Exercices ondes électromagnétiques

Exercices ondes électromagnétiques
1 Equations de Maxwell
1.1 Charge d’un condensateur plan
On considère on condensateur plan pour lequel on néglige les effets de bord. Ce
condensateur est chargé grâce à un courant d'intensité i(t). On veut étudier le
champ électromagnétique dans la zone située entre les armatures (r < R).
1°) Déterminer le courant de déplacement entre les deux armatures.
2°) En déduire l’expression du champ magnétique entre les deux armatures.
1.2 Couplage des champs en régime variable
1°) Ecrire les équations de Maxwell dans une région sans charge ni courant.
2°) Quelle forme prennent-elles dans le cas où
et
? En déduire le couplage qui apparaît entre les fonctions f et g.
1.3 Champ électromagnétique
On considère le champ électrique suivant, régnant dans une partie de l’espace vide de courants.
avec
.
1°) Vérifier la compatibilité de cette expression avec les équations de Maxwell.
2°) Déterminer le champ magnétique associé.
1.4 Conducteur ohmique
On considère un conducteur ohmique de conductivité  = 107 S.m−1.
1°) Donner l'équation de Maxwell Gauss et les expressions locales de la loi d'Ohm et de la loi de
conservation de la charge. En déduire que la densité volumique de charge (M,t) vérifie l'équation
différentielle locale d / dt +  /  = 0 avec  =  / 0.
2°) On appelle  le temps de relaxation du conducteur. Intégrer l'équation précédente avec la condition
initiale (M,0) = 0.
3°) Dans un conducteur en équilibre électrostatique la densité volumique de charge est nulle, en considérant
la valeur numérique de , que pensez vous de cette propriété en régime dépendant du temps ?
2 Energie électromagnétique
2.1 Dimensions
En utilisant l’expression de la densité volumique de force de Lorentz et la relation de Maxwell-Gauss,
vérifier que
a bien les dimensions d’un densité volumique d’énergie.
2.2 Conducteur en régime stationnaire
On étudie le bilan d’énergie pour un tronçon cylindrique de fil conducteur de longueur L, de rayon a et de
conductivité  , parcouru par un courant d’intensité I.
1°) Ecrire l’équation de conservation de l’énergie.
2°) Calculer chaque terme et l’interpréter.
2.3 Condensateur en régime lentement variable
Les armatures d’un condensateur plan sont deux disques de rayon a, distants de e, d’axe Oz. On néglige les
effets de bord et on suppose le régime lentement variable. On admet que le champ électrique dans le
condensateur est uniforme mais non permanent :
. On étudie la décharge du condensateur
.
1°) Déterminer le champ magnétique dans le condensateur. On montrera, par étude des symétries, qu’il est
de la forme
.
2°) Calculer les contributions électrique et magnétique Ue et Um à l’énergie électromagnétique, ainsi que leur
rapport que l’on exprimera en fonction de a et de  = c . Montrer qu’en régime lentement variable
(préciser), on peut considérer le condensateur comme un système purement électrique.
3°) Donner l’expression du vecteur de Poynting en un point intérieur au condensateur. Exprimer le flux de
à travers la surface latérale S du condensateur. Conclure.
2.4 Ligne coaxiale
Une ligne coaxiale est constituée de deux cylindres C1 et C2 infinis d’épaisseur très faible, de rayons a et b,
parcourus par des courants d’intensité I et –I. On note V1 et V2 les potentiels des deux cylindres et on néglige
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toute chute de tension le long de la ligne.
1°° Calculer le vecteur de Poynting en tout point situé entre les conducteurs.
2°) En déduire l’expression du flux de ce vecteur à travers un plan de section droite. Exprimer en fonction de
V1, V2 et I. Conclure.
2.5 Plaque conductrice dans un champ magnétique variable
Une plaque infinie dans les directions Oy et Oz est placée dans un champ magnétique
.
Elle possède une conductivité électrique  et son épaisseur est e (elle est située entre les plans x =− e/2 et
x =+ e/2). On se place dans le cadre de l’ARQS, en RSF et on travaille en notation complexe, on cherchera
et sous la forme
et
1°) Montrer que le champ magnétique vérifie l’équation :
2°) En supposant que le champ en x=  e/2 s’écrit, en notation complexe,
,
déterminer la distribution de courant volumique au sein de la plaque. On utilisera les fonctions
hyperboliques complexes.
2.6 Emission radioactive
Une masse radioactive ponctuelle, initialement neutre, située en un point O, émet à l’instant t = 0, des
particules , avec une vitesse v0 supposée constante et de façon isotrope. A l’instant t, la charge électrique
située en O est
.
1°) Déterminer le champ électrique
et le champ magnétique
pour t > 0. Commenter.
2°) Déterminer la densité volumique de charges (M,t) ainsi que la densité de courants
pour t > 0.
3°) Vérifier la compatibilité des résultats obtenus avec la relation locale de la conservation de la charge et
avec les équations de Maxwell. On donne pour un champ
en coordonnées sphériques :
4°) En déduire la densité d’énergie électromagnétique, le vecteur de Poynting et la puissance volumique
cédée aux charges. Commenter.
2.7 Résistance d’un métal à haute fréquence
L'espace étant rapporté à un repère orthonormé Oxyz direct, on considère un milieu conducteur occupant
entièrement le demi-espace défini par la partie positive de l'axe Ox, l'autre demi-espace étant vide. On
s'intéresse à la propagation dans ce
conducteur d'ondes électromagnétiques en
z
régime sinusoïdal de pulsation . Le
vide
métal
champ électrique E est parallèle à Oz et ne E z  x 
dépend que de x, le champ magnétique B
 0 , 0 , 
O
est parallèle à Oy et ne dépend lui aussi que B y  x 
x
de x. À la pulsation de travail , le
conducteur est caractérisé par sa
conductibilité électrique  ; sa permittivité diélectrique 0 (0 = 8,84.10-12 SI) et sa perméabilité magnétique
0 sont celles du vide. On prendra pour le cuivre  =6,0.107 S.m–1, supposé indépendant de la fréquence.
1°) Etablir l'équation différentielle vérifiée par dans le conducteur. Quel type d’équation obtient-on ?
2°) A l'interface x = 0, on pose
. Donner dans ces conditions l'expression du
champ
et celle de la densité de courant de
y
conduction
. On fera apparaître une longueur
z
caractéristique . Justifier le nom de profondeur de
pénétration donné à .
b
On utilise maintenant les résultats précédents pour
a
x
déterminer la résistance d'un conducteur en haute
fréquence. On considère à cet effet un conducteur
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parallélépipédique semi-infini selon Ox, de dimensions a parallèlement à Oz et b parallèlement à Oy. On
suppose que le champ électromagnétique a toujours la configuration de la figure précédente et que les
relations trouvées à la question 2°) sont encore applicables.
3°) Déterminer l'expression de l'intensité totale qui traverse le conducteur, en fonction de  , E0, b, ,  et du
temps t. Préciser l'expression de l'intensité efficace I.
4°) Déterminer l'expression de la puissance moyenne P dissipée par effet Joule dans le conducteur. En
déduire l'expression de sa résistance R. Commenter.
3 Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide
3.1 Structure d’une OPPM
On étudie une onde électromagnétique dont le champ électrique est :
1°) Est-ce une OPPM ?
2°) Donner l’expression de son vecteur d’onde.
3°) Etablir l’équation cartésienne d’un plan d’onde.
4°) Exprimer
en fonction de .
5°) Calculer le champ magnétique de cette onde.
3.2 Champ électromagnétique créé par le soleil
Le soleil rayonne au niveau de la Terre un puissance moyenne d’environ 1000 W par m2.
1°) En déduire l’amplitude des champs électrique et magnétique associés.
2°) Est-ce étonnant ? A quelles fréquences oscillent-ils typiquement ?
3.3 Nature d’une onde
On considère le champ de vecteur dans le vide
1°) A quelle condition sur le champ E peut-il être le champ électrique d'une onde électromagnétique ?
Cette onde est-elle transversale ? Peut-on définir sa polarisation ?
2°) Calculer le champ magnétique associé, puis le vecteur de Poynting et sa moyenne temporelle.
3.4 Emetteur et antenne
Un émetteur de puissance <P> = 10 kW émet de façon isotrope dans le demi-espace z > 0. Déterminer
l’amplitude du champ électrique au voisinage d’une antenne réceptrice placée à la distance d = 100 km de
l’émetteur.
3.5 Onde dans un plasma
Un plasma neutre est constitué d’électrons libres et d’ions chargés positivement, beaucoup plus lourds que
les électrons (on les considérera donc fixes). Les électrons, de masse m, de charge –e, sont en nombre n0 par
unité de volume.
1°) Le milieu est soumis à un champ électrique
. Déterminer la vitesse des électrons et en
déduire que l’on peut associer au plasma une conductivité complexe  à exprimer.
2°) Le champ électrique est maintenant celui d’une onde plane progressive harmonique :
a) A quelles conditions le résultat de la question 1 est-il encore valable ? On supposera ces conditions
vérifiées dans la suite.
b) Ecrire les équations de Maxwell dans le plasma. Montrer que tout revient à remplacer 0 par
où P, appelée « pulsation plasma », est une constante à déterminer en fonction de n0,
e, m et 0 dans les calculs habituels de l’onde plane dans le vide.
c) On supposera  P. En déduire la relation de dispersion entre  et k.
d) Donner les expressions du champ électrique réel si  > p et si  < p. Décrire la structure de l'onde
dans les deux cas.
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3.6 Modélisation d’un métal
On considère un conducteur métallique plongé dans un champ électrique uniforme
, où
est un vecteur constant, et les électrons de conduction mis en mouvement sont soumis à une force de
frottement de type visqueux de la part du réseau de la forme
, où désigne leur vecteur
vitesse et  un temps de relaxation du matériau. En utilisant l’approximation linéaire du modèle du fluide de
charges libres , on montre qu’on peut définir une conductivité complexe
. Dans quel
domaine de valeurs de  la loi d'Ohm habituelle où la conductivité 0 est indépendante de la fréquence estelle valable?
1°) On étudie la propagation d'une onde électromagnétique plane progressive harmonique, se propageant
suivant la direction Ox, polarisée rectilignement dans le milieu, dont le champ électrique est donné par :
. Montrer que la relation de dispersion s’écrit :
dans laquelle on donnera les expressions des pulsations 0, dite pulsation conducteur, et P, dite pulsation
plasma.
2°) Calculer numériquement les valeurs de 0 et P.
3°) Donner une expression approchée de la relation de dispersion pour <<0. Dans quel domaine d’ondes
électromagnétiques se situe-t-on ? Commenter. Donner alors l’expression de
et définir l’épaisseur de
peau.
4°). Donner une expression approchée de la relation de dispersion pour >>0 et  < P. Dans quel
domaine d’ondes électromagnétiques se situe-t-on ? Commenter.
5°) Donner une expression approchée de la relation de dispersion pour  > P et >>0. Dans quel
domaine d’ondes électromagnétiques se situe-t-on ? Commenter.
Données pour le cuivre :
10−14 s ;
S.m−1.
3.7 Polarisation
1°) Décrire l’état de polarisation des ondes suivantes :
a)
b)
2°) Donner l’expression d’une onde électromagnétique plane progressive harmonique se propageant dans le
sens des x négatifs, à polarisation circulaire droite.
3.8 Polarisation elliptique
Pour le champ électrique suivant, à quelle condition sur les phases 1 et 2 la polarisation est-elle elliptique
droite ou elliptique gauche ?
et
sont positifs.
3.9 Superposition de deux ondes
Dans le vide, on considère deux ondes planes monochromatiques,
y
situées dans le plan (xOy), de même pulsation et de vecteurs
d'onde et , de même norme k et symétriques par rapport à
k1
(Ox). Les champs
et
sont dirigés selon , et ont même

O
amplitude E0 pour les deux ondes. Soit  l'angle
.
x
1°) a) Écrire le champ électrique résultant.
E
b) Décrire l’onde obtenue, est-elle plane ? Est-elle progressive ?
k2
c) Calculer <E2> et interpréter le résultat obtenu.
2°) Calculer le champ magnétique réel associé.
z
3°) Déterminer la valeur moyenne du vecteur de Poynting. Que
peut-on en déduire, en moyenne, pour la direction de propagation
de l'énergie ?
3.10 Réflexion d’une OPPM en incidence normale sur un conducteur parfait
Une onde incidente se propage dans le vide selon le sens des x croissants. Un conducteur parfait se trouve
dans le plan x = 0. L’onde incidente est polarisée selon Oy et donc décrite par :
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Le champ réfléchi se propage dans le sens contraire et est polarisé de la même façon que le champ incident.
1°) A partir des conditions aux limites en x = 0, déterminer l’expression des champs réfléchis en fonction
des champs incidents.
2°) Déterminer l’expression du champ résultant. Caractériser l’onde résultante.
3°) Déterminer l’expression du courant surfacique.
4°) Donner l’expression du vecteur de Poynting de l’onde résultante. Interpréter le résultat.
3.11 Réflexion d’une onde polarisée sur un métal
Une onde plane progressive monochromatique, polarisée circulairement à droite, arrive en incidence
normale selon
sur un conducteur parfait situé dans le plan z = 0. Caractériser entièrement l’onde
réfléchie.
3.12 Réflexion d’une onde sur un métal
Une onde plane progressive sinusoïdale de pulsation , polarisée rectilignement selon Oz, se propage dans
le vide dans la direction . On associe à cette onde le vecteur d'onde
et le champ électrique
(E0 constante réelle). Cette onde qualifiée d'incidente, tombe sous incidence
normale sur un conducteur métallique de conductivité , de perméabilité 0 et de permittivité 0, occupant le
demi-espace x > 0. (0 et 0 sont également les constantes caractéristiques du vide).
0=410-7 uSI;
00 c2=1;
c  3.108
m.s-l ; =7.107 S.m-1
z
L'onde incidente donne naissance à une onde
vide
réfléchie et à une onde transmise dont les
métal
champs électriques s'écrivent:
O
E
i
x
k
(E0r, E0t et kt sont à priori complexes)
On supposera que le conducteur métallique reste localement neutre : la densité volumique de charge   0 .
1°) A quelle condition, portant sur la fréquence de l'onde, peut-on négliger les "courants de déplacement"
devant les courants de conduction dans l'équation de Maxwell- Ampère ? On supposera cette condition
vérifiée dans la suite.
2°) Etablir l'équation vérifiée par le champ électrique dans le métal.
En déduire la relation de dispersion kt = f() et l’expression de en fonction de
.
Exprimer kt en fonction d’une "épaisseur de peau"  dont on donnera la signification physique.
Calculer la vitesse de phase et la densité de courant dans le métal. Commenter les résultats.
3°) Déterminer l’expression du champ magnétique
dans le métal en fonction de kt et de E0t. Quelle est la
structure de l’onde dans le métal ?
4°) Ecrire les conditions aux limites pour le champ électrique et le champ magnétique dans le plan x= 0.
Exprimer E0r et E0t en fonction de E0 et de
. Qu’obtient-on dans le cas limite  << 1 ?
5°) Donner l'expression des champs électrique et magnétique dans le métal, en utilisant  pour les
termes d'amplitude et  pour les termes exponentiels.
3.13 Onde stationnaire entre deux plans
On dispose dans le vide deux plans parfaitement conducteurs,
parallèles, d'équations respectives x = 0 et x = a.
On se propose d'étudier une onde électromagnétique, stationnaire,
plane, monochromatique, à polarisation rectiligne entre ces deux
plans :
1) En admettant que les champs et soient nuls dans un métal
parfaitement conducteur, écrire les conditions aux limites que doivent
vérifier les champs et dans le vide en x = 0 et x = a.
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2) Déterminer la fonction f (x) et montrer que la pulsation  est nécessairement quantifiée.
3) Calculer le champ magnétique de cette onde.
4) Calculer l'énergie électrique EE et l'énergie magnétique EB emmagasinée dans un volume cylindrique
d'axe (Ox), situé entre les deux plans et de section S.
Montrer qu'il y a échange permanent entre énergie électrique et énergie magnétique.
3.14 Réflexion d’une OPPM sur un conducteur parfait
Une onde plane monochromatique, de pulsation ,
de vecteur d’onde , polarisée rectilignement selon
le vecteur unitaire , se propage dans le vide et
arrive sous une incidence  dans le plan z = 0 sur un
métal conducteur parfait, occupant le demi-espace z
< 0. On admet que le champ électrique et le champ
magnétique sont nuls au sein du métal. On écrira, en
notations complexes, le champ électrique de l’onde
incidente sous la forme
z
k0

y
x
.
1°) Montrer qu’il existe nécessairement une onde
réfléchie.
2°) En utilisant les schémas, déterminer les expressions du champ électrique
et du champ magnétique
réfléchis dans le cas où est perpendiculaire au plan d’incidence.
4°) Décrire l’onde résultante après avoir calculé ses deux champs. Quel est l’effet du conducteur sur la
propagation ?
5°) Déterminer la densité surfacique de charge  et la densité surfacique de courant qui apparaissent dans
le plan z = 0.
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