Correction de l’exercice à rendre le vendredi 12 février Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016 Volant de badminton Ce sujet est inspiré du sujet de physique B du concours de l’école Polytechnique et des Écoles Normales Supérieures PC 2015. Les questions sont beaucoup plus guidées que dans le sujet original qui ne donne aucun résultat intermédiaire, et les deux calculs de x(t) et x(v) étaient demandés aux candidats mais sont bien trop compliqués pour un exercice de PTSI. 1 Le système étudié est le volant, point matériel M en mouvement par rapport au référentiel terrestre R qu’il est #” légitime de supposer galiléen. Il n’est soumis qu’à son poids P = m #” g . La position du volant est repéré en coordonnées cartésiennes planes (x, y) comme sur la chronophotographie, l’origine du repère étant choisie à la position initiale du volant. D’après la loi de la quantité de mouvement, d #” v M/R = m #” g m dt R ce qui donne par intégration #” #” v (t) = #” g t + cte #” et en utilisant la condition initiale #” v (0) = V 0 , #” #” v (t) = #” gt+V0. On procède à une deuxième intégration pour obtenir la position, 1 2 #” # ” #” OM (t) = #” g t + V 0 t + cte , 2 mais la constante d’intégration est nulle car O est la position initiale du volant. Pour obtenir l’équation de la # ” #” trajectoire, il faut projeter la loi horaire OM (t) avec #” g = −g #” e y et V 0 = V0 cos θ0 #” e x + V0 sin θ0 #” e y . On trouve donc x(t) = V0 cos θ0 t y(t) = − 1 gt2 + V0 sin θ0 t 2 L’équation de la trajectoire y(x) s’obtient en remplaçant t = x/V0 cos θ0 dans l’expression de y, y(x) = − g x2 + tan θ0 x . 2V0 2 cos2 θ0 La trajectoire est parabolique, voir figure. Le volant touche le sol lorsque y = 0, c’est-à-dire en x tel que g 0=x − x + tan θ0 2V0 2 cos2 θ0 La solution x = 0 correspond au point de départ, la portée L0 est donnée par la seconde solution, 2V0 2 g L0 = tan θ0 cos2 θ0 soit L0 = 2V0 2 cos2 θ0 tan θ0 g En simplifiant 2 cos2 θ0 tan θ0 = 2 cos θ0 sin θ0 = sin 2θ0 , on trouve finalement L0 = 2 V0 2 sin 2θ0 g Les dimensions se retrouvent facilement à partir des unités des différentes quantités, [V0 ] = L T −1 [g] = L T −2 1/4 [sin θ0 ] = 1 . Étienne Thibierge, 18 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Correction DM 12 février : Volant de badminton Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016 Ainsi, [L0 ] = [V0 ]2 L2 T −2 ×1=L [sin 2θ0 ] = [g] L T −2 L0 est donc comme prévu homogène à une longueur. Pour vérifier la cohérence de l’expression, on peut par exemple considérer le cas limite V0 = 0, qui donne L0 = 0 : si le volant est lâché sans vitesse initiale, il n’avance pas dans la direction horizontale, ce qui est bien normal. On peut aussi s’intéresser au cas θ0 = π/2, qui donne là aussi L0 = 0 : si le volant est lancé verticalement, il n’avance pas non plus, ce qui est cohérent. 3 Compte tenu de l’expression de L0 , l’angle θ0,max pour lequel la distance parcourue est maximale est celui pour lequel sin 2θ0,max = 1, soit π π d’où θ0,max = . 2θ0,max = 2 4 4 La dimension d’une force se détermine par exemple à l’aide de l’expression du poids, [F ] = [m] [g] = M L T −2 . L’expression de la force de freinage se traduit donc dimensionnellement par 1 [F ] = [ρ] [S] [Cx ] [v]2 2 M L T −2 = 1 × M L−3 × L2 × [Cx ] × L2 T −2 M L T −2 M L−3+2+2 T −2 [Cx ] = 1 [Cx ] = Le coefficient de traînée est donc un nombre sans dimension. C’est en fait assez naturel d’après son sens physique : il décrit la forme géométrique du volant, mais pas sa taille, qui est prise en compte par la surface frontale S. 5 D’après la loi de la quantité de mouvement, d #” v = dt #” dv = dt #” dv ρ S Cx v #” + v = dt 2m m #” #” P +F ρ S Cx v #” #” g − v 2m #” g Comme le second membre de cette équation est constant, alors il est possible d’en rechercher une solution particulière #” constante V ∞ , #” ρ S Cx V∞ #” 0+ V ∞ = #” g 2m En projetant cette équation sur les axes x et y, on trouve V∞ x = 0 ρ S C V x ∞ V∞ y = −g 2m #” En analysant le signe de la composante sur #” e y , on trouve que V ∞ est dirigée selon − #” e y : elle est de même direction #” et même sens que g , ce qui est tout à fait logique. On peut ensuite déterminer sa norme, ρ S Cx 2 V = +g 2m ∞ r soit V∞ = 2mg , ρ S Cx et donc finalement #” V∞ =− r 2mg #” ey ρ S Cx Cette solution particulière donne bien un mouvement rectiligne, uniforme (V∞ = cte), et vertical. 6 #” Compte tenu de l’expression trouvée pour V ∞ , le coefficient intervenant dans l’équation différentielle s’écrit ρ S Cx g = 2 2m V∞ 2/4 Étienne Thibierge, 18 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Correction DM 12 février : Volant de badminton Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016 ce qui permet de réécrire l’équation différentielle sous la forme d #” v gv v. = #” g − 2 #” dt V∞ 7 Dans l’équation différentielle ci-dessus, le poids donne le premier terme #” g . On peut le négliger devant le second terme issu de la force de frottement si g v #” |v| V∞2 | #” g| g soit g v2 V∞2 ce qui donne V∞2 v 2 v V∞ donc Le poids est négligeable si la norme de la vitesse du volant est très supérieure à la norme de la vitesse asymptotique V∞ . En négligeant le poids, l’équation du mouvement se réécrit gv d #” v v, = − 2 #” dt V∞ Le vecteur accélération #” a = d #” v /dt est donc colinéaire au vecteur vitesse, ce qui est caractéristique d’un mouvement rectiligne. Obtenir l’équation différentielle sur v = | #” v | est direct, dv g = − 2 v2 . dt V∞ On procède alors par séparation des variables, dv g = − 2 dt v2 V∞ et on intègre entre l’instant initial (t = 0, v = V0 ) et l’instant courant (t, v), ˆ v 1 dv 2 v V 0 v 1 − v V0 1 1 − + v V0 1 v g =− 2 V∞ t dt 0 g t V∞2 g =− 2t V∞ 1 gt = + 2 V0 V∞ =− v= 8 ˆ 1 1 gt + 2 V0 V∞ Cherchons t1/2 tel que v(t1/2 = V0 /2, soit en divisant par V0 de part et d’autre de l’égalité, 1 = 2 1 1+ V0 g t1/2 V∞2 donc 2=1+ V0 g t1/2 V∞2 d’où t1/2 = V∞2 = 7,9 · 10−2 s V0 g en lisant les valeurs directement sur la chronophotographie. Les images étant prises toutes les 50 ms, le point correspondant à t1/2 est situé entre le deuxième et le troisième point de l’image. On mesure sur l’énoncé que les deux points sont séparés de 1,7 cm alors que les deux premiers points sont séparés de 2,3 cm. La vitesse moyenne est donc divisée par environ 2 entre les deux situations, ce qui est cohérent avec la définition de t1/2 . 9 La composante verticale de la force de traînée s’écrit 1 1 Fy = − ρ S Cx v vy = − ρ S Cx v 2 sin θ0 . 2 2 3/4 Étienne Thibierge, 18 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Correction DM 12 février : Volant de badminton Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016 L’angle à prendre en compte est bien θ0 car tout au long de la première phase le mouvement est rectiligne : l’inclinaison du vecteur vitesse ne change pas. Ainsi, à la limite, r 1 − ρ S Cx v 2 sin θ0 = −mg 2 d’où v= 2mg ρ S Cx sin θ0 donc v=√ V∞ . sin θ0 La distance horizontale parcourue vaut donc p V∞2 V0 d = cos θ0 ln sin θ0 g V∞ 10 En toute rigueur, le régime limite est atteint lorsque la vitesse est verticale, ce qui n’est jamais le cas sur la photographie. En se fixant comme critère que le régime limite est atteint lorsque la norme de la vitesse ne varie plus, on voit que ce régime concerne environ les quinze derniers points de la chronophotographie. 11 Voir figure 1. y d x Fig. 1 – Trajectoire en négligeant le régime intermédiaire. 12 La portée du tir dans cette approximation est exactement égale à la distance parcourue pendant le régime où le poids est négligeable, c’est-à-dire p V∞2 V0 L = cos θ0 ln = 5,4 m sin θ0 g V∞ ce qui est très inférieur aux 9 m indiqués sur la figure. Ce résultat est tout à fait normal : on voit bien que le régime intermédiaire n’est pas négligeable du tout. 13 Compte tenu des facteurs d’influence indiquée, le principe d’analyse dimensionnelle permet de postuler qu’il existe trois exposants a, b, c tels que la relation D = k ma V∞b g c soit homogène avec k un préfacteur sans dimension. L’équation aux dimensions associée s’écrit [D] = [m]a [V∞ ]b [g]c L = M a × Lb T −b × Lc T −2c soit On en déduit par identification a = 0, b + c = 1 et −b − 2c = 0, soit c = −1 et b = 2, d’où D=k 14 V∞2 g Avec k = 1, on trouve D = 4,6 m, ce qui est comme annoncé loin d’être négligeable devant L. On a alors L0 = L + D = 10 m ce qui donne un bon ordre de grandeur de la distance annoncée sur la chronophotographie. 4/4 Étienne Thibierge, 18 février 2016, www.etienne-thibierge.fr