8) Addition de moments cinétiques

Mécanique Quantique PHYS-F-302
Titulaire : Prof. Frank Ferrari
Suppléant : Antonin Rovai
8) Addition de moments cinétiques
Exercice 1 Calculer les coefficients de Clebsch-Gordan par un calcul direct pour les
produits tensoriels d’une représentation de spin j quelconque avec la représentation
de spin 1/2 d’une part, et pour le produit tensoriel de la représentation de spin 1 avec
elle-même d’autre part. Vous préciserez les conventions utilisées, et vous comparerez
vos résultats à la table de coefficients distribuée en cours.
Exercice 2 Le but de l’exercice est d’étudier certains aspects de la structure hyperfine et l’effet Zeeman d’une molécule diatomique paramagnétique.
~ ainsi que les deux noyaux de spins
On considère l’électron célibataire de spin S
I~1 et I~2 d’une molécule homonucléaire diatomique paramagnétique. On suppose que
les trois spins valent 1/2. L’espace produit tensoriel des trois spins est rapporté à
une base orthonormée formée des kets |; 1 , 2 i = |i ⊗ |1 , 2 i, = ±1, i = ±1,
vecteurs propres des opérateurs Sz , I1z et I2z de valeurs propres ~/2, 1 ~/2 et 2 ~/2
respectivement.
L’hamiltonien du système plongé dans un champ magnétique B parallèle à l’axe
(Oz) est de la forme
H = HZ + HH ,
(1)
où les hamiltoniens hyperfins et Zeeman sont donnés par les formules
~ · I~1 + a S
~ · I~2 ,
HH = a S
HZ = ΩSz + ωI1z + ωI2z .
(2)
Le couplage a est une constante positive, a~/(2π) ' 1 GHz, et on a négligé le couplage
direct entre les spins nucléaires. Les pulsations Ω et ω sont positives et proportionnelles à |B|.
1) On se place tout d’abord en champ magnétique nul.
a) Soit I~ = I~1 + I~2 le spin nucléaire total. Quelles sont les valeurs propres de
I~2 et leur degré de dégénérescence ? Exprimer les vecteurs propres de I~2 et
Iz , notés |i, iz i, en fonction des kets |1 , 2 i.
1
~ + I~ le spin total. Quelles sont les valeurs propres de J~2 et leur
b) Soit J~ = S
degré de dégénérescence ? Exprimer les vecteurs propres de I~2 , J~2 et Jz ,
notés |i, j, jz i, en fonction des kets |; 1 , 2 i.
~ 2 et I~2 et en déduire le
c) Exprimer l’hamiltonien HH en fonction de J~2 , S
spectre énergétique du système en champ nul.
2) On étudie maintenant l’effet du champ magnétique sur les niveaux précédents.
Quel est l’ordre de grandeur de Ω/(2π) et de ω/(2π) pour un champ de un tesla ?
Dans quelles conditions les deux termes HH et HZ du hamiltonien pourront-ils
être traités comme une perturbation l’un de l’autre ?
3) On se place d’abord dans le domaine des champs magnétiques forts.
a) Quels sont les vecteurs propres et les énergies propres de HZ ? Tracer le
diagramme des niveaux d’énergie en fonction de |B| dans ce domaine de
champ en précisant le degré de dégénérescence de chaque niveau.
b) Quels sont, au premier ordre en perturbation, les vecteurs propres et les
énergies propres de H ? Tracer le diagramme d’énergie. (On pourra introduire les opérateurs S± = Sx ± iSy etc...).
4) Dans le cas des champs faibles, c’est HZ qui peut être traité comme une perturbation devant HH . Trouver le diagramme d’énergie du système en fonction
de |B| au premier ordre de la théorie des perturbations.
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