Mécanique en coordonnées cylindriques

Mécanique 3
Mécanique en coordonnées cylindriques
Lycée Polyvalent de Montbéliard - Physique-Chimie - TSI 1 - 2016-2017
Contenu du programme officiel :
Notions et contenus
Systèmes de coordonnées cylindriques.
Mouvement circulaire uniforme et non uniforme.
Forces.
Pendule simple.
Capacités exigibles
- Utiliser les expressions des composantes du vecteur-position, du vecteurvitesse et du vecteur-accélération dans le cas des coordonnées polaires.
- Choisir un système de coordonnées adapté au problème posé.
- Exprimer les composantes du vecteur-position, du vecteur-vitesse et du
vecteur-accélération en coordonnées polaires.
- Identifier les liens entre les composantes du vecteur-accélération, la courbure de la trajectoire, la norme du vecteur-vitesse et sa variation temporelle. Situer qualitativement la direction du vecteur-accélération dans la
concavité d’une trajectoire plane.
- Utiliser les forces usuelles (tension d’un fil)
- Établir l’équation du mouvement du pendule simple.
- Justifier l’analogie avec l’oscillateur harmonique dans le cadre de l’approximation linéaire.
- Établir l’équation du portrait de phase (intégrale première) dans ce cadre
et le tracer.
En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Table des matières
1 La cinématique du point en coordonnées cylindriques
1.1 Introduction expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Description des coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Les vecteurs cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3
2 Descriptions de mouvements en coordonnées
2.1 Mouvement circulaire uniforme . . . . . . . . .
2.2 Mouvement circulaire non uniforme . . . . . .
2.3 Coordonnées cylindriques ou cartésiennes ? . .
cylindriques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
4
3 Le pendule simple
3.1 La force de tension d’un fil inextensible
3.2 Dynamique du pendule simple . . . . .
3.3 Étude des petites oscillations . . . . . .
3.4 Tracé du portrait de phase . . . . . . .
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5
5
5
6
6
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Jusqu’à présent, tous les problèmes de mécanique que nous avons étudié l’ont étés en coordonnées
cartésiennes. Toutefois, ces coordonnées ne sont pas du tout adaptées à l’étude de nombreux mouvements,
notamment les mouvements de rotation. Nous allons donc étudier les coordonnées cylindriques, déjà évoquées en SII, pour ensuite étudier un problème classique, celui du pendule simple.
1
1.1
La cinématique du point en coordonnées cylindriques
Introduction expérimentale
Expérience 1 : Mesure de l’accélération d’un mouvement circulaire à l’aide d’un accéléromètre. Cette mesure est possible avec de nombreux smartphone via des applications gratuites
rendant visibles les mesures des accéléromètres intégrés dans tous les smartphones.
Maxime Champion - www.mchampion.fr
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Maxime Champion
Mécanique 3 : Mécanique en coordonnées cylindriques
Un accéléromètre est tenu à bout de bras et l’on effectue un mouvement de rotation du bras la plus
uniforme possible. L’accéléromètre permet la mesure des accélérations parallèle et orthogonale au bras.
On constate expérimentalement que l’accélération orthogonale est quasi-nulle alors que celle parallèle
est quasi-constante au cours du temps. Pour le comprendre, représentons les variations du vecteur vitesse
au cours du temps pour un mouvement circulaire uniforme. Par définition, la vitesse est toujours tangente
à la trajectoire qui est une portion de cercle.
#”
M4 v 3
×
#”
v4
#”
v5
M5
×
#”
a4
#”
a5
M6 ×
#”
a6
#”
v6
Trajectoire
M3 #”
v2
×
#”
a3
#”
a
O•
×M2
#”
v1
2
#”
a1
×M1
Fig. 1 – Tracé des vecteurs cinématiques sur une portion de trajectoire circulaire. Le vecteur vitesse reste
constamment tangent à la trajectoire. On constate alors que le vecteur accélération est dirigé vers le centre O
du cercle. On rappelle que le vecteur accélération « tire » le vecteur vitesse pour le disposer comme le vecteur
−−→
vitesse suivant. Le vecteur accélération est constamment selon le vecteur OM .
Si l’on souhaite décrire ce mouvement dans le plan de coordonnées (x, y), on a évidemment l’équation
−−→
du cercle qui impose x2 + y 2 = R2 avec R le rayon du cercle. Ainsi, la grandeur r = ||OM || est conservée.
Plutôt que repérer la trajectoire avec x et y, on va donc repérer la trajectoire avec la longueur r et un
certain angle qui permet de décrire la rotation.
1.2
Description des coordonnées cylindriques
Définition. On définit les coordonnées cylindriques comme représenté sur la figure 2. Un point M est
défini par les coordonnées r, θ et z.
Le repère est défini par la base orthonormée directe constituée des vecteurs ( #”
e r , #”
e θ , #”
e z ). Le vecteur #”
ez
−−→
#”
est dirigé le long du vecteur OM et le vecteur e θ lui est orthogonal dans le sens des θ croissants. Ces
vecteurs sont mobiles avec le mouvement du point M .
Dans le plan (x, y), la base ( #”
e r , #”
e θ ) est appelée base polaire.
Le point M est alors défini par le vecteur
−−→
OM = r #”
e r + z #”
ez .
L L L Attention ! La coordonnées θ n’apparaît pas explicitement dans le vecteur position.
z
y
z
#”
er
#”
eθ
M
H
r
#”
ez
O
r
θ
x
H
#”
eθ
#”
e
θ
y
O
r
−−→
Fig. 2 – Les coordonnées cylindriques OM = r #”
e r + z #”
ez .
On peut manipuler ces coordonnées à l’aide de l’animation [1].
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x
Maxime Champion
Mécanique 3 : Mécanique en coordonnées cylindriques
1.3
Les vecteurs cinématiques
Propriété. Le vecteur position est évidemment définit par
−−→
OM (t) = r(t) #”
e r + z(t) #”
ez .
Pour obtenir le vecteur vitesse, il faut dériver le vecteur position. Le vecteur #”
e z est le vecteur défini
dans la base cartésienne, il est donc fixe au cours du temps. Par contre, le vecteur #”
e r est défini selon la
position du point H, projeté orthogonal du point M . Ainsi, lors du mouvement, le point M se déplace,
donc le vecteur #”
e r change. Sa dérivée est donc non nulle.
I Dérivée des vecteurs de base
Pour exprimer les dérivées des vecteurs de base, nous allons utiliser les formules de changement de base
entre la base polaire et la base cartésienne.
#”
ey
#”
eθ
#”
er
θ(t)
O
#”
ex
Fig. 3 – Graphe de changement de base entre la base polaire et la base cartésienne.
On déduit immédiatement de la figure 3 les relations
#”
e r = cos θ(t) #”
e x + sin θ(t) #”
ez
et
#”
e θ = − sin θ(t) #”
e x + cos θ(t) #”
ez .
Ainsi, les vecteurs cartésiens étant fixe, on en déduit les dérivées des vecteurs de base
d #”
er
= −θ̇(t) sin θ(t) #”
e x + θ̇ cos θ(t) #”
e z = θ̇ (− sin θ(t) #”
e x + cos θ(t) #”
e z)
dt
et
d #”
eθ
= −θ̇ cos θ(t) #”
e x − θ̇ sin θ(t) #”
e z = −θ̇ (cos θ(t) #”
e x + sin θ(t) #”
e y) .
dt
Propriété. On retiendra que les dérivées des vecteurs de la base polaires valent
d #”
er
= θ̇(t) #”
eθ
dt
et
d #”
eθ
= −θ̇(t) #”
er .
dt
(1.1)
Remarque : Pour se souvenir de ces formules, on peut remarquer que la dérivée d’un vecteur
polaire correspond à la rotation de vecteur de l’angle π/2 multiplié par θ̇(t).
I Vecteurs vitesses et accélération
À l’aide des relations (1.1), on peut calculer les vecteurs vitesse et accélération. Le vecteur vitesse est
défini par
−−→
dOM (t)
d
#”
v (t) =
=
(r(t) #”
e r + z(t) #”
e z) ;
dt
dt
dr(t) #”
d #”
er
dz(t) #”
d #”
ez
=
e r + r(t)
e z + z(t)
+
;
dt
dt
dt
dt
= ṙ(t) #”
e r + r(t)θ̇(t) #”
e θ + ż(t) #”
ez .
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Maxime Champion
Mécanique 3 : Mécanique en coordonnées cylindriques
De même, le vecteur accélération se calcule par
d #”
v (t)
d #”
ṙ(t) #”
e r + r(t)θ̇(t) #”
e θ + ż(t) #”
ez ;
a (t) =
=
dt
dt
dṙ(t) #”
d #”
er
dr(t)
dθ̇(t) #”
d #”
eθ
dż(t) #”
d #”
ez
=
e r + ṙ(t)
+
θ̇(t) #”
e θ + r(t)
e θ + r(t)θ̇(t)
+
e z + ż(t)
;
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
= r̈(t) #”
e r + ṙ(t)θ̇(t) #”
e θ + ṙ(t)θ̇(t) #”
e θ + r(t)θ̈(t) #”
e θ − r(t)θ̇(t)2 #”
e r + z̈(t) #”
ez ;
= r̈(t) − r(t)θ̇(t)2 #”
e + 2ṙ(t)θ̇(t) + r(t)θ̈(t) #”
e + z̈(t) #”
e .
r
z
θ
Propriété. Les vecteurs cinématiques vitesse et accélération en coordonnées cylindriques sont données par
#”
v (t) = ṙ(t) #”
e r + r(t)θ̇(t) #”
e θ + ż(t) #”
ez ;
et
#”
a (t) = r̈(t) − r(t)θ̇(t)2 #”
e r + 2ṙ(t)θ̇(t) + r(t)θ̈(t) #”
e θ + z̈(t) #”
ez .
Remarque : Il est déconseillé de chercher à apprendre par cœur ces relations, par contre la
démonstration doit être parfaitement maîtrisée pour pouvoir les retrouver très rapidement.
2
2.1
Descriptions de mouvements en coordonnées cylindriques
Mouvement circulaire uniforme
Considérons un mouvement circulaire uniforme. Dans ce cas, on a pour tout temps, r(t) = R et θ̇(t) = Ω
la vitesse angulaire. Pour simplifier, on prendra une altitude constante z(t) = 0.
Application 1 : En déduire les vecteurs cinématiques en coordonnées polaires.
On constate que :
. la norme du vecteur vitesse v = || #”
v || = RΩ et la norme du vecteur accélération a = || #”
a || = RΩ2 sont
constantes ;
. le vecteur accélération est toujours dirigé vers le centre du cercle.
Sur cet exemple, on constate que même si l’accélération est constante en norme, comme le vecteur est
mobile, le mouvement n’est pas rectiligne.
2.2
Mouvement circulaire non uniforme
Considérons un mouvement circulaire non uniforme. Dans ce cas, on a pour tout temps, r(t) = R et
θ̈(t) 6= 0. Pour simplifier, on prendra une altitude constante z(t) = 0.
Application 2 : En déduire les vecteurs cinématiques en coordonnées polaires.
Cette fois, la norme de la vitesse et de l’accélération ne sont plus constantes, comme on peut le constater
sur l’exemple de la figure 4. Le vecteur accélération n’est plus dirigée vers le centre du cercle. L’accélération est composée d’une composante radiale (vers le centre) qui provoque la rotation, mais aussi d’une
composante tangentielle, qui freine ou accélère la rotation.
2.3
Coordonnées cylindriques ou cartésiennes ?
Lors d’un problème de mécanique, il faut dès le départ choisir le système de coordonnées. Selon le
choix du système, le problème sera soit très simple, soit très complexe mathématiquement. Toutefois, si les
calculs sont corrects, les deux systèmes de coordonnées conduisent au même mouvement, le mouvement
physique réel ne dépend en effet pas du choix du physicien pour l’étudier.
On retiendra que l’on choisit les coordonnées
. cartésiennes pour étudier des translations et des mouvements rectilignes ;
. cylindriques pour étudier des rotations.
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Maxime Champion
Mécanique 3 : Mécanique en coordonnées cylindriques
Fig. 4 – Un mouvement circulaire non uniforme : l’accélération est toujours dans la concavité de la trajectoire,
mais elle n’est pas dirigée vers le centre du cercle.
3
3.1
Le pendule simple
La force de tension d’un fil inextensible
Définition. Considérons une masse m suspendue au bout d’un fil inextensible et supposé sans masse. On
note O le point d’accroche du fil.
#”
La tension du fil T est la force exercée par le fil sur la masse, si
. le fil est détendu, cette force est nulle ;
#”
. le fil est tendu, la force T est colinéaire au fil et dirigée vers le point d’accroche O.
O
×
O
×
#”
T
•
m
•
m
Fil détendu : pas de force.
Fil tendu : la masse subit une force dirigée vers O.
Si on remplace le fil par une tige inextensible et sans masse, tout se passe comme-ci nous étudions un fil
toujours tendu.
L L L Attention ! Cette force dépend du mouvement (elle n’est généralement pas constante) et est quasi-
ment tout le temps une inconnue du problème. Son expression se déduit généralement de l’étude dynamique
en exprimant le fait que la masse reste au bout du fil.
Remarque : Un fil tendu transmet intégralement la force. Ainsi, par le principe des actions
#”
réciproques, le point d’accroche subit la force − T .
3.2
Dynamique du pendule simple
Plaçons nous dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Étudions, le pendule simple représenté
figure 5. Le pendule est constitué d’une masse m au bout d’une tige inextensible et sans masse de longueur
`. Pour étudier ce mouvement, nous plaçons naturellement en coordonnées cylindriques.
Le mouvement est plan, on prendra donc en chaque instant z(t) = 0.
Bilan des forces :
. le poids #”
p = m #”
g = mg cos θ(t) #”
e r − mg sin θ(t) #”
eθ;
#”
#”
. la tension du fil T = −T (t) e r .
Seconde loi de Newton : On applique le principe fondamental de la dynamique, soit
#”
m #”
a = #”
p +T .
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Maxime Champion
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O
`
θ
#”
T
#”
eθ
M
#”
er
x
#”
P
Fig. 5 – Le pendule simple
−−→
Vecteurs cinématiques : Le vecteur position est donné par OM (t) = r(t) #”
e r . On en déduit après
calcul le vecteur accélération
#”
a (t) = r̈(t) − r(t)θ̇(t)2 #”
e r + 2ṙ(t)θ̇(t) + r(t)θ̈(t) #”
e θ = −`θ̇(t)2 #”
e r + `θ̈(t) #”
eθ ,
où l’expression a été simplifiée en utilisant r(t) = `.
Projection : En utilisant l’expression de l’accélération, on peut réécrire la seconde loi de Newton
−m`θ̇(t)2 #”
e r + m`θ̈(t) #”
e θ = mg cos θ(t) #”
e r − mg sin θ(t) #”
e θ − T (t) #”
er .
Cette expression vectorielle se projette en deux relations
−m`θ̇(t)2 = mg cos θ(t) − T (t) ;
m`θ̈(t) = −mg sin θ(t) .
On en déduit l’expression de l’équation différentielle vérifiée par l’angle du pendule θ(t)
θ̈(t) +
g
sin θ(t) = 0 .
`
À notre niveau, nous ne connaissons pas de solutions analytiques à cette équation différentielle.
3.3
Étude des petites oscillations
L’équation différentielle précédente peut se simplifier dans le cadre des petites oscillations. On rappelle
le développement limité du sinus, lorsque l’angle est exprimé en radian, est sin x ≈ x. Cette expression
reste une bonne approximation jusqu’à environ 40°.
Dans ce cas, l’équation précédente devient simplement
g
θ̈(t) + θ(t) = 0 ,
`
soit l’équation de l’oscillateur harmonique.
Application 3 : Quelle est la période du mouvement pendulaire dans le cas des petites oscillations ?
On constate que cette période est indépendante de la valeur de la masse.
3.4
Tracé du portrait de phase
Pour l’étude des problèmes mécaniques, nous avons déjà introduit l’outil du portrait de phase. Dans le
cadre d’un système non linéaire, comme c’est le cas ici pour une oscillation quelconque, cet outil numérique
ou expérimental permet de décrire les mouvements possibles du système sans nécessairement avoir besoin
de résoudre explicitement l’équation du mouvement.
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Maxime Champion
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Dans le cadre du pendule, le portrait de phase est tracé dans le plan θ̇(t) et θ(t).
Pour cela, reprenons l’équation du mouvement et multiplions la par θ̇(t). Il vient
g
θ̇(t)θ̈(t) + θ̇(t) sin θ(t) = 0 .
`
On reconnaît deux dérivées, et il vient
1
g
E = θ̇(t)2 − cos θ(t)
2
`
où E est une constante du mouvement. Cette expression est l’intégrale première du mouvement. Cette
relation définie donc une relation entre θ̇ et θ. En prenant différentes valeurs de E, on peut tracer les
différentes trajectoires du portrait de phase (figure 6).
On constate trois types de trajectoires :
. des trajectoires ouvertes, correspondant à un mouvement de type fronde, la vitesse n’est jamais nulle ;
. des trajectoires allant d’un point d’équilibre à un autre, qui correspondent à une frontière entre les deux
types de trajectoires et sont quasiment impossible à réaliser physiquement ;
. des trajectoires fermées, correspondant à une oscillations du pendule. Plus les angles restent, plus la
trajectoire dans le portrait de phase sera proche d’une ellipse. En effet, si les angles restent faibles, plus
l’équation du mouvement sera proche de celle de l’oscillateur harmonique, qui est décrit par une ellipse
dans le portrait de phase.
Remarque : Ce portrait de phase sera détaillé à nouveau par la suite, quand nous aurons
étudié précisément la notion d’énergie en mécanique.
θ̇
•
•
θ
Fig. 6 – Tracé du portait de phase du pendule simple.
Références
[1] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Cinematique/coord_
cylindriques.php
7/7