Fichier ch11

La force de Lorentz
(Cours XIV)
Une particule ponctuelle de charge q, animée d’une vitesse !v (t) dans un référentiel
! est soumise à une force
inertiel et plongée dans un champ magnétique B
!.
F! = q!v × B
(38)
Cette force est appelée la force de Lorentz. Dans (38), le champ magnétique est bien
sûr évalué au point M où se trouve la particule à l’instant t considéré. D’une manière
empirique, la formule (38) peut en fait être vue comme définissant le champ magnétique : on observe que les particules chargées animées d’une vitesse non-nulle peuvent
être soumises à une force de la forme (38), et on appelle champ magnétique le champ
! qui intervient dans la formule pour la force.
de vecteurs B
1. Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique
On considère une particule ponctuelle de masse m et de charge q, plongée dans
!
un champ magnétique B.
1. (*) Montrer que le module |!v | de la vitesse de la particule est une constante
(pour démontrer ce résultat, on ne fera aucune hypothèse sur la forme du champ
magnétique, qui n’est a priori ni uniforme ni constant).
2. Le but de cette question est de démontrer des résultats généraux qui pourront
être utilisés dans la suite. On considère un vecteur !a(t) qui satisfait à l’équation
différentielle
d!a
= !ω (t) × !a(t) ,
(39)
dt
où !ω (t) est un vecteur qui peut a priori dépendre du temps.
(a) Montrer que si P et Q sont deux points d’un solide animé d’un mouvement
−→
quelconque, alors le vecteur P Q satisfait à une équation du type (39). À
quoi correspond le vecteur !ω (t) dans ce cas ?
(b) Montrer que (39) implique que |!a| ne dépend pas du temps.
−→
(c) On représente le vecteur !a comme !a = OP , où O est un point fixe. Caractériser le lieu des points de l’espace où le point P peut se déplacer.
(d) On suppose maintenant que !ω (t) = ω(t)!uz où !uz est un vecteur unitaire
−→
fixe. Montrer que !a · !uz est une constante. Si !a = OP comme dans la
question précédente, caractériser le lieu des points de l’espace où le point
P peut se déplacer.
43
(e) On introduit un système de coordonnées cartésiennes (O, !ux , !uy , !uz ) et on
suppose que ω = ω!uz , où ω est une constante. Calculer les composantes
−→
du vecteur !a en fonction de t. Si !a = OP , quel est le mouvement du point
P?
3. On étudie le mouvement de la particule de charge q et de masse m dans le cas
! est uniforme et constant.
où le champ magnétique B
(a) Montrer que la vitesse !v (t) de la particule satisfait à une équation différentielle de la forme (39), pour un vecteur !ω que l’on calculera. On décompose
la vitesse de la particule en une composante parallèle et une composante
perpendiculaire au champ magnétique, !v = !v! + !v⊥ . Décrire l’évolution de
!v! et de !v⊥ au cours du temps.
(b) En introduisant un système de coordonnées cartésiennes (O, !ux , !uy , !uz ) tel
! = B!uz , calculer la trajectoire la plus générale possible pour la
que B
particule (on donnera les fonctions x(t), y(t) et z(t)). En déduire que le
mouvement le long de l’axe du champ magnétique est uniforme. En déduire également que la projection de la trajectoire sur un plan orthogonal
au champ magnétique est un cercle de rayon R parcouru à une vitesse
angulaire constante ω. On exprimera R et ω en fonction de m, q, B et |!v⊥ |.
(c) Dessiner la trajectoire (en indiquant le sens du mouvement) dans le cas
où B > 0 pour une particule chargée positivement et pour une particule
chargée négativement.
4. Expliquer comment le résultat de la question précédente permet de deviner
l’allure qualitative du mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique non-uniforme, ceci sous certaines hypothèses à discuter.
2. Quelques applications
1. La Terre crée un champ magnétique qui, mathématiquement, a exactement la
même forme que celui d’un champ électrique dipolaire, le dipôle magnétique
terrestre étant orienté approximativement du pôle Nord vers le pôle Sud.
(a) Expliquer qualitativement pourquoi ce champ magnétique protège la surface de la Terre du vent solaire.
(b) Expliquer qualitativement le phénomène des aurores boréales et australes.
2. Expliquer le principe de fonctionnement d’un spectromètre de masse. Quel est
l’intérêt d’un tel appareil ?
44
B
!
Fig. 1 – Trajectoire d’une particule chargée dans un champ magnétique B.
3. (*)
! uniforme et constant et on considère
(a) On applique un champ magnétique B
le mouvement de particules chargées, de charges q et de masse m, dans
! Quel est le temps mis par une particule pour
un plan orthogonal à B.
effectuer un tour complet ? Ce temps dépend-il du rayon de la trajectoire
de la particule considérée ?
(b) Expliquer le principe de fonctionnement d’un synchrotron.
4. (*) Un cyclotron est un appareil qui permet de confiner des particules chargées
animées d’une très grande vitesse dans une région finie de l’espace, en appliquant un champ magnétique. C’est comme cela que fonctionne en particulier les
accélérateurs de particules utilisés pour sonder la structure de la matière aux
distances sub-nucléaires. On considère des accélérateurs de protons. L’accélérateur A a une énergie de 50 MeV et utilise un champ magnétique de un Tesla,
l’accélérateur B a une énergie de 500 GeV et utilise un champ magnétique de
1.5 T (c’est le Fermilab à Chicago) et l’accélérateur C (le LHC au CERN) a une
énergie de 7 TeV et utilise un champ magnétique de 5.5 T. Calculer le rayon de
l’anneau dans lequel circule les protons pour ces trois accélérateurs. Pour faire
le calcul, on pourra utiliser les formules relativistes donnant le rayon R de la
trajectoire et l’énergie E de la particule :
R=
m|!v |
mc2
, E=!
! ⊥
·
|qB| 1 − |!v |2 /c2
1 − |!v |2 /c2
45
(40)
Montrer que la limite non-relativiste des formules (40) donne bien les résultats
attendus. (Réponses : RA = 1.02 m, RB = 1.1 km et RC = 4.2 km)
5. (*) On observe la trajectoire d’une particule chargée dans une chambre à bulles,
voir Figure 1. La chambre est plongée dans un champ magnétique uniforme et
constant orienté comme indiqué sur le dessin (il sort de la feuille). La barre noire
dans la chambre à bulle est une barre de plomb qui ralentit les particules qui la
traverse.
(a) Quel est le sens de la trajectoire de la particule (se déplace-t-elle de bas en
haut ou de haut en bas) ?
(b) La particule semble avoir toutes les caractéristiques d’un électron (ceci
peut se déduire par exemple à partir de la longueur de la trace), mais
peut-il réellement s’agir d’un électron ? Cette expérience est à la base d’une
découverte fondamentale faite par Carl Anderson en 1932 : laquelle ?
46