dirichlet version faible

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Version faible de la progression arithmétique de Dirichlet
Théorème 1. Soit n ∈ N∗ , il existe une infinité de nombres premiers p tels que p ≡ 1 [n].
Lemme 1. Soit Φn,Q (X) ∈ Z[X], le n-ème polynôme cyclotomique et a ∈ N∗ . Supposons que
p ∈ P vérifie p | Φn,Q (a) et p - Φd,Q (a) pour tout d | n, d 6= n, alors p ≡ 1 [n].
n
Q
Q
i2kπ
(X − e n ) et X n − 1 =
Démonstration. On a X n − 1 =
Φd,Q (X). Comme p | Φn,Q (a),
k=1
d|n
Q
on a aussi : p |
Φd,Q (a) = an − 1 et donc an ≡ 1 [p] soit a ∈ F∗p avec an = 1 dans Fp . Par
d|n
définition de l’ordre d’un élément on a alors l = ordrep (a) | n.
Objectif 1. montrons que l = n.
Q
Supposons par l’absurde l 6= n. On a alors al ≡ 1 [p] =⇒ al − 1 =
Φd,Q (a) ≡ 0 [p]. Ainsi,
d|l
Q
p|
Φd (a) et par le lemme d’Euclide, il existe d | l tel que p | Φd,Q (a). Alors, comme d | l et
d|n
l | n on a d | n et comme on a supposé l 6= n, finalement d | n strictement. Par hypothèse pour
tout diviseur strict k de n on a p - Φk,Q (a), en contradiction avec ce qui précède. Nécessairement :
l = ordrep (a) = n.
Par le théorème de Lagrange on a n = ordrep (a) | ϕ(p) = p − 1 = card(F∗p ) et au final :
n | ϕ(p) = p − 1 =⇒ p ≡ 1 [n].
Passons à la démonstration du théorème.
Démonstration. Soit n ∈ N∗ et N > max(3, n) ∈ N∗ fixés.
Objectif 2. montrer que pour a = N ! on peut trouver p ∈ P tel que p > N et vérifiant les
hypothèses du lemme précédent.
Ceci prouvera que p ≡ 1 [n] et comme p > N pour N arbitrairement grand (juste assez grand
pour que N > max(n, 3)), on aura bien l’existence d’une infinité de nombres premiers p tels que
p ≡ 1 [n].
Etape 1 : Montrons que Φn,Q (a) ∈ Z a au moins un diviseur premier p, en prouvant |Φn (a)| ≥ 2.
Or,
Q
|Φn (a)| =
|a − ei2kπ/n | où |a − ei2kπ/n | ≥ |a| − |ei2kπ/n | = a − 1 ≥ 2 car a > 3.
k∈[[1,n]],k∧n=1
Etape 2 : montrons que p > N . Supposons par l’absurde que p ≤ N , alors p divise N ! = a
et p divise donc tout polynôme en a sans terme constant. Comme Φn,Q (X) − Φn,Q (0) est par
construction même sans terme constant et que Φn (X) ∈ Z[X], on a bien Φn,Q (a)−Φn,Q (0) ∈ Z[a]
et sans terme constant. On en déduit :
p | Φn,Q (a) − Φn,Q (0) où p | Φn,Q (a) =⇒ p | Φn,Q (0) = ±1
absurde. D’où p > N .
Etape 3 : Supposons par l’absurde qu’il existe un diviseur strict de n noté d tel que p | Φd,Q (a).
Alors, p | Φn,Q (a) et p | Φd,Q (a), avec p - n, se traduit dans Fp par :
0 = Φd,Q (a) = Φd,Fp (a) et Φn,Q (a) = Φn,Fp (a) = 0
n
et comme X − 1 =
Q
Φd,Fp (X), on en déduit que a est une racine multiple de X n − 1 ∈ Fp [X]
d|n
absurde. En effet, comme p > N > n, on p - n et donc X n − 1 et nX n−1 6= 0 sont premiers entre
eux dans Fp [X], cf la relation de Bezout n−1 X(nX n−1 ) − (X n − 1) = 1 dans Fp [X].
Conclusion : finalement on a p | Φn,Q (a) et p - Φd,Q (a) pour d diviseur strict de n. D’où le
résultat attendu.
2
[Perr]
Attention, ceci est une application de la progression arithmétique de Dirichlet mais pas de la
version faible présentée ci-dessus.
Application 1. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. Il existe p ∈ P tel que Φn,Fp (X) soit irreductible sur Fp .
2. Le groupe (Z/nZ)∗ est cyclique.
Démonstration. :
Objectif 3. Montrons d’abord que pour p ∈ P et p ∧ n = 1, Φn,Fp (X) est réductible sur Fp [X]
si et seulement si p est n’est pas d’ordre ϕ(n) dans (Z/nZ)∗ .
Or, Φn,Fp (X) ∈ Fp [X] est réductible sur Fp si et seulement si Φn,Fp (X) a une racine dans une
extension de Fp de degré m ≤ ϕ(n)
2 . Or, les racines de Φn,Fp (X) étant les racines n-ème primitives
de l’unité sur Fp , le n-ème polynôme cyclotomique Φn,Fp (X) ∈ Fp [X] a une racine dans une
si et seulement s’il existe m ≤ ϕ(n)
tel que F∗pm contienne un
extension Fpm de degré m ≤ ϕ(n)
2
2
∗
élément d’ordre n. Alors, Fpm étant cyclique, cette dernière condition équivaut à n | pm − 1 pour
un m ≤ ϕ(n)
et en particulier p est d’ordre ≤ m ≤ ϕ(n)
dans (Z/nZ)∗ . Finalement :
2
2
Φn,Fp (X) est réductible sur Fp [X] ⇐⇒ p est n’est pas d’ordre ϕ(n) dans (Z/nZ)∗ .
Conclusion : si (Z/nZ)∗ n’est pas cyclique, il n’existe aucun élément d’ordre ϕ(n) dans (Z/nZ)∗
et donc il n’existe pas de nombre premier p - n et tel que Φn,Fp (X) soit irreductible sur Fp . Par
contraposée on a montré 1 =⇒ 2. Réciproquement si (Z/nZ)∗ est cyclique, alors il existe un
générateur a vérifiant en particulier a ∧ n = 1. Comme d’après la version faible de la progression
arithmétique de Dirichlet, il existe une infinité de nombres premiers p tels que p ≡ a [n] pour
a ∧ n = 1, on peut prendre a = p premier. Mais alors, p est d’ordre ϕ(n) car p engendre le groupe
cyclique (Z/nZ)∗ et donc Φn,Fp (X) est irreductible. D’où 2 =⇒ 1 et l’équivalence annoncée.
2ikπ
Rappel 1. Pour
Ω = {e n | k ∧ n = 1 et k ∈ [[1, n]]}, le n-ème polynôme cyclotomique
Q
Φn,Q (X) =
(X − ω) ∈ Z[X] avec Φ(0) = ±1.
ω∈Ωn
Démonstration. Φ(0) ∈ Z car Φn (X) ∈ Z[X] et |Φ(0)| = |
Q
ω∈Ωn
ω| =
Q
|ω| = 1. On a donc
ω∈Ωn
Φ(0) ∈ Z et |Φ(0)| = 1 ce qui donne bien Φ(0) = ±1.
Rappel 2. Un polynôme P ∈ K[X] est à racines simples dans un corps de décomposition de P
si et seulement si :
• P 0 6= 0.
• P ∧ P 0 = 1.
Rappel 3. Soit P ∈ k[X] de degré n > 0. Alors, P est irreductible sur k si et seulement si P
est sans racines dans les extensions K de k telles que [K : k] ≤ n2 .
Références :
• Perrin pour l’application.
• FGN algèbre 1 / Gozard pour la progression arithmétique de Dirichlet.