Autour d`une technique de rééchantillonnage non paramétrique

Rééchantillonnage et synthèse de textures
Méthodes non causales
Simulation de textures
Autour d’une technique de rééchantillonnage non
paramétrique pour les champs aléatoires.
Lionel Truquet,
[email protected]
Lionel Truquet, Samos, Université Paris 1, LS-CREST
Autour d’une technique de rééchantillonnage non paramétrique pour les cha
Rééchantillonnage et synthèse de textures
Méthodes non causales
Simulation de textures
1
Rééchantillonnage et synthèse de textures
Principe
L’ Algorithme de Efros et Leung
Autre exemple de rééchantillonnage (Bickel et Levina (2006))
Des résultats de consistance
2
Méthodes non causales
Extension de la méthode de Bickel et Levina
Des calculs de vitesse
Autre algorithme non causal (Paget et Longstaff (1998))
3
Simulation de textures
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Rééchantillonnage et synthèse de textures
Méthodes non causales
Simulation de textures
Principe
L’ Algorithme de Efros et Leung
Autre exemple de rééchantillonnage (Bickel et Levina (2006))
Des résultats de consistance
Les textures
Ce sont des images pouvant être modélisées par un champ aléatoire stationnaire.
On cherche à reproduire ces formes en augmentant le nombre de pixels: produire
une image plus grande.
L’image est souvent associée à une réalisation {xt /1 ≤ t1 ≤ T1 , 1 ≤ t2 ≤ T2 } d’un
champ Markovien. xt = intensité d’un pixel.
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Méthodes non causales
Simulation de textures
Principe
L’ Algorithme de Efros et Leung
Autre exemple de rééchantillonnage (Bickel et Levina (2006))
Des résultats de consistance
Synthèse par champs de Markov
1. On estime la loi conditionnelle d’un pixel sachant ses voisins.
2. On simule une nouvelle texture à l’aide de cette loi conditionnelle.
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Simulation de textures
Principe
L’ Algorithme de Efros et Leung
Autre exemple de rééchantillonnage (Bickel et Levina (2006))
Des résultats de consistance
Algorithme de Efros et Leung (1999)
Soit {xt /1 ≤ t1 ≤ T1 , 1 ≤ t2 ≤ T2 } une texture observée réalisation d’un champ
Markovien. xt = intensité d’un pixel.
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Simulation de textures
Principe
L’ Algorithme de Efros et Leung
Autre exemple de rééchantillonnage (Bickel et Levina (2006))
Des résultats de consistance
Algorithme de Efros et Leung (1999)
Soit {xt /1 ≤ t1 ≤ T1 , 1 ≤ t2 ≤ T2 } une texture observée réalisation d’un champ
Markovien. xt = intensité d’un pixel.
Principe
1) On “colle” un petit morceau de l’image observée au centre de la nouvelle.
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Principe
L’ Algorithme de Efros et Leung
Autre exemple de rééchantillonnage (Bickel et Levina (2006))
Des résultats de consistance
Algorithme de Efros et Leung (1999)
Soit {xt /1 ≤ t1 ≤ T1 , 1 ≤ t2 ≤ T2 } une texture observée réalisation d’un champ
Markovien. xt = intensité d’un pixel.
Principe
1) On “colle” un petit morceau de l’image observée au centre de la nouvelle.
2) Synthèse en spirales: soit xt∗ à synthétiser, O(xt∗ ) = partie du voisinage
markovien de t qui vient d’être synthétisée.
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Principe
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Autre exemple de rééchantillonnage (Bickel et Levina (2006))
Des résultats de consistance
Algorithme de Efros et Leung (1999)
Soit {xt /1 ≤ t1 ≤ T1 , 1 ≤ t2 ≤ T2 } une texture observée réalisation d’un champ
Markovien. xt = intensité d’un pixel.
Principe
1) On “colle” un petit morceau de l’image observée au centre de la nouvelle.
2) Synthèse en spirales: soit xt∗ à synthétiser, O(xt∗ ) = partie du voisinage
markovien de t qui vient d’être synthétisée.
→ On calcule d (O(xs ), O(xt∗ )), ∀xs
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Principe
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Des résultats de consistance
Algorithme de Efros et Leung (1999)
Soit {xt /1 ≤ t1 ≤ T1 , 1 ≤ t2 ≤ T2 } une texture observée réalisation d’un champ
Markovien. xt = intensité d’un pixel.
Principe
1) On “colle” un petit morceau de l’image observée au centre de la nouvelle.
2) Synthèse en spirales: soit xt∗ à synthétiser, O(xt∗ ) = partie du voisinage
markovien de t qui vient d’être synthétisée.
→ On calcule d (O(xs ), O(xt∗ )), ∀xs
d distance euclidienne pondérée .
O(xs ) et O(xt∗ ) ont même forme et même cardinal
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Principe
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Des résultats de consistance
Algorithme de Efros et Leung (1999)
Soit {xt /1 ≤ t1 ≤ T1 , 1 ≤ t2 ≤ T2 } une texture observée réalisation d’un champ
Markovien. xt = intensité d’un pixel.
Principe
1) On “colle” un petit morceau de l’image observée au centre de la nouvelle.
2) Synthèse en spirales: soit xt∗ à synthétiser, O(xt∗ ) = partie du voisinage
markovien de t qui vient d’être synthétisée.
→ On calcule d (O(xs ), O(xt∗ )), ∀xs
d distance euclidienne pondérée .
O(xs ) et O(xt∗ ) ont même forme et même cardinal
→ On tire xt∗ dans S, aléatoirement de façon uniforme :
n
o
S = xs /d (O(xs ), O(xt∗ )) ≤ (1 + ε) min d (O(xs ), O(xt∗ ))
s
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Des résultats de consistance
Algorithme de Efros et Leung (1999)
Soit {xt /1 ≤ t1 ≤ T1 , 1 ≤ t2 ≤ T2 } une texture observée réalisation d’un champ
Markovien. xt = intensité d’un pixel.
Principe
1) On “colle” un petit morceau de l’image observée au centre de la nouvelle.
2) Synthèse en spirales: soit xt∗ à synthétiser, O(xt∗ ) = partie du voisinage
markovien de t qui vient d’être synthétisée.
→ On calcule d (O(xs ), O(xt∗ )), ∀xs
d distance euclidienne pondérée .
O(xs ) et O(xt∗ ) ont même forme et même cardinal
→ On tire xt∗ dans S, aléatoirement de façon uniforme :
n
o
S = xs /d (O(xs ), O(xt∗ )) ≤ (1 + ε) min d (O(xs ), O(xt∗ ))
s
Efros et Leung prennent ε = 0.1.
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Des résultats de consistance
Pour un champ aux 8 plus proches voisins:
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Des résultats de consistance
Algorithme de Bickel et Levina (2006)
Soit (Xt )t∈Z2 un champ aléatoire réel stationnaire observé sur un rectangle I et
Yt = (Xt−j )j∈A , A ⊂ Z2 finie.
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Des résultats de consistance
Algorithme de Bickel et Levina (2006)
Soit (Xt )t∈Z2 un champ aléatoire réel stationnaire observé sur un rectangle I et
Yt = (Xt−j )j∈A , A ⊂ Z2 finie.
Z x
E 11Xt ≤x Yt = y =
fX /Y (u/y )du
−∞
est estimée par
1 X
11Xt ≤x Wb (y − Yt ),
Z
t∈IT
où: W noyau,
et
Wb = b −v W (·/b),
Z=
X
Wb (y − Yt ).
t∈IT
v =dimension de Yt ,
IT = {t ∈ I /(Xt , Yt ) ∈ I }
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Principe
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Des résultats de consistance
Algorithme de Bickel et Levina (2006)
Soit (Xt )t∈Z2 un champ aléatoire réel stationnaire observé sur un rectangle I et
Yt = (Xt−j )j∈A , A ⊂ Z2 finie.
Z x
E 11Xt ≤x Yt = y =
fX /Y (u/y )du
−∞
est estimée par
1 X
11Xt ≤x Wb (y − Yt ),
Z
t∈IT
où: W noyau,
et
Wb = b −v W (·/b),
Z=
X
Wb (y − Yt ).
t∈IT
v =dimension de Yt ,
IT = {t ∈ I /(Xt , Yt ) ∈ I }
→ La loi FX /Y (dx/y ) est estimée par:
FX∗ /Y (dx/y ) =
1 X
Wb (y − Yt )δXt (dx)
Z
t∈IT
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Principe
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Des résultats de consistance
Principe du Bootstrapp
Pour générer une texture sur I ∗ = (Xt∗ )1≤t1 ,t2 ≤m1 ,m2 à partir de I = (Xt )1≤t1 ,t2 ≤k1 ,k2 ,
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Principe
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Des résultats de consistance
Principe du Bootstrapp
Pour générer une texture sur I ∗ = (Xt∗ )1≤t1 ,t2 ≤m1 ,m2 à partir de I = (Xt )1≤t1 ,t2 ≤k1 ,k2 ,
1. Pour un entier p fixé, on choisit uniformément un bloc
{Xt∗ : 1 ≤ t1 ≤ p, 1 ≤ t2 ≤ p} dans I .
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Principe
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Des résultats de consistance
Principe du Bootstrapp
Pour générer une texture sur I ∗ = (Xt∗ )1≤t1 ,t2 ≤m1 ,m2 à partir de I = (Xt )1≤t1 ,t2 ≤k1 ,k2 ,
1. Pour un entier p fixé, on choisit uniformément un bloc
{Xt∗ : 1 ≤ t1 ≤ p, 1 ≤ t2 ≤ p} dans I .
2. Supposons que Xt∗ a été généré pour {t : t1 < u1 } ∪ {t : t1 = u, t2 < u2 }. Soit
N une variable discrète telle que
P(N = s) =
∗
où Yu∗ = Xu−j
1≤j1 ,j2 ≤p
1
Wb (Yu∗ − Ys ),
Z
et Ys = (Xs−j )1≤j1 ,j2 ≤p . On tronque au bord si nécessaire.
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Principe
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Des résultats de consistance
Principe du Bootstrapp
Pour générer une texture sur I ∗ = (Xt∗ )1≤t1 ,t2 ≤m1 ,m2 à partir de I = (Xt )1≤t1 ,t2 ≤k1 ,k2 ,
1. Pour un entier p fixé, on choisit uniformément un bloc
{Xt∗ : 1 ≤ t1 ≤ p, 1 ≤ t2 ≤ p} dans I .
2. Supposons que Xt∗ a été généré pour {t : t1 < u1 } ∪ {t : t1 = u, t2 < u2 }. Soit
N une variable discrète telle que
P(N = s) =
∗
où Yu∗ = Xu−j
1≤j1 ,j2 ≤p
1
Wb (Yu∗ − Ys ),
Z
et Ys = (Xs−j )1≤j1 ,j2 ≤p . On tronque au bord si nécessaire.
3. On pose Xu∗ = XN .
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Principe
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Des résultats de consistance
Exemple avec p = 2
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Principe
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Des résultats de consistance
Hypothèse d’unilatéralité
Le champ (Xt )1≤t1 ,t2 est supposé unilatéral (ou de Pickard) :
P (Xt /XWt ) = P (Xt /XUt ),
Ut = {u : max(1, t1 − p + 1) ≤ u1 ≤ t1 , max(1, t2 − p + 1) ≤ u2 ≤ t2 , u 6= t}
le carré de côté p en haut à gauche de t,
Wt = {u : 1 ≤ u1 ≤ t1 , 1 ≤ u2 ≤ t2 , u 6= t}
tous les indices au dessus et à gauche de t.
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Des résultats de consistance
Hypothèse d’unilatéralité
Le champ (Xt )1≤t1 ,t2 est supposé unilatéral (ou de Pickard) :
P (Xt /XWt ) = P (Xt /XUt ),
Ut = {u : max(1, t1 − p + 1) ≤ u1 ≤ t1 , max(1, t2 − p + 1) ≤ u2 ≤ t2 , u 6= t}
le carré de côté p en haut à gauche de t,
Wt = {u : 1 ≤ u1 ≤ t1 , 1 ≤ u2 ≤ t2 , u 6= t}
tous les indices au dessus et à gauche de t.
→ Ces cas particuliers de champ de Markov:
1. permettent de reconstruire facilement les lois jointes à partir des lois
conditionnelles (analogie avec les chaines de Markov).
2. approximent bien les textures.
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Principe
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Des résultats de consistance
Hypothèses sur la loi
(A1) X est α−mélangeant.
Soit αX (k, c) = sup {|P(A ∩ B) − P(A)P(B)|}, avec A ∈ σ(XE ), B ∈ σ(XF ),
E , F ⊂ I , tels que d(E , F ) ≥ k, |E | + |F | ≤ c} où d = k·k∞ .
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Des résultats de consistance
Hypothèses sur la loi
(A1) X est α−mélangeant.
Soit αX (k, c) = sup {|P(A ∩ B) − P(A)P(B)|}, avec A ∈ σ(XE ), B ∈ σ(XF ),
E , F ⊂ I , tels que d(E , F ) ≥ k, |E | + |F | ≤ c} où d = k·k∞ .
On suppose (avec τ > 2),
∞
X
(k + 1)2c−1 [αX (k, c)]ε/(c+ε) < ∞,
c = 2dτ /2e, ε > 0
k=1
(A2) Xt a un support compact S
FX /Y a une densité continue fX /Y > 0 sur S 1+v .
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Simulation de textures
(A3) ∃L/∀y1 , y2 ∈ Rv , x ∈ R ∪ {∞},
Z x
Z
fX ,Y (z, y1 )dz −
−∞
x
−∞
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Principe
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Des résultats de consistance
fX ,Y (z, y2 )dz ≤ L ky1 − y2 k
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Simulation de textures
(A3) ∃L/∀y1 , y2 ∈ Rv , x ∈ R ∪ {∞},
Z x
Z
fX ,Y (z, y1 )dz −
−∞
x
−∞
Principe
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Des résultats de consistance
fX ,Y (z, y2 )dz ≤ L ky1 − y2 k
(A4) W bornée, Lipschitz, symétrique, positif partout,
Z
Z
uW (u)du = 0,
kuk W (u)du < ∞, b = O(T −δ ), T → ∞, δ > 0.
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Simulation de textures
Principe
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Des résultats de consistance
Convergence des lois conditionnelles
Theorem
(Bickel, Levina (2006)) Sous les hypothèses (A1), . . . , (A4),
sup FX∗ /Y (x/y ) − FX /Y (x/y ) →T →∞ 0
(x,y )∈S v +1
T = card{s/(Xs , Ys ) ∈ I }.
La propriété d’unilatéralité permet de montrer qu’il en est de même pour les lois
jointes.
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Extension de la méthode de Bickel et Levina
Des calculs de vitesse
Autre algorithme non causal (Paget et Longstaff (1998))
Extension aux champs non causaux
Soit X un champ markovien
non causal tel que L Xt Xt− = L Xt Xt−j , 0 < kjk ≤ p = L Xt Yt .
Principe: Simuler à l’aide de l’echantillonneur de Gibbs une réalisation d’un champ
X ∗ tel que:
P (Xt∗ ∈ dx/Yt∗ = y ) =
1 X
Wb (y − Ys ) δXs (dx).
Z
s∈IT
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Simulation de textures
Extension de la méthode de Bickel et Levina
Des calculs de vitesse
Autre algorithme non causal (Paget et Longstaff (1998))
Extension aux champs non causaux
Soit X un champ markovien
non causal tel que L Xt Xt− = L Xt Xt−j , 0 < kjk ≤ p = L Xt Yt .
Principe: Simuler à l’aide de l’echantillonneur de Gibbs une réalisation d’un champ
X ∗ tel que:
P (Xt∗ ∈ dx/Yt∗ = y ) =
1 X
Wb (y − Ys ) δXs (dx).
Z
s∈IT
Theorem
En l’absence de transition de phase,
pour toute partie {t1 , . . . , tk } ⊂ Z2 ,
sup
xt1 ,...,xtn ∈S n
|F ∗ (xt1 , . . . , xtn ) − F (xt1 , . . . , xtn )| →T →∞ 0,
p.s.
où F (xt1 , . . . , xtn ) = P (Xt1 ≤ xt1 , . . . , Xtn ≤ xtn )
et F ∗ (xt1 , . . . , xtn ) = P Xt∗1 ≤ xt1 , . . . , Xt∗n ≤ xtn .
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Extension de la méthode de Bickel et Levina
Des calculs de vitesse
Autre algorithme non causal (Paget et Longstaff (1998))
Vitesse des lois conditionnelles
Theorem
Sous les hypothèses de Bickel et Levina,
sup FX∗t /Yt (x/y ) − FXt /Yt (x/y ) →T →∞ 0 = O(T −γ )
(x,y )∈S p+1
0<γ<
τ −2
2(v +1)(τ +v )
et b = O(T −δ ), δ =
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τ −2
2(v +1)(τ +v ) .
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Des calculs de vitesse
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Vitesse des lois jointes
On suppose:
Z
X
FX /Y (x/y ) − FX /Y (x/y 0 ) dx ≤
Li |yi − yi0 |
S
i6=0
Proposition
Sous les hypothèses de Bickel et Levina et si
{t1 , . . . , tk } ⊂ Z2 ,
sup
xt1 ,...,xtn ∈S n
0<γ<
P
i
Li < 1, alors pour toute partie
|F ∗ (xt1 , . . . , xtn ) − F (xt1 , . . . , xtn )| = O(T −γ )
τ −2
2(v +1)(τ +v ) .
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Rééchantillonnage et synthèse de textures
Méthodes non causales
Simulation de textures
Extension de la méthode de Bickel et Levina
Des calculs de vitesse
Autre algorithme non causal (Paget et Longstaff (1998))
L’approche de Paget et Longstaff (1998)
Simuler un champ aléatoire dont la loi conditionnelle en un site est:
P
µ(x/y ) = P
Wb (x − Xs , y − Ys )
,
s∈IT Wb (x − Xs , y − Ys )
s∈IT
x∈P
P
où x ∈ P = {ensemble des valeurs des pixels}.
Lionel Truquet, Samos, Université Paris 1, LS-CREST
Autour d’une technique de rééchantillonnage non paramétrique pour les cha
Rééchantillonnage et synthèse de textures
Méthodes non causales
Simulation de textures
Extension de la méthode de Bickel et Levina
Des calculs de vitesse
Autre algorithme non causal (Paget et Longstaff (1998))
Utilisation de grilles multirésolution
Paget et Longstaff utilise la multirésolution pour éviter:
1. les problèmes de discontinuités dans les simulations.
2. un temps de calcul trop important surtout si la taille du voisinnage est élevé.
Lionel Truquet, Samos, Université Paris 1, LS-CREST
Autour d’une technique de rééchantillonnage non paramétrique pour les cha
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Méthodes non causales
Simulation de textures
Extension de la méthode de Bickel et Levina
Des calculs de vitesse
Autre algorithme non causal (Paget et Longstaff (1998))
On définit différentes grilles pour l’image observée et l’image à synthétiser:
S l = {s = (2l i, 2l j) : 0 ≤ i, j < M/2l },
l = 0, 1, . . .}
La multirésolution permet de capter les caractéristiques de la texture avec p petit
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Autour d’une technique de rééchantillonnage non paramétrique pour les cha
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Méthodes non causales
Simulation de textures
Extension de la méthode de Bickel et Levina
Des calculs de vitesse
Autre algorithme non causal (Paget et Longstaff (1998))
→ On simule d’abord la texture sur la grille la moins fine à l’aide la loi
conditionnelle µ.
Lionel Truquet, Samos, Université Paris 1, LS-CREST
Autour d’une technique de rééchantillonnage non paramétrique pour les cha
Rééchantillonnage et synthèse de textures
Méthodes non causales
Simulation de textures
Extension de la méthode de Bickel et Levina
Des calculs de vitesse
Autre algorithme non causal (Paget et Longstaff (1998))
→ On simule d’abord la texture sur la grille la moins fine à l’aide la loi
conditionnelle µ.
→ On réinjecte les valeurs simulées sur la grille suivante et on simule les pixels
manquants conditionnellement à ces valeurs...
Lionel Truquet, Samos, Université Paris 1, LS-CREST
Autour d’une technique de rééchantillonnage non paramétrique pour les cha
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Méthodes non causales
Simulation de textures
Extension de la méthode de Bickel et Levina
Des calculs de vitesse
Autre algorithme non causal (Paget et Longstaff (1998))
→ On simule d’abord la texture sur la grille la moins fine à l’aide la loi
conditionnelle µ.
→ On réinjecte les valeurs simulées sur la grille suivante et on simule les pixels
manquants conditionnellement à ces valeurs...
On redéfinit pour chaque grille le voisinnage associé:
l
l
l
l
Ns=(2
l i,2l j) = {r = (2 m, 2 n) ∈ S : d((i, j), (m, n)) ≤ p}
Lionel Truquet, Samos, Université Paris 1, LS-CREST
Autour d’une technique de rééchantillonnage non paramétrique pour les cha
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Méthodes non causales
Simulation de textures
Extension de la méthode de Bickel et Levina
Des calculs de vitesse
Autre algorithme non causal (Paget et Longstaff (1998))
→ On simule d’abord la texture sur la grille la moins fine à l’aide la loi
conditionnelle µ.
→ On réinjecte les valeurs simulées sur la grille suivante et on simule les pixels
manquants conditionnellement à ces valeurs...
On redéfinit pour chaque grille le voisinnage associé:
l
l
l
l
Ns=(2
l i,2l j) = {r = (2 m, 2 n) ∈ S : d((i, j), (m, n)) ≤ p}
⇒ échantillonneur de Gibbs pour chaque résolution.
Lionel Truquet, Samos, Université Paris 1, LS-CREST
Autour d’une technique de rééchantillonnage non paramétrique pour les cha
Rééchantillonnage et synthèse de textures
Méthodes non causales
Simulation de textures
Extension de la méthode de Bickel et Levina
Des calculs de vitesse
Autre algorithme non causal (Paget et Longstaff (1998))
Les points noirs ont une valeur fixée à la résolution précédente, la simulation
concerne les points blancs.
Lionel Truquet, Samos, Université Paris 1, LS-CREST
Autour d’une technique de rééchantillonnage non paramétrique pour les cha
Rééchantillonnage et synthèse de textures
Méthodes non causales
Simulation de textures
Extension de la méthode de Bickel et Levina
Des calculs de vitesse
Autre algorithme non causal (Paget et Longstaff (1998))
Introduction d’un paramètre de température
A chaque début de nouvelle résolution (sauf à la première), on introduit un indice
de confiance pour chaque pixel.
1. On affecte au site r de la résolution d’avant un indice tr = 0.
2. On affecte au site r de la résolution en cours un indice tr = 1.
Lionel Truquet, Samos, Université Paris 1, LS-CREST
Autour d’une technique de rééchantillonnage non paramétrique pour les cha
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Méthodes non causales
Simulation de textures
Extension de la méthode de Bickel et Levina
Des calculs de vitesse
Autre algorithme non causal (Paget et Longstaff (1998))
Introduction d’un paramètre de température
A chaque début de nouvelle résolution (sauf à la première), on introduit un indice
de confiance pour chaque pixel.
1. On affecte au site r de la résolution d’avant un indice tr = 0.
2. On affecte au site r de la résolution en cours un indice tr = 1.
Dans la simulation du site r , on remplacera la différence
y − Ys par ((1 − tr −j )(yr −j − Ys−j ))j
(où y = (yr −j )j et Ys = (Ys−j )j ).
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Simulation de textures
Extension de la méthode de Bickel et Levina
Des calculs de vitesse
Autre algorithme non causal (Paget et Longstaff (1998))
Introduction d’un paramètre de température
A chaque début de nouvelle résolution (sauf à la première), on introduit un indice
de confiance pour chaque pixel.
1. On affecte au site r de la résolution d’avant un indice tr = 0.
2. On affecte au site r de la résolution en cours un indice tr = 1.
Dans la simulation du site r , on remplacera la différence
y − Ys par ((1 − tr −j )(yr −j − Ys−j ))j
(où y = (yr −j )j et Ys = (Ys−j )j ).
ξ+P
j∈Nr tr −j
Après chaque synthèse, on remplace tr par max 0,
|Nr |
où ξ < 0 est fixée par l’utilisateur (Nr = {j/0 < kjk ≤ p}).
Lorsque ts = 0 ∀s, on passe à la résolution suivante.
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Méthodes non causales
Simulation de textures
Simulations: paramètres
taille du voisinnage: p = 3 ou 4 avec la multirésolution.
largeur de fenêtre: b = 0.01 ∗ (taille voisinnage)1/2 .
bordure: on tronque en utilisant la partie visible du voisinnage Markovien.
Lionel Truquet, Samos, Université Paris 1, LS-CREST
Autour d’une technique de rééchantillonnage non paramétrique pour les cha
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Méthodes non causales
Simulation de textures
Original
Bickel et Levina
Multirésolution ICM
Lionel Truquet, Samos, Université Paris 1, LS-CREST
Mutirésolution
Autour d’une technique de rééchantillonnage non paramétrique pour les cha
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Méthodes non causales
Simulation de textures
Synthese sur 4 niveaux, p = 3, b = 0.01, ξ = −1
Lionel Truquet, Samos, Université Paris 1, LS-CREST
Autour d’une technique de rééchantillonnage non paramétrique pour les cha
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Méthodes non causales
Simulation de textures
Original
ICM Multirésolution
Lionel Truquet, Samos, Université Paris 1, LS-CREST
Wei et Levoy (1999)
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Original
ICM Multirésolution
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Wei et Levoy Multirésolution
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Méthodes non causales
Simulation de textures
¨
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Lionel Truquet, Samos, Université Paris 1, LS-CREST
Autour d’une technique de rééchantillonnage non paramétrique pour les cha