Lois à densité I. Variable aléatoire à densité 1) Variable aléatoire Définition : Une variable aléatoire est une fonction définie sur l’univers et à valeurs dans Ë. On la note X. Exemple : Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, l'une d'entre elles porte le numéro 10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 2 et les autres portent le numéro 1. On peut définir une variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le numéro obtenu. Dans toutes les situations étudiées précédemment, la variable aléatoire X prend un nombre fini de valeurs. On dit alors que X est une variable discrète. Cependant, il existe des variables aléatoires non discrètes, qui prennent toutes les valeurs d’un intervalle I de ℝ ( borné ou non ). On dit que X est une variable continue. Exemples 1) On tire une flèche sur une cible de rayon 1 mètre et on suppose qu’il est impossible de manquer la cible. La variable aléatoire égale à la distance entre le point d’impact et le centre de la cible est une variable continue qui peut prendre toutes les valeurs de l’intervalle [0 ; 1]. 2) Le livreur de pizza doit passer entre 19 et 20 heures. Soit X l’heure exacte de son arrivée. X peut être considérée comme une variable continue sur l’intervalle [19 ; 20]. 2) Fonction densité Une fois une variable aléatoire définie, on s’intéresse à sa loi de probabilité. Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, on représente généralement cette loi sous la forme d’un tableau. Valeurs possibles de l'expérience Numéro sorti n 10 5 2 1 Probabilité correspondante P(X=n) 1 10 2 10 3 10 4 10 Comme les événements correspondants aux différentes valeurs possibles forment une partition de , on a p1 + p2 + … + pn = 1 ; ceci constitue une bonne vérification, dans la mesure où si cette somme n'est pas égale à 1, c'est qu'il y a une erreur quelque part! 1 http://playmaths.free.fr Dans le cas d’une variable aléatoire continue, on utilise une fonction définie sur Ë appelée fonction densité. Définition : Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle I. On lui associe une fonction f continue(sauf éventuellement en un nombre fini de points) et positive sur I telle que : l'aire sous la courbe sur I soit égale à 1. si J I, la probabilité de l'événement ( X J ) est égale à l'aire située sous la courbe sur l'intervalle J. La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X. Si I = [a ; b], on a donc b f(t)dt = 1 a 3) Probabilité Définition : Soit X la variable aléatoire à valeurs dans I, muni d’une fonction densité f. Si I = [a ; b] et J = [ ; ] un intervalle de I, P( X J) = f(t)dt La probabilité est définie comme l’aire du domaine suivant : {M(x, y), x ☻ J et 0 ≤ y ≤ f(x)} Remarque : d’après cette définition, P(X = ) = f(t)dt = 0. Conséquence : P( X ≤ ) = P( X < ) Exemples g( x) 0 si x 1 1) Démontrer que la fonction g définie par : est une densité de 1 g( x) 2 si x 1 x probabilité. 2) Démontrer que la fonction h définie par : h(t) = 3t² est une densité de probabilité sur [0 ; 1]. 2 http://playmaths.free.fr 4) Espérance mathématique Rque : Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, l’espérance mathématique de X est définie par E(X) = n xi pi xi p(X xi ) i1 Avec le jeu présenté au-dessus, on obtient E = = 3 Définition : Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur l’intervalle [a ; b], alors l’espérance mathématique de cette loi X, notée E(X) est égale à b a t f(t) dt Ex 7 à 11 p.413 II. Loi uniforme 1) Définition : Une variable aléatoire suit une loi uniforme lorsque sa fonction de densité est constante sur I = [ a ; b ]. Propriété : Si X suit une loi uniforme sur [a ; b] alors, x I , f(x) = longueurde J longueurde I 1 et P( X J ) = = ba ba démonstration : Dans ce cas, la partie sous la courbe est un rectangle et comme son aire doit être égale à 1, donc f(x) (b-a) = 1 … P( X J ) = f( t)dt = … = ba Exercice : Toutes les 15 mn, un bus passe à un arrêt donné (le premier bus passe à 8 h). Un usager se présente à cet arrêt entre 8 h et 8h 30. X est la variable aléatoire qui donne le temps écoulé en mn, entre 8 h et l'heure (exacte) d'arrivée de l'usager. On suppose que cette variable aléatoire suit une loi uniforme (on dit encore qu'elle est uniformément répartie) sur [0 ; 30] On appelle Y la variable aléatoire qui donne le temps d’attente de l’usager. 1) Quelle est la fonction de densité de X ? 2) Quelle est la probabilité que l'usager attende le bus : 3 http://playmaths.free.fr a) moins de 5 mn ? 1 f(x) = … 30 b) plus de 10 mn ? c) exactement 2 mn ? 1 3 1 b) P(Y>10) = P(X ] 0 ; 5]) + P(X ]15 ; 20]) = … = 3 c) P(Y = 2) = P(X = 13) + P(X = 28) = 0 a) P(Y<5) = P(X [10 ; 15]) + P(X [25 ; 30]) = … = 2) Espérance Propriété : L’espérance d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur [a ; b] est donnée par a b E(X) 2 Dem : E(X) = t b b a t f(t) dt = a b a dt =…= Ex 16 à 20 p.414 a b 2 III. Loi exponentielle 1) Définition : Une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre (où > 0) lorsque sa fonction de densité est du type : f(x) = e – x où x [0 ; + [ et f(x) = 0 sinon. Démontrons que cette fonction est bien une densité de probabilité : Pour x ≥ 0, on a : x x 0 0 f(t) dt = e t dt = e t donc l’aire sous la courbe est = -e x 0 x 1 f( t) dt = 0 f(t) dt = lim x f(t) dt = … = 1 x 0 donc f est bien une densité de probabilité. 4 http://playmaths.free.fr Propriété : Si X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre alors pour tout réel a positif , p(X a) = 1 – e–a p(X a) = e–a p(a X b) = e–a – e–b dem : p(X a) = a e t 0 dt = … p(X a) = 1 - p(X < a) = 1 - p(X a) = … p(a X b) = p(X[a ; b]) = b a e t dt = … Ex : Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre Déterminer p(X 15) et p(X 5) et p( 5 X 15 ). 1 . 5 p(X 15) = … = 1 e 3 p(X 5) = e 1 p( 5 X 15 ) = e 1 e 3 Ex 22-23 p.414 2) Variable aléatoire sans mémoire Définition : Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [ 0 ; + [ qui suit une loi à densité continue. On dit que X suit une loi de durée de vie sans vieillissement ou sans mémoire lorsque : pour tous réels t et h strictement positifs tels que p( X > t ) 0 , PXt (X t h) = P(X > h). C'est-à-dire que la probabilité que l’objet vive encore une durée h ne dépend pas de son âge actuel. Propriété : Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [ 0 ; + [ qui suit une loi à densité continue. X suit une loi de durée de vie sans vieillissement si et seulement si X suit une loi exponentielle de paramètre . 5 http://playmaths.free.fr Démontrons que : Si X suit une loi exponentielle de paramètre alors X suit une loi de durée de vie sans vieillissement. PXt (X t h) = P((X t) P(X t h)) P(X t h) e ( t h) = = = e h = P(X > h) P(X t) P(X t) e t Remarque On peut démontrer que les lois exponentielles sont les seules à être sans mémoire. Exercice 1 : La durée de vie d'un appareil, mesurée en années, est distribuée selon une loi exponentielle X de paramètre 0,1. On achète un tel d'appareil d'occasion (il a donc fonctionné au moins t années, t étant inconnu). Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore dans 10 ans ? PXt (X t 10) = P(X > 10) = e 1 . Exercice 2 : La durée de vie en heures d'un transistor suit une loi exponentielle de paramètre = 10 – 4. 1) Quelle est la probabilité que ce transistor fonctionne : a) plus de 2 000 heures ? b) plus de 8 000 heures ? c) plus de 10 000 heures ? 2) Quelle est la probabilité que ce transistor fonctionne : a) encore plus de 10 000 heures sachant qu'il a déjà fonctionné 2 000 heures ? b) plus de 10 000 heures sachant qu'il a déjà fonctionné 2 000 heures ? 1) a) P(X > 2 000) = e 0,2 b) P(X > 8 000) = e 0,8 c) P(X > 10 000) = e 1 2) a) PX2000 (X 10000 2000) = P(X > 10 000) = e 1 b) PX2000(X 10000) = P(X > 8 000) = e 0,8 6 http://playmaths.free.fr 3) Espérance Définition : Soit a un nombre réel. L’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue X à valeur dans l’intervalle I = [a ; +∞ [, de fonction de densité f est définie par E(X) est égale à lim x x a t f(t) dt Propriété : L’espérance d’une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre > 0 est 1 donnée par E(X) = . Dem : Soit g(t) = t e t g est continue, elle admet donc des primitives. (g(t))’ = e t te t te t = e t + g’(t) x e t t g ( t ) dt t e dt e dt ( te )' dt te 0 0 0 0 0 1 Par passage à la limite, quand x tend vers +∞ , on obtient . x x x t t x t x 0 1 e x xe x Ex 24-25-26-65 p.414 Exercices supplémentaires : sujets bac Fiche de la loi binomiale à la loi normale centrée IV. Loi normale 1) Loi normale centrée réduite Définition : Dire qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite signifie que sa densité f est définie sur Ë par : f(x) 1 2 e x2 2 . On note : X suit la loi N(0 ;1) Théorème de Moivre-Laplace : ( admis ) n un entier naturel non nul et p un nombre réel fixé appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[. Soit Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p). Alors, pour tous nombres réels a et b tels que a < b : b 1 a 2 lim P( a Zn b) n e x2 2 dx Zn étant la variable aléatoire définie par Zn Xn np np(1 p) X E(X) . Rque : Sous certaines conditions portant sur n et p, une loi binomiale discrète peut être approchée par une loi continue normale centrée réduite. On parle d’approximation d’une loi binomiale par une loi normale. 7 http://playmaths.free.fr Propriété : Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite si pour tous réels a et b tels que a < b, P(a ≤ X ≤ b) = b b a f(x)dx a 1 2 e x2 2 dx Rque : f(x) = f(-x), la courbe représentative de la densité f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Elle est généralement désignée par « courbe en cloche ». 1 2 Si X suit la loi normale N(0 ; 1), P(X ≤ -u) = P( X ≥ u) = 1 – P( X ≤ u) R f(x)dx 1 ( fonction de densité) donc R f(x)dx Théorème : Pour tout nombre réel inclus dans l’intervalle ]0 ; 1[, il existe un unique réel positif u tel que : P( - u ≤ X ≤ u ) = 1 - où X désigne une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N (0 ; 1). Dem : Pour tout u de Ë+ P( -u ≤ X ≤ u ) = P( -u ≤ X < 0) + P( 0 ≤ X < u) = 2 P( 0 ≤ X ≤ u) ( par symétrie ) u = 2 f(x)dx 0 = 2 H(u) où H est l’unique primitive de f qui s’annule en 0. + H est continue sur Ë , car dérivable( H’ = f) H est strictement croissante sur Ë+, car H’ = f > 0 ( fonction expo … ) 2 H a donc les mêmes propriétés. 1 2 H est strictement croissante de H(0) = 0 à 1 car f(x)dx . R 2 D’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout de [0 ; 1], 1 - ☻ [0 ; 1], donc l’équation 2H(u) = 1 - possède une unique solution u dans [0 ; +∞[ Donc 2H(u) = 1 - P(u ≤ X ≤ u) = 1 - Cas particuliers : Si = 0,05 alors u0,05 = 1,96. Si = 0,01 alors u0,01 = 2,58. 8 http://playmaths.free.fr 2) Loi normale Définition : Dire qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale d’espérance E(X) et d’écart-type X E(X) X signifie que la variable aléatoire continue suit la loi normale centrée réduite. On note : X suit la loi N( ;2 ) Rques : est un nombre réel strictement positif. Si X suit la loi normale N( ;2 ) alors la densité de probabilité de X est la fonction définie sur Ë par f(x) = 1 1 x e 2 2 . 2 La courbe représentative de cette fonction est symétrique par rapport à la droite d’équation x = . Propriétés : Soit X une variable aléatoire continue suivant la loi normale N( ;2 ). P( X ☻ [- ; +]) 0,68 P( X ☻ [-2 ; +2]) 0,95 P( X ☻ [-3 ; +3]) 0,997. Ex 27 à 39 p.416 3) Espérance L’espérance E(X) d’une variable aléatoire continue X qui suit la loi normale N(0 ;1)est égale à 0. La variance V(X) est égale à 1. Pb 53-55-58 … p.419 9 http://playmaths.free.fr