Leçon 150 : Mouvement à accélération centrale Pré requis : Cinématique du point en coordonnées polaires ; principes de la dynamique du point. Propriétés des coniques. Dans toute la leçon, M est un point matériel de masse m. Tous les référentiels sont supposés Galiléens. I Exemples d’énergies potentielles newtoniennes effectives : ● Si E = 0 : La trajectoire est une parabole rmin = ● Si E < 0 : état lié La trajectoire est une ellipse Les forces centrales et la loi des aires Def Une force est dite centrale si elle est portée par avec O le centre du repère. Exemples : ● Une bille de masse m qui a un mouvement plan sans frottement est attachée à une ficelle sans masse qui coulisse dans un trou O au centre du plan. ● L’oscillateur spatial isotrope. ● Force Newtoniennes d’interaction entre deux particules : Interaction gravitationnelle : = – Interaction électrostatique : = Conservation du moment cinétique - loi des aires Dans un mouvement de force centrale : . est plan. Il va porter et a) Le mouvement b) La quantité r² est une constante appelée constante des aires. Le b) équivaut à dire que l’aire balayée par par unité de temps est constante. II Les mouvements à conservatrice newtonienne : force centrale Conservation de l’énergie mécanique qui peut s’écrire : . . mC² E = mr² + 2r² +Ep(r) avec C = r² = cste p (apogée) ; e+1 p rmax = (périgée) 1-e p a= ; b²= pa 1 - e² ● Si E = - k / 2mC², la trajectoire est circulaire. rmin = Interaction newtonienne répulsive Interaction newtonienne attractive Etude du mouvement pour les interactions newtoniennes Propriété : La trajectoire de la particule est une conique de foyer O dont l’équation est : R = – ε avec p = , ε = 1 et e = , ( = 0 pour t = 0) ● Si ε =1 : interaction répulsive : La trajectoire est une branche d’hyperbole (la plus éloignée de O) rmin = p p ;a= e-1 e² - 1 ; ● Sipa ε = – 1 : interaction b²= attractive : ● Si E > 0 : état libre ; La trajectoire est une branche d’hyperbole (la plus proche de O) rmin = Epeff(r) p 2 p e+1 III Applications ● Les trois lois de Kepler : 1) Les planètes décrivent des ellipses autour du soleil 2) Les trajectoires suivies vérifient la loi des aires 3) Le cube du demi grand axe est proportionnel au carré de la période de révolution. ● Les vitesses cosmiques : ce sont des vitesses de lancement au niveau de la terre : Vitesse d’une trajectoire circulaire au niveau de la terre : v1 = G Mt r ≈ 28 000km/h Vitesse de libération de l’attraction terrestre : v2 = 2 G Mt r ≈ 39 600km/h ● Mise en orbite géostationnaire d’un satellite en utilisant une orbite de transfert. ● Les voyages gravitationnelle. interplanétaires et la fronde Source : Pascal Brasselet Mécanique PCSI/MPSI-puf