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Lois à densité
I.
Variable aléatoire à densité
1) Variable aléatoire
Définition :
Une variable aléatoire est une fonction définie sur l’univers  et à valeurs dans Ë. On la
note X.
Exemple :
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, l'une d'entre elles porte le numéro
10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 2 et les autres portent le numéro 1.
On peut définir une variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le numéro obtenu.
Dans toutes les situations étudiées précédemment, la variable aléatoire X prend un nombre
fini de valeurs. On dit alors que X est une variable discrète.
Cependant, il existe des variables aléatoires non discrètes, qui prennent toutes les valeurs
d’un intervalle I de ℝ ( borné ou non ). On dit que X est une variable continue.
Exemples
1) On tire une flèche sur une cible de rayon 1 mètre et on suppose qu’il est impossible de
manquer la cible. La variable aléatoire égale à la distance entre le point d’impact et le
centre de la cible est une variable continue qui peut prendre toutes les valeurs de
l’intervalle [0 ; 1].
2) Le livreur de pizza doit passer entre 19 et 20 heures. Soit X l’heure exacte de son
arrivée. X peut être considérée comme une variable continue sur l’intervalle [19 ; 20].
2) Fonction densité
Une fois une variable aléatoire définie, on s’intéresse à sa loi de probabilité.
Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, on représente généralement cette loi sous la
forme d’un tableau.
Valeurs possibles de l'expérience
Numéro sorti n
10
5
2
1
Probabilité correspondante
P(X=n)
1
10
2
10
3
10
4
10
Comme les événements correspondants aux différentes valeurs possibles forment une
partition de  , on a p1 + p2 + … + pn = 1 ; ceci constitue une bonne vérification, dans la mesure
où si cette somme n'est pas égale à 1, c'est qu'il y a une erreur quelque part!
1
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Dans le cas d’une variable aléatoire continue, on utilise une fonction définie sur Ë appelée
fonction densité.
Définition :
Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle I.
On lui associe une fonction f continue(sauf éventuellement en un nombre fini de points) et
positive sur I telle que :
 l'aire sous la courbe sur I soit égale à 1.
 si J  I, la probabilité de l'événement ( X  J ) est égale à l'aire située sous la courbe
sur l'intervalle J.
La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X.
Si I = [a ; b], on a donc
b
 f(t)dt = 1
a
3) Probabilité
Définition :
Soit X la variable aléatoire à valeurs dans I, muni d’une fonction densité f.
Si I = [a ; b] et J = [ ;  ] un intervalle de I,
P( X  J) =

 f(t)dt

La probabilité est définie comme l’aire du domaine suivant : {M(x, y), x ☻ J et 0 ≤ y ≤ f(x)}
Remarque :
d’après cette définition, P(X = ) =

 f(t)dt = 0.

Conséquence : P( X ≤  ) = P( X <  )
Exemples
g( x)  0 si x  1

1) Démontrer que la fonction g définie par : 
est une densité de
1
g( x)  2 si x  1
x

probabilité.
2) Démontrer que la fonction h définie par : h(t) = 3t² est une densité de probabilité sur
[0 ; 1].
2
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4) Espérance mathématique
Rque :
Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, l’espérance mathématique de X est définie par
E(X) =
n
 xi pi   xi p(X  xi )
i1
Avec le jeu présenté au-dessus, on obtient E = = 3
Définition :
Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur l’intervalle [a ; b], alors
l’espérance mathématique de cette loi X, notée E(X) est égale à
b
a t f(t) dt
Ex 7 à 11 p.413
II. Loi uniforme
1) Définition :
Une variable aléatoire suit une loi uniforme lorsque sa fonction de densité est constante sur
I = [ a ; b ].
Propriété :
Si X suit une loi uniforme sur [a ; b] alors,  x I , f(x) =
longueurde J
longueurde I
1

et P( X  J ) =
=
ba
ba
démonstration :
Dans ce cas, la partie sous la courbe est un rectangle et comme son aire doit être égale à 1,
donc f(x)  (b-a) = 1 …


P( X  J ) =  f( t)dt = … =

ba
Exercice : Toutes les 15 mn, un bus passe à un arrêt donné (le premier bus passe à 8 h).
Un usager se présente à cet arrêt entre 8 h et 8h 30.
X est la variable aléatoire qui donne le temps écoulé en mn, entre 8 h et l'heure (exacte)
d'arrivée de l'usager.
On suppose que cette variable aléatoire suit une loi uniforme (on dit encore qu'elle est
uniformément répartie) sur [0 ; 30]
On appelle Y la variable aléatoire qui donne le temps d’attente de l’usager.
1) Quelle est la fonction de densité de X ?
2) Quelle est la probabilité que l'usager attende le bus :
3
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a) moins de 5 mn ?
1
f(x) =
…
30
b) plus de 10 mn ?
c) exactement 2 mn ?
1
3
1
b) P(Y>10) = P(X  ] 0 ; 5]) + P(X  ]15 ; 20]) = … =
3
c) P(Y = 2) = P(X = 13) + P(X = 28) = 0
a) P(Y<5) = P(X  [10 ; 15]) + P(X  [25 ; 30]) = … =
2) Espérance
Propriété :
L’espérance d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur [a ; b] est donnée par
a b
E(X) 
2
Dem :
E(X) =
t
b
b
a t f(t) dt = a b  a dt
=…=
Ex 16 à 20 p.414
a b
2
III. Loi exponentielle
1) Définition :
Une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre  (où  > 0) lorsque sa fonction
de densité est du type : f(x) =  e –  x où x  [0 ; +  [ et f(x) = 0 sinon.
Démontrons que cette fonction est bien une densité de probabilité :
Pour x ≥ 0, on a :
x
x
0
0
 f(t) dt =   e
 t

dt =  e t
donc l’aire sous la courbe est
 = -e
x
0



 x
1
f( t) dt =


0
f(t) dt = lim
x
 f(t) dt = … = 1
x 0
donc f est bien une densité de probabilité.
4
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Propriété :
Si X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre  alors pour tout réel
a positif ,
p(X  a) = 1 – e–a
p(X  a) = e–a
p(a  X  b) = e–a – e–b
dem :
p(X  a) =
a
 e
 t
0
dt = …
p(X  a) = 1 - p(X < a) = 1 - p(X  a) = …
p(a  X  b) = p(X[a ; b]) =
b

a
 e t dt = …
Ex :
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre
Déterminer p(X  15) et p(X  5) et p( 5  X  15 ).
1
.
5
p(X  15) = … = 1  e 3
p(X  5) = e 1
p( 5  X  15 ) = e 1  e 3
Ex 22-23 p.414
2) Variable aléatoire sans mémoire
Définition :
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [ 0 ; + [ qui suit une loi à densité continue.
On dit que X suit une loi de durée de vie sans vieillissement ou sans mémoire lorsque :
pour tous réels t et h strictement positifs tels que p( X > t )  0 ,
PXt (X  t  h) = P(X > h).
C'est-à-dire que la probabilité que l’objet vive encore une durée h ne dépend pas de son âge
actuel.
Propriété :
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [ 0 ; + [ qui suit une loi à densité continue.
X suit une loi de durée de vie sans vieillissement si et seulement si X suit une loi
exponentielle de paramètre  .
5
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Démontrons que : Si X suit une loi exponentielle de paramètre  alors X suit une loi de
durée de vie sans vieillissement.
PXt (X  t  h) =
P((X  t)  P(X  t  h)) P(X  t  h) e  ( t h)
=
=
= e  h = P(X > h)
P(X  t)
P(X  t)
e  t
Remarque
On peut démontrer que les lois exponentielles sont les seules à être sans mémoire.
Exercice 1 :
La durée de vie d'un appareil, mesurée en années, est distribuée selon une loi exponentielle
X de paramètre 0,1. On achète un tel d'appareil d'occasion (il a donc fonctionné au moins t
années, t étant inconnu).
Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore dans 10 ans ?
PXt (X  t  10) = P(X > 10) = e 1 .
Exercice 2 :
La durée de vie en heures d'un transistor suit une loi exponentielle de paramètre  = 10 – 4.
1) Quelle est la probabilité que ce transistor fonctionne :
a) plus de 2 000 heures ?
b) plus de 8 000 heures ?
c) plus de 10 000 heures ?
2) Quelle est la probabilité que ce transistor fonctionne :
a) encore plus de 10 000 heures sachant qu'il a déjà fonctionné 2 000 heures ?
b) plus de 10 000 heures sachant qu'il a déjà fonctionné 2 000 heures ?
1) a) P(X > 2 000) = e 0,2
b) P(X > 8 000) = e 0,8
c) P(X > 10 000) = e 1
2) a) PX2000 (X  10000  2000) = P(X > 10 000) = e 1
b) PX2000(X  10000) = P(X > 8 000) = e 0,8
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3) Espérance
Définition :
Soit a un nombre réel. L’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue X à valeur
dans l’intervalle I = [a ; +∞ [, de fonction de densité f est définie par E(X) est égale à
lim
x 
x
a t f(t) dt
Propriété :
L’espérance d’une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre  > 0 est
1
donnée par E(X) = .

Dem :
Soit g(t) = t e  t
g est continue, elle admet donc des primitives.
(g(t))’ = e t  te t
te t = e  t + g’(t)
x
 e t 
t

g
(
t
)
dt

t

e
dt

e
dt

(
te
)'
dt


  te
0
0
0
0


0
1
Par passage à la limite, quand x tend vers +∞ , on obtient .

x
x
x
 t
 t
x
 t


x
0

1 e  x

 xe x


Ex 24-25-26-65 p.414
Exercices supplémentaires : sujets bac
Fiche de la loi binomiale à la loi normale centrée
IV. Loi normale
1) Loi normale centrée réduite
Définition :
Dire qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite signifie que sa
densité f est définie sur Ë par : f(x) 
1
2
e

x2
2
.
On note : X suit la loi N(0 ;1)
Théorème de Moivre-Laplace : ( admis )
n un entier naturel non nul et p un nombre réel fixé appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[.
Soit Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p).
Alors, pour tous nombres réels a et b tels que a < b :
b
1
a
2
lim P( a  Zn  b)  
n 
e

x2
2 dx
Zn étant la variable aléatoire définie par Zn 
Xn  np
np(1  p)

X  E(X)
.

Rque :
Sous certaines conditions portant sur n et p, une loi binomiale discrète peut être approchée
par une loi continue normale centrée réduite.
On parle d’approximation d’une loi binomiale par une loi normale.
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Propriété :
Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite si pour tous réels a et b tels que
a < b, P(a ≤ X ≤ b) =
b
b
a f(x)dx  a
1
2
e

x2
2 dx
Rque :
f(x) = f(-x), la courbe représentative de la densité f est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
Elle est généralement désignée par « courbe en cloche ».
1
2
Si X suit la loi normale N(0 ; 1), P(X ≤ -u) = P( X ≥ u) = 1 – P( X ≤ u)
R f(x)dx  1
( fonction de densité) donc
R

f(x)dx 
Théorème :
Pour tout nombre réel  inclus dans l’intervalle ]0 ; 1[, il existe un unique réel positif u tel
que : P( - u ≤ X ≤ u ) = 1 - 
où X désigne une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N (0 ; 1).
Dem :
Pour tout u de Ë+ P( -u ≤ X ≤ u ) = P( -u ≤ X < 0) + P( 0 ≤ X < u)
= 2 P( 0 ≤ X ≤ u) ( par symétrie )
u
= 2  f(x)dx
0
= 2 H(u) où H est l’unique primitive de f qui s’annule en 0.
+
H est continue sur Ë , car dérivable( H’ = f)
H est strictement croissante sur Ë+, car H’ = f > 0 ( fonction expo … )
2 H a donc les mêmes propriétés.
1
2 H est strictement croissante de H(0) = 0 à 1 car   f(x)dx  .
R
2
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout  de [0 ; 1], 1 -  ☻ [0 ; 1], donc
l’équation 2H(u) = 1 -  possède une unique solution u dans [0 ; +∞[
Donc 2H(u) = 1 - 
P(u ≤ X ≤ u) = 1 - 
Cas particuliers :
Si  = 0,05 alors u0,05 = 1,96.
Si  = 0,01 alors u0,01 = 2,58.
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2) Loi normale
Définition :
Dire qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale d’espérance E(X) et d’écart-type
X  E(X) X  
 signifie que la variable aléatoire continue
suit la loi normale centrée



réduite.
On note : X suit la loi N( ;2 )
Rques :
  est un nombre réel strictement positif.
 Si X suit la loi normale N( ;2 ) alors la densité de probabilité de X est la fonction
définie sur Ë par f(x) =

1
1  x  
 

e 2  
2
.
 2
La courbe représentative de cette fonction est symétrique par rapport à la droite
d’équation x = .
Propriétés :
Soit X une variable aléatoire continue suivant la loi normale N( ;2 ).
P( X ☻ [- ; +])  0,68
P( X ☻ [-2 ; +2])  0,95
P( X ☻ [-3 ; +3]) 0,997.
Ex 27 à 39 p.416
3) Espérance
L’espérance E(X) d’une variable aléatoire continue X qui suit la loi normale N(0 ;1)est égale à
0.
La variance V(X) est égale à 1.
Pb 53-55-58 … p.419
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