DS 1 Physique-Chimie Problème 1 : Étude du mouvement d`un

DS 1 Physique-Chimie
Problème 1 : Étude du mouvement d'un volant de badminton
Le badminton est un sport dans lequel les joueurs frappent un projectile, appelé volant, à l'aide
d'une raquette. Le but de ce problème est de proposer une modélisation simpliée de la trajectoire
du volant sous l'eet conjugué de la pesanteur et de la résistance de l'air, et de confronter le
modèle aux résultats d'une expérience.
On négligera la poussée Archimède dans tout le problème. Le volant sera assimilé à un point
matériel M de masse m.
On prendra g = 9, 81 m.s−2 comme valeur de l'accélération de pesanteur.
Figure
1 Volant de
badminton
1
Étude de la trajectoire en l'absence de résistance de l'air
ey
O
v0
θ0
g
ex
Figure 2 Position du
problème
On néglige dans un premier temps la force de freinage exercée par l'air. On lance depuis le sol
−
le volant de masse m avec une vitesse initiale →
v0 , dans une direction faisant un angle θ0 avec
→
−
−
−
−
le plan du sol, supposé horizontal. v0 est dans le plan (x0y). On note pose →
v0 = v0 →
u , avec →
u
−
−
→
→
−
un vecteur unitaire. On note v (t) = (vx (t), vy (t)) la vitesse du volant et OM (t) = (x(t), y(t))
son vecteur-position. Le volant est initialement au point O, que l'on choisit comme origine des
positions.
1) Quelle est la nature de la trajectoire ? Dessiner son allure. Aucun calcul n'est ici demandé.
2) Déterminer les expressions de vx (t) et vy (t).
3) Déterminer les expressions de x(t) et y(t).
4) Déterminer le temps tf pour lequel le volant retombe sur le sol en fonction de v0 , g et θ0 .
5) Montrer que la portée du tir (distance horizontale à laquelle le volant retombe sur le sol), notée L0 , s'écrit :
L0 =
v02
sin(2θ0 )
g
6) Validez dimensionnellement l'expression de L0 obtenue et vériez-la sur des cas limites simples que vous choisirez.
7) La vitesse initiale étant xée, quel angle θ0 permet d'envoyer le volant le plus loin possible ?
8) Application numérique de L0 et tf pour v0 = 55 m.s−1 ; θ0 = 52o .
2
Trajectoire réelle du volant
Le document 1 fourni en annexe présente un relevé expérimental de la trajectoire d'un volant de badminton. Sur la gure
sont représentées les positions successives du volant au cours du temps. L'intervalle de temps écoulé entre chaque position est
t0 = 50 ms. Les axes sont gradués en mètres. Sur la gure sont également indiquées v0 et v∞ , qui sont respectivement les valeurs
de la norme de la vitesse du volant à l'instant initial et nal, ainsi que l'angle de lancement θ0 .
9) En mesurant directement sur la gure, estimez la distance entre les positions 0 et 1. En déduire une valeur de v0 , comparer
avec la valeur donnée sur la gure. De la même manière, estimez v∞ .
10) Justiez que le modèle proposé à la partie 1 ne décrit pas correctement le comportement expérimental du volant.
1
3
Prise en compte de la résistance de l'air dans le modèle
3.1 Expression de la résistance de l'air
On tient maintenant compte de la résistance de l'air dans le modèle, en assimilant le volant à une sphère homogène de rayon
−
R = 4 cm. On note →
v la vitesse du volant et v sa norme. L'expression de la force de freinage par l'air, appelée force de trainée,
est :
→
−
1
−
F = − ρSCx v 2 →
u,
2
−
avec ρ la masse volumique de l'air, S la surface d'un disque de rayon R, Cx un coecient appelé coecient de traînée, et →
u
→
−
un vecteur unitaire colinéaire à v et de même sens.
11) Quelle est la dimension de Cx ?
12) A l'aide des données présentes sur la gure 1, estimer les valeurs maximales et minimales du nombre de Reynolds lors du
mouvement du volant.
13) L'écoulement du uide autour du volant est-il laminaire ou turbulent ? Quelle est la valeur de Cx au cours du mouvement ?
Données :
- Viscosité cinématique de l'air : ν = 1, 5.10−5 m2 .s−1
- Masse volumique de l'air (à 20 o C) : ρ = 1, 2 kg.m−3
3.2 Étude simpliée de la trajectoire
Pour simplier l'étude du problème, nous allons décomposer la trajectoire du volant en deux phases durant lesquelles nous
ferons des hypothèses (très) simplicatrices.
Phase 1 : Phase ascendante. On supposera que durant la phase ascendante le volant suit une trajectoire rectiligne. sa vitesse
−
−
peut donc s'écrire →
v (t) = v(t)→
u . On négligera le poids du volant durant cette phase.
Phase 2 : Phase intermédiaire. Cette phase correspond à la transition entre la montée et la descente du volant. On négligera la
force de trainée durant cette phase.
Phase 3 : Phase descendante. A la n de la phase intermédiaire, on supposera que le volant est en chute libre, c'est-a-dire qu'il
a le même mouvement que si on le lâchait avec une vitesse initiale nulle.
14) Représenter sur votre copie l'allure de la trajectoire du volant si l'on fait les hypothèses données ci-dessus. On précisera la
nature de la trajectoire lors des diérentes phases.
Étude de la phase ascendante
−
15) Établir l'équation diérentielle dont →
v est la solution. En déduire que v est solution de :
dv
+ αv 2 = 0 ,
dt
où α est une constante à exprimer en fonction de ρ, R, Cx et m. De quel type est cette équation diérentielle ?
Dans toute la suite du problème on prendra
α = 0.22
−1
m
16) La solution de cette équation diérentielle est :
v(t) =
v0
1 + v0 αt
Exprimez les coordonnées x(t) et y(t) du volant au cours de la phase ascendante en fonction de v0 , α et θ0 .
1
1
Indication : une primitive de f : x →
est F : x → ln(1 + ax)
1 + ax
a
17) On suppose que la phase ascendante se termine lorsque la composante verticale de force de trainée est égale au poids. Montrer
que le temps t1 correspondant s'écrit :
r
1
α sin θ0
1
t1 =
−
α
g
v0
Application numérique. Sur le document 1, à quel numéro de position correspond la n de la phase 1 ?
18) Calculer numériquement la vitesse v1 du volant au temps t1 .
19) Calculer numériquement les coordonnées x1 et y1 du volant au temps t1 . Commenter les résultats en comparant à la trajectoire
réelle du volant.
2
Étude de la phase intermédiaire
A partir de t = t1 on considère que le volant n'est soumis qu'à son propre poids. On suppose que cette phase se termine au
temps t2 > t1 où le volant repasse par l'altitude y1 .
20) En vous aidant des résultats de la partie 1, Donner l'expression de la durée de la phase 2 et de la distance horizontale
parcourue par le volant durant cette phase en fonction de v1 , θ0 et g .
21) En déduire t2 ainsi que les coordonnées x2 et y2 du volant à la n de la phase intermédiaire.
22) Avec quelle précision ce modèle permet-il de prévoir la portée réelle de la trajectoire du volant ?
Étude de la phase descendante
On prend maintenant en compte à la fois le poids et la résistance de l'air.
−
23) Établir l'équation diérentielle vériée par →
v (t) pour t > t .
2
−
24) Déterminer une solution particulière de cette équation correspondant à une vitesse constante notée →
v ∞ , à exprimer en
fonction de α et g .
−
On suppose que la vitesse du volant durant toute la phase 3 est constante et égale à →
v ∞ . Calculer numériquement la norme de
→
−
v .
∞
25) Calculer numériquement le temps de chute du volant durant la phase 3. En déduire la durée totale t3 du temps de vol du
volant. Comparer à la valeur réelle.
3
ANNEXE - DOCUMENT 1
8
20
10
7
30
6
5
y(m)
3
4
1
2
1
1
40
2
3
0
4
v0= 55 m/s
0
v∞= 6.5 m/s
θ0= 52°
0
1
2
3
4
5
6
x(m)
7
8
9
10
ANNEXE - DOCUMENT 2
Figure 2 : Dépendance du coecient de traînée en fonction du nombre de Reynolds.
La gure ci-dessus représente la valeur de Cx en fonction d'une grandeur adimensionnée appelée nombre de Reynolds, noté
Re , et déni par :
Re =
Lv
ν
avec L la taille caractéristique de l'objet en mouvement dans le uide, v sa vitesse et ν la viscosité dynamique du uide.
Lorsque le nombre de Reynolds est faible (Re < 1), l'écoulement du uide autour de l'objet en mouvement a lieu de manière
régulière, on parle d'écoulement laminaire. Lorsque le nombre de Reynolds est élevé (Re > 1000) et l'écoulement du uide se
fait de manière désordonnée et chaotique, avec présence de tourbillons. L'écoulement est alors qualié de turbulent.
4
Problème 2 : Étude d'une suspension de véhicule
Sur un véhicule, les suspensions ont de multiples fonctions. Elles servent notamment :
- à améliorer le confort des occupants ;
- à améliorer la tenue de route en maintenant le contact entre les roues et le sol malgré ses irrégularités (amélioration de la
sécurité) ;
- à diminuer l'eet, sur l'ensemble des organes mécaniques, des vibrations et impacts dus aux irrégularités de la route
(diminution de l'usure et du risque de rupture).
Il existe diérents types de suspensions et, dans ce problème, nous nous intéresserons à un type très répandu : les suspensions
à ressorts. De manière simpliée, ces suspensions se composent d'un ressort qui assure la liaison entre les roues (masses non
suspendues) et la caisse (masse suspendue) et d'un système d'amortissement.
Le but de ce problème est d'étudier certaines caractéristiques des suspensions à ressort. En particulier, nous étudierons les
mouvements verticaux du véhicule dans diérentes situations : véhicule non amorti, véhicule amorti en régime libre, véhicule se
déplaçant sur un sol non plat.
Pour l'ensemble du problème, le référentiel d'étude est le référentiel terrestre considéré comme galiléen. Le véhicule est soumis
−
au champ de pesanteur terrestre →
g.
Données :
champ de pesanteur : g = 10 m.s−2 .
tout au long du problème, on considèrera que :
- l'extrémité supérieure du ressort est en contact avec le véhicule et l'extrémité inférieure du ressort est reliée à une roue qui
se trouve en contact avec le sol ;
- la roue reste en contact avec le sol à tout instant ;
- les dimensions de la roue sont telles qu'on la suppose ponctuelle de sorte qu'elle suit parfaitement le prol de la route, y
compris lorsque le sol n'est pas plat.
Hypothèses :
:
-dérivées temporelles :
pour une fonction x(t) les dérivées temporelles seront notées :
Notations
ẋ(t) =
d2 x
dx
; ẍ(t) = 2
dt
dt
-fonctions complexes :
pour une fonction x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) :
x(t) = Xm ejωt+ϕ = Xm ejϕ ejωt = Xm ejωt
où x(t) = Re(x(t)) et Xm = Xm ejϕ (Xm est l'amplitude complexe de x(t))
On a donc : Xm = |Xm | et ϕ = Arg(Xm )
Première partie : suspension sans amortissement.
Le véhicule à vide est assimilé à une masse m = 1, 0.103 kg . La suspension est assimilée à n ressort de masse négligeable et de
constante de raideur k = 1, 0.105 N.m−1 et de longueur au repos l0 .
Dans cette partie, on néglige tout amortissement. On ne s'intéresse qu'au mouvement de translation verticale du véhicule. La
position du véhicule est repéré par sa coordonnée z(t), l'axe (Oz) étant vertical, orienté vers le haut et muni d'un vecteur unitaire
−
→. z(t) représente la coordonnée de l'extrémité supérieure du ressort. A l'équilibre, en l'absence de tout mouvement vertical, la
u
z
position du véhicule est repérée par sa coordonnée ze .
5
1) Faire le bilan des forces auxquelles le véhicule est soumis losrqu'il est hors d'équilibre. Représenter ces forces sur un schéma.
2) En appliquant le principe d'inertie (première loi de Newton), écrire une relation (équation 1) entre ces diérentes forces lorsque
le véhicule est à l'équilibre. En déduire l'expression de ze en fonction de m, g , k et l0 .
3) En appliquant le principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) au véhicule lorsqu'il est hors d'équilibre,
déterminer l'équation diérentielle (équation 2) vériée par z(t). L'équation 2 fera intervenir les grandeurs ze , k , m, z(t) et ses
dérivées temporelles.
4) Donner la solution générale de l'équation 2. Déterminer les expressions littérales de la pulsation propre ω0 et de la période
propre T0 de la suspension du véhicule en fonction de k et m. Application numérique.
5) On suppose qu'un opérateur appuie sur le véhicule et l'amène à la cote z0 < ze . A l'instant initial t = 0 le véhicule est relâché
sans vitesse initiale. Déterminer la solution de l'équation 2 ne prenant en compte les conditions initiales précédentes. Exprimer
z(t) en fonction de t, ze , ω0 et z0 .
6) Tracez l'allure de z(t) et faire apparaître sur le graphique les cotes minimale zmin , maximale zmax et moyenne zmoy ainsi que
la période propre T0 . Exprimez zmin , zmax et zmoy en fonction de ze et z0 .
Deuxième partie : suspension avec amortissement.
On suppose dans cette partie que la suspension décrite dans la partie précédente comporte maintenant un dispositif qui exerce
→
−
−
−
sur le véhicule une force d'amortissement visqueux donnée par F = −h→
v , où →
v représente la vitesse verticale du véhicule par
rapport à la roue et h est un coecient appelé coecient de frottement uide.
7) Quelle est l'unité de h dans le système international ?
8) Faire le bilan de forces s'appliquant au véhicule hors d'équilibre. Les représenter sur un schéma. Écrire la relation entre ces
diérentes forces lorsque le véhicule est à l'équilibre.
9) En appliquant le principe fondamental de la dynamique au véhicule hors d'équilibre, déterminer l'équation diérentielle vériée
par z(t). L'équation fera intervenir les grandeurs ze , k , m, h, z(t) et ses dérivées temporelles.
10) Donner les conditions sur les paramètre m, k et h pour que la suspension se trouve respectivement dans les régimes pseudopériodique, critique et apériodique.
11) Véhicule en charge et vieillissement de la suspension.
a) Si l'amortissement est tel que la suspension se trouve en régime critique lorsque le véhicule est à vide, dans quelle régime
se trouve-t-elle lorsque le véhicule est en charge ? Justier qualitativement la réponse.
b) Dès lors, comment choisir la valeur de l'amortissement pour que le véhicule ne soit pas en régime pseudopériodique même
lorsqu'il est en charge ? Justier qualitativement la réponse.
6
Le véhicule se déplace maintenant sur un sol non plat. La position verticale du point le plus bas de la suspension (roue) est
repéré par la cote zs (t). Il est rappelé que par hypothèse la roue est considérée ponctuelle et reste en permanence en contact
avec le sol.
12) Nous nous placerons pour cette question dans le cas particulier où le véhicule se déplace sur une route telle que :
- pour tout t < t1 : zs = z1 > 0
- pour tout t > t1 : zs = 0
Pour illustrer la situation, on pourra imaginer qu'à l'instant t1 le véhicule descend d'un trottoir de hauteur z1 .
a) Donner l'allure de z(t) pour t variant entre 0 et t >> t1 lorsque la suspension est en régime pseudo-périodique.
b) Donner l'allure de z(t) pour t variant entre 0 et t >> t1 lorsque la suspension est en régime apériodique.
On précisera clairement sur chaque graphique la valeur de z(t) pour 0 < t < t1 et lorsque t tend vers +∞.
7
DS1 : Chimie
Atomistique, Molécules et Solvants
13) Rappeler les règles permettant d'obtenir la conguration électronique d'un atome dans son état fondamental.
14) Écrire la conguration électronique dans l'état fondamental, de l'oxygène O, de l'ion Al3+ et de l'arsenic As. Précisez à
chaque fois le nombre d'électrons de valence.
15) Donner la position de l'oxygène et de l'Arsenic dans le tableau périodique (ligne et colonne). Lequel de ces deux éléments
est le plus électronégatif ?
16) Qu'est-ce qu'une période du tableau périodique ? une famille ? citez 4 familles.
17) Proposer une formule de Lewis pour les molécules et les ions suivants. On veillera à bien placer les charges formelles.
• Ion hydroxyde HO− , ion hydronium H3 O+.
• Dioxygène O2 , Ozone O3
−
• Ammoniac NH3 , ion ammonium NH+
4 , ion amidure NH2
• Dioxyde de carbone CO2
18) La gure ci-dessous représente les géométries des molécules NH3 , NH−
2 , et H2 O.
a) Ces molécules sont-elles polaires ? Justier. Si oui, représenter leur moment dipolaire (recopier les molécules sur votre copie).
b) Laquelle des espèces chimiques NH3 et NH−
2 est à priori la moins soluble dans l'eau ? Justier.
19) Le chrome (Z=24) existe sous plusieurs formes isotopiques dont les plus abondantes sont données dans le tableau ci-dessous :
a) Dénir le mot isotope. Donner la composition du noyau atomique de chacun des isotopes cités.
b) Déterminer la masse molaire du chrome à l'état naturel.
:
Masse molaire du carbone 12 : M(12 C) = 12, 0 g.mol−1
Nombre d'Avogadro : NA = 6, 02.1023 g/mol−1
Données
Numéros atomiques
Hydrogène : 1
Carbone : 6
Azote : 7
Oxygène : 8
Aluminium : 13
Arsenic : 33
:
8