XI-1) – Symétries de E et BI - Principe du champ

Cours : D – Electromagnétisme
XI – Symétries et Electrostatique
Sciences Physiques : PSI
XI-1) – Symétries de E et B
Ce chapitre va servir de socle à toute l'étude de
l'électromagnétisme, en introduisant la notion de champ
électromagnétique. Les propriétés de symétrie qui sont décrites ont
une portée générale, elles seront constamment utiles dans la suite.
I - Principe du champ électromagnétique
I-1) Interactions à distance
En parallèle avec l'interaction gravitationnelle de deux corps
matériels, régie par la loi de Newton, le cours de première année a
permis de présenter la force mutuelle exercée par deux particules (P
et Q) immobiles, portant une charge électrique.
La comparaison des lois de Coulomb et de Newton met en
évidence certaines propriétés communes :
- La direction qui, conformément à l'isotropie de l'espace, est
suivant la droite joignant les deux particules ;
- La décroissance inversement proportionnelle au carré de la
distance ;
- Le caractère attractif ou répulsif de l'interaction selon le signe du
produit des charges, dans le cas de la loi de Coulomb, l'attraction
systématique pour la gravitation.
I-2) Action du champ
Dans le cas de l'électromagnétisme, cette description en termes
d'interaction à distance pose toutefois problème, lorsqu'on désire
bâtir une théorie complète, s'étendant aux régimes variables au
cours du temps :
Laurent Pietri
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- A quel instant et comment doit être prise en compte, au niveau
de la particule Q, une modification des propriétés (position,
scission en plusieurs particules...) de la particule P ?
- Comment peut-on décrire le transfert énergétique, puisque la
force subie par la particule Q travaille lors d'un déplacement ?
a) Création du champ
On doit au physicien Michael Faraday la description en deux
temps de l'interaction électromagnétique.
Une distribution D de charges et de courants crée dans tout
l'espace un champ électromagnétique. Nous écrirons, en un point M
quelconque et à l'instant t :
signifiant par là que ces deux entités doivent être considérées
conjointement.
b) Action sur une particule
Une particule portant la charge q0, animée de la vitesse dans
le référentiel d'étude, subit une force due au champ qui règne à
l'endroit où elle se trouve. Ainsi donc, lorsque la particule est à
l'instant t en un point Mo, elle subit la force de Lorentz :
Laurent Pietri
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L'existence d'un champ dans tout l'espace, indépendamment de
la présence d'une particule test au point considéré, n'est pas
intuitive. Historiquement, Michael Faraday l'a étayée par
l'expérience, consistant à visualiser le spectre du champ magnétique
à l'aide de limaille de fer. Les petits brins de limaille s'orientent selon
les lignes de champ, rendant visibles celles-ci.
I-3) Propriétés attendues pour le champ électromagnétique
a) Aspect temporel
Lors d'une modification des propriétés de la distribution, le
champ alentour évolue de proche en proche. La particule test, placée
en Mo, ne constate de changement que lorsque le champ au point où
elle se trouve a été corrigé.
On admet alors sans difficulté qu'un retard puisse avoir lieu et
on accepte d'autant mieux cette description qu'on a pu observer sur
un lac les vagues formées par le passage d'un bateau. On ne ressent
le sillage qu'après un certain laps de temps.
Laurent Pietri
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b) Aspect énergétique
Concernant les aspects énergétiques, si l'on admet qu'il puisse y
avoir de l'énergie là où il y a du champ, on conçoit que l'énergie
cinétique de la particule soit modifiée.
D'autres cessions d'énergie par le champ vers les porteurs de
charge seront rencontrées. L'effet Joule qui se manifeste dans une
résistance parcourue par un courant électrique est une des
manifestations de ce transfert énergétique.
II - Découplage en régime stationnaire
II-1) Régime stationnaire
L'électromagnétisme s'applique à une très grande variété de
phénomènes et possède de nombreux domaines d'application, qu'il
s'agisse de la création d'un champ magnétique permanent très
intense dans un appareil d'imagerie médicale, ou de la réception de
signaux variant à la fréquence 1 800 MHz sur une antenne de
téléphone portable. On distingue ainsi :
- Les régimes stationnaires (i.e. indépendants du temps) dans
lesquels le champ électromagnétique est invariant dans le
temps en tout point. Il n'est alors fonction que des seules
variables d'espace. On rencontre ce régime lorsque les
propriétés de la distribution créant le champ sont elles-mêmes
indépendantes du temps ;
- Les régimes variables, où les champs sont fonctions du temps,
en plus de dépende du point de l'espace.
Dans le cas stationnaire on admet, à ce stade de l'étude, que la
création du champ électrique et celle du champ magnétique sont
indépendantes.
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En régime stationnaire, il apparaît un découplage des
équations relatives au champ électrique d'une part et au champ
magnétique d'autre part. On peut donc mener séparément leur
étude :
- L'électrostatique traite du champ électrique stationnaire ;
- La magnétostatique concerne le champ magnétique constant.
II-2) Électrostatique
- Un champ électrique stationnaire est engendré par une
distribution de particules chargées fixes. On parle de champ
électrostatique, pour souligner l'absence de variation dans le
temps.
- Une autre manière de produire un champ électrostatique
consiste à appliquer une différence de potentiel constante entre
des armatures métalliques fixes. Un tel procédé a été envisagé
pour dévier un faisceau de particules, dans le cours de première
année. Le champ électrique constant ainsi appliqué exerce une
force sur les particules chargées en mouvement :
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L'étude du condensateur plan montrera toutefois que les
charges opposées apparaissant sur les armatures peuvent être vues
comme les sources de ce champ.
II-3) Magnétostatique
On peut produire un champ magnétique stationnaire à l'aide
d'une distribution de courant électrique, circulant dans des fils
immobiles, avec une intensité constante.
On parle de champ magnétostatique, pour préciser que le
champ est constant dans le temps en tout point.
Une particule test de charge qo, en mouvement dans le champ
magnétostatique ainsi créé, subit la force :
Une autre manière de produire un champ magnétostatique
consiste à utiliser un aimant permanent immobile.
III - Les symétries du champ
III-1) Principe de Curie
Imaginons deux chevaux tirant une péniche le long d'un canal
rectiligne. On suppose que les deux cordes ont même longueur, que
les chevaux exercent le même effort et que la péniche se trouve au
milieu du canal.
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Le plan vertical passant par le milieu du canal est un plan de
symétrie pour le problème : il délimite deux demi-espaces
parfaitement symétriques. Si la vitesse initiale de la péniche est
dirigée dans ce plan, son mouvement ultérieur reste à mi-chemin des
deux rives, aussi longtemps que la symétrie n'est pas rompue.
Considérant cette simple observation, qui pourrait être
multipliée sans fin, nous nous contenterons ici d'un énoncé très
simple du principe de Curie :
Dans une expérience de physique, les effets présentent
au moins les symétries des causes.
Dans le petit exemple ci-dessus, la symétrie des causes se traduit
par l'existence de deux forces symétriques exercées par les chevaux
(la force de traînée due au déplacement dans l'eau et les poids et
poussée d'Archimède respectent également cette symétrie).
La symétrie des effets se manifeste par l'existence d'une accélération
dirigée longitudinalement, c'est-à-dire dans le plan de symétrie. Le
mouvement qui s'ensuit respecte encore cette symétrie (la vitesse
initiale est dirigée dans le plan).
La présence du terme « au moins » dans l'énoncé du principe
est indispensable, car les effets peuvent présenter plus de symétrie
que les causes. En effet, le même mouvement de la péniche peut
être obtenu avec deux chevaux exerçant des forces différentes, si
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l'on choisit des cordes de longueurs distinctes de telle sorte que la
projection des forces orthogonales à l'axe du canal soit nulle.
Ces considérations, en apparence évidentes, permettent en fait
d'apporter un éclairage intéressant sur l'ensemble des lois de la
physique.
III-2) Propriétés relatives au champ électrique
Dans la création du champ électrique par une distribution de
charges, on peut rencontrer des situations de symétrie, voire
d'antisymétrie.
a) Symétrie
Un plan est plan de symétrie pour une distribution de charges, si
la répartition est constituée de couples de points A et A', symétriques
par rapport à P, porteurs de charges identiques.
Autrement dit, pour que P soit plan de symétrie pour une
distribution de charge, il faut que pour tout point A portant une
charge q, le point A' symétrique de A par rapport à P porte la même
charge q.
Envisageons une particule test de charge qo placée soit en un
point M, soit en son symétrique M'. Pour satisfaire le principe de
Curie, les forces
et
sont nécessairement
symétriques par rapport à P.
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On en déduit que les champs
par rapport à P.
et
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sont symétriques
Un champ électrostatique possède les mêmes plans de
symétrie que la distribution de charges qui le crée.
Lignes de champ d’une distribution symétrique
b) Antisymétrie
Un plan P est plan d'antisymétrie pour une distribution de
charges, si tous les couples de points A et A' symétriques par rapport
à P portent des charges opposées.
L'utilisation du principe de Curie conduit à la proposition
suivante : si un plan P est plan d'antisymétrie pour une distribution
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de charges, les valeurs du champ électrique créé en des points M et
M', situés symétriquement par rapport à P, sont antisymétriques.
Ceci signifie que si l'on note
le symétrique de
par rapport à P, le champ
est l'opposé de
:
On parle alors de plan d'antisymétrie pour le champ.
Un champ électrostatique possède les mêmes plans
d'antisymétrie que la distribution de charges qui le crée.
Lignes de champ d’une distribution antisymétrique
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c) Conclusion
- Le champ électrostatique créé par une distribution de
charge est symétrique par rapport à un plan de symétrie
de la distribution de charge ;
- Le champ électrique créé par une distribution de charge
est antisymétrique par rapport à un plan d'antisymétrie
de la distribution de charge ;
- Si le point M appartient à un plan de symétrie P de la
distribution de charge, le champ électrostatique en M a
une direction incluse dans P ;
- Si le point M appartient à un plan d'antisymétrie P de la
distribution de charge, le champ électrique en M est
perpendiculaire à P.
Pour connaître la direction en un point M du champ
électrique, on cherche les plans de symétrie et d'antisymétrie
de la distribution de charges qui contiennent M.
III-3) Propriétés relatives au champ magnétique
a) Symétrie et antisymétrie d'une distribution de courants
Pour définir les notions de symétrie ou d'antisymétrie pour une
distribution de courants, il faut tenir compte du sens de circulation
(signe de l'intensité).
Ainsi, le plan contenant l'axe d'une spire parcourue par un
courant d'intensité constante est un plan d'antisymétrie pour les
courants.
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Tandis que le plan de la spire est un plan de symétrie pour la
distribution de courant.
b) Conséquences sur le champ magnétique
On considère la situation magnétostatique de la figure, pour
laquelle la distribution de courant est supposée symétrique par
rapport au plan P. On souhaite déterminer la nature des symétries
relatives au champ magnétostatique créé.
Une particule de charge q0 est supposée tantôt en M, animée
d'une vitesse , tantôt en M' animée de
symétrique de par
rapport à P. Puisque la distribution admet P comme plan de
symétrie, la composante magnétique de la force de Lorentz doit
présenter la même symétrie.
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Or, du fait de la présence du produit vectoriel dans l'écriture de
la force :
, le champ magnétique ne peut être
symétrique par rapport à P. Au contraire, comme le montre le
schéma de la figure, c'est un champ magnétique antisymétrique par
rapport à P qui convient.
Fondamentalement, c'est la sensibilité du produit vectoriel à
l'orientation de l'espace qui est responsable de cette modification
des propriétés.
Les propriétés de symétrie d'une distribution de courants se
traduisent, sur le champ magnétostatique créé, par des
antisymétries.
Pour les mêmes raisons, on obtient la propriété transposée
suivante :
Une antisymétrie pour une distribution de courants devient
une symétrie pour le champ magnétostatique créé.
c) Conclusion
Lignes de champ magnétique créées par une spire circulaire.
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- Le champ magnétique créé par une distribution de
courants permanents est antisymétrique par
rapport à un plan de symétrie de la distribution de
courants ;
- Le champ magnétique créé par une distribution de
courants permanents est symétrique par rapport à
un plan d'antisymétrie de la distribution de
courants ;
- Si le point M appartient à un plan de symétrie de la
distribution de courant, le champ magnétique en M
a une direction perpendiculaire à ce plan;
- Si le point M appartient à un plan d'antisymétrie de
la distribution de courant, alors le champ
magnétique en M a une direction incluse ce plan.
Quand on veut déterminer la direction du champ magnétique
en un point M, il faut déterminer des plans de symétrie ou
d'antisymétrie de la distribution qui passent par ce point M.
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