité de charges d2 q qui traverse une section élémentaire dS de conducteur entre t et t + dt. En → − → → déduire la relation entre j (vecteur densité de courant) ρ et − v d (notée simplement − v par la suite) 1.2 Equation locale de conservation de la charge Figure 3 – Bilan de charge pour un déplacement de charge unidirectionnel – Faire un bilan de charge sur la tranche de conducteur de largeur dx entre les instant t et t + dt. En déduire l’équation de conservation de la charge. EM3 - Equations locales de l’électromagnétisme 3 – Généraliser l’écriture de cette équation pour un déplacement en 3D des porteurs de charges – Quelles lois de l’électrocinétique retrouve-t-on en régime stationnaire ? 1.3 1.3.1 Conduction électrique dans un conducteur ohmique Le modèle de Drude Le modèle de Drude est un modèle phénoménologique justifiant par des considérations microscopiques le comportement macroscopique des conducteurs. Figure 4 – Représentation microscopique d’un métal Hypothèses : – La conduction est assurée par les électrons libres dans le métal et qu’ils forment un gaz parfait d’électrons, – On considère que les nœuds du réseau cristallin sont fixes. – Que peut - on dire de la vitesse des électrons libres d’un métal en l’absence de champ électrique ? → − – On considère un électron uniquement soumis à l’action d’un champ électrique E (supposé localement uniforme). Exprimer l’équation du mouvement. Quel problème cette modélisation implique - t - elle ? EM3 - Equations locales de l’électromagnétisme 4 → − m− → v . Etablir à nouveau l’équation – On introduit alors une force phénoménologique de frottement fluide f = τ différentielle du mouvement puis en déduire la valeur limite de la vitesse de dérive. → − – Exprimer alors le vecteur densité de courant en fonction de E Le cuivre (traditionnellement utilisé pour réaliser des câbles électriques) a une conductivité de σ = 59,6 × 106 S/m, et un rayon métallique qui vaut r = 128 pm. Chaque atome de cuivre possède un électron libre de se déplacer dans tout le métal (électron de conduction). – Déterminer un ordre de grandeur de la constante τ . – On soumet le morceau de métal à un champ alternatif de fréquence f . Dans quelle gamme de fréquence pourra-ton → − considéré que le champ E est approximativement stationnaire entre deux collisions ? 1.3.2 Résistance électrique d’une portion de conducteur filiforme On considère un conducteur ohmique cylindrique soumis à une tension U et parcouru par un courant I selon l’axe du conducteur. On se place en régime permanent ou dans le cadre de l’ARQS. EM3 - Equations locales de l’électromagnétisme 1.3.3 5 Interprétation collisionnelle Essayons de déterminer l’origine microscopique de la force de frottement introduite. – Qu’est-ce qui peut ≪ freiner ≫ les électrons ? Hypothèses : – Dans un métal, les électrons libres ne peuvent entrer en collision qu’avec les n oeuds du réseau – Après chaque collision, le porteur de charge perd l’énergie qu’il a acquise (il perd toute ≪ mémoire ≫ de son mouvement d’avant le choc et prend une vitesse aléatoire. Calculons la vitesse à l’instant t d’un porteur de charge k de masse m et de charge q dont la dernière collision a eu lieu à l’instant tk < t : – Exprimer l’équation différentielle du mouvement entre deux collisions puis en déduire l’expression de la vitesse du porteur de charge entre deux collisions. − – En déduire l’expression de la vitesse moyenne < → v > d’un porteur de charge en fonction de la durée moyenne entre deux collisions. Interpréter. – Calculer cette vitesse (d’agitation thermique)à T = 293 K et en déduire le libre parcourt moyen d’un électron et comparer au rayon métallique du cuivre. EM3 - Equations locales de l’électromagnétisme 2 Equations de Maxwell 2.1 Enoncé et signification ◮ Equation de Maxwell-Gauss : ◮ Equation Maxwell-Thomson : ◮ Equation de Maxwell-Faraday : ◮ Equation de Maxwell-Ampère – En statique ou dans l’ARQS – Dans le cas général – Justification : – Equation locale de conservation de la charge électrique : – Equation de Maxwell-Gauss : 6 EM3 - Equations locales de l’électromagnétisme 2.2 Equation de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide – Comment s’écrivent les équations de Maxwell dans le vide ? Equation de propagation du champ magnétique Equation de propagation du champ électrique 3 3.1 Equations locales dans l’ARQS Définition ≪ Magnétique ≫ 7 EM3 - Equations locales de l’électromagnétisme 3.2 Equation de Maxwell-Ampère dans l’ARQS → − → ∂ E (M, t) → − −→ − dans le cadre de l’ARQS ? En régime stationnaire, rot B = µ0 j . Que peut-on dire du terme ǫ0 µ0 ∂t 3.3 Equation de conservation de la charge dans l’ARQS Dans le cadre générale, l’équation de conservation de la charge s’écrit : Dans l’ARQS, 8 EM3 - Equations locales de l’électromagnétisme 4 9 Aspects énergétiques 4.1 Puissance électromagnétique fournie par le champ électromagnétique à des porteurs de charge Pour une particule ponctuelle, la force de Lorentz s’exprime Pour une répartition volumique de charge, 4.2 Cas des conducteurs ohmiques La loi d’Ohm locale . . . . . . donne directement 4.3 Equation locale de Poynting EM3 - Equations locales de l’électromagnétisme 10 ◮ On retrouve une forme similaire à celle de l’équation locale de conservation de la charge avec un terme de source → − − → → − E∧B est. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il correspond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ou de fuite) Π = µ0 2 2 ǫ0 E B ◮ uem = est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 2 2µ0 ◮ On considère un volume V de l’espace délimité par une surface fermée S. ◮ s S − → → − < Π > · dS correspond à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
