FONCTION CARRÉ ET FONCTION INVERSE I. FONCTION CARRÉ 1) Généralités • Soit f la fonction carré définie …… • La représentation graphique cf de la fonction carré est une parabole de sommet l’origine du repère. • Pour tout réel x on a f (– x) = f (x) car …… On dit que la fonction carré est paire. (- x) ² = x ² cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées: • y 9 Cf variations : La fonction carré est …… On retrouve la règle de rangement des carrés : 4 – x x • + 1 2 -x extrémum : f admet un …… 0 1 x x Exercice 1 Compléter le plus précisément possible, à l’aide de la courbe ou du tableau de variation, dans chacun des cas suivants : si x ∈ [ 2 ; 2,5 ] alors x ² ∈ …… ; si x ∈ [ – 3 ; – 1,5 [ alors x ² ∈ …… si x ∈ [ – 2 ; 1,5 [ alors x ² ∈ …… ; si x ∈ [ – 1 ; 4 [ alors x ² ∈ …… Justifier les deux premières réponses à l’aide du sens de variation de la fonction carré. On admet que les fonctions x ⟼ a x 2 , où a est un réel non nul, sont elles aussi représentées par une parabole de sommet O. y y Elles sont tournées vers le haut lorsque a > 0 et vers le bas lorsque a < 0 0 0 x x 2) Équations et inéquations du second degré Définition 1 On appelle polynôme du second degré une expression qui peut s’écrire sous l’une de ces trois formes : forme réduite : a x ² + b x + c forme factorisée : a ( x – x1 ) ( x – x2 ) Un élève de seconde doit savoir passer : • de la forme factorisée à la forme réduite • de la forme canonique à la forme réduite • de la forme canonique à la forme factorisée forme canonique : a ( x – α ) ² + β Exercice 2 Soit f (x) = – 2 ( x – 5 ) ( x + 3 ) , g (x) = – 3 ( x – 2 ) ² + 3 et h (x) = 2 x ² – 4 x + 1. 1) Déterminer la forme réduite de f (x) et de g (x) et la forme factorisée de g (x). 2) Vérifier que 2 ( x – 1 ) ² + 1 est la forme canonique de h (x). 3) Résoudre les équations f (x) = 0, g (x) = 0 et h (x) = 0. 4) Étudier le signe de f (x) , de g (x) et de h (x). 5) Résoudre les équations f (x) = 30 ; g (x) = 3 ; g (x) = – 9 ; h (x) = 1 et h (x) = – 1. 1/3 (1re expression de f(x) ) Exercice 3 Soit f (x) = (2 x + 1) (2 x + 5) + 3 (2e expression de f(x) ) 1) Déterminer la forme réduite de f (x). 2) Vérifier que 4 ( x + 1,5) 2 – 1 est la forme canonique de f (x). En déduire la forme factorisée de f (x). (4e expression de f(x) ) (3e expression de f(x) ) 3) En choisissant l’expression appropriée de f (x) parmi les 4 expressions précédentes, résoudre les équations suivantes : 1 f (x) = 0 2 f (x) = 3 3 f (x) = 8 4 f (x) = – 1 5 f (x) = 15. Équations et inéquations x ² = k ; x ² £ k et x ² ≥ k , où x est l’inconnue et k un réel donné. Pour résoudre graphiquement l’équation x ² = k (inconnue x) on lit …… Pour résoudre graphiquement l’inéquation x ² £ k on lit …… k>0 k=0 y Cf k k<0 y Cf y Cf 1 1 1 0 0 Ensemble des solutions de l’équation x²=k Ensemble des solutions de l’inéquation x²£k Ensemble des solutions de l’inéquation x²≥k 1 0 x 1 x k S = …… x ² = 0 équivaut à …… S = …… x ² £ k équivaut à …… x S = …… S = …… x ² = k équivaut à …… 1 S = …… S = …… x ² £ 0 équivaut à …… S = …… S = …… S = …… x ² ≥ k équivaut à …… Résolution algébrique : Lorsque k > 0 on peut écrire k = ( …… ) ² . • L’équation x ² = k est successivement équivalente à : x ² – …… ² = 0 ; …… • L’inéquation x ² £ k est successivement équivalente à : x ² – k ² £ 0 ; …… Exercice 4 Résoudre dans les (in)équations suivantes en utilisant les résultats du tableau ci-dessus. 1 2x2–5=1 2 ( 3 x – 1) 2 = 5 3 4 – 5 ( x – 2) 2 = 7 4 2 ( x – 3) 2 – 3 = 0 5 16 – 5 ( 2 x + 1) 2 = 0 2 x 2 – 5 ≥ 1 ( 3 x – 1) 2 < 5 4 – 5 ( x – 2) 2 < 7 2 ( x – 3) 2 – 3 > 0 16 – 5 ( 2 x + 1) 2 > 0 2/3 II. FONCTION INVERSE • Soit g la fonction inverse définie …… • La représentation graphique cg de la fonction inverse est une hyperbole de centre l’origine du repère. y Cg Les axes de coordonnées sont les asymptotes de l’hyperbole. 1 Au voisinage de – et de + (« très loin » sur la gauche et sur la droite du graphique) l’hyperbole est pratiquement confondue avec l’axe abscisses sans jamais le couper car 0 1 x …… Au voisinage de 0 l’hyperbole est pratiquement confondue avec l’axe abscisses sans jamais le couper car …… • Pour tout réel x on a g (– x) = – g (x) car …… On dit que la fonction carré est impaire. cg est symétrique par rapport à l’origine du repère. • variations : La fonction inverse est …… ∗ On ne peut pas dire qu’elle est décroissante sur car …… x – + On retrouve la règle de rangement des inverses : 1 x On admet que les fonctions x ⟼ a x 2 , où a est un réel non nul, sont elles aussi représentées par une hyperbole de centre O. y y et Lorsque a > 0 elles ont pour allure 0 lorsque a < 0 x 0 x Exercice 5 Compléter le plus précisément possible, à l’aide de la courbe ou du tableau de variation, le tableau ci-dessous : x∈ [3;5] [–4;–3[ ]–5;2] ]–;1] [ 1,5 ; + [ ] – ; 0,2 [ [–2;+[ ] – ; 2,5 ] 1 ∈ x x∈ 1 ∈ x Justifier les deux premières réponses à l’aide du sens de variation de la fonction inverse. Justifier algébriquement les deux dernières réponses. 3/3 FONCTION CARRÉ ET FONCTION INVERSE I. FONCTION CARRÉ 1) Généralités y 9 Cf • Soit f la fonction carré définie sur par f (x) = x • La représentation graphique cf de la fonction carré est une parabole de sommet l’origine du repère. • Pour tout réel x on a f (– x) = f (x) car ( – x 2 ) = x 2 On dit que la fonction carré est paire. 2 -x²=x² cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées: • variations : La fonction carré est décroissante sur ] – ; 0] et croissante sur [ 0 ; + [ 4 On retrouve la règle de rangement des carrés : Des nombres négatifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs carrés. Des nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. x x • 2 – + + + 1 0 -x extrémum : f admet un minimum en 0 valant 0. (un carré est toujours positif 0 1 x x Exercice 1 Compléter le plus précisément possible, à l’aide de la courbe ou du tableau de variation, dans chacun des cas suivants : si x ∈ [ 2 ; 2,5 ] alors x ² ∈ [ 4 ; 6,25 ] si x ∈ [ – 2 ; 1,5 [ alors x ² ∈ [ 0 ; 4 ] ; si x ∈ [ – 3 ; – 1,5 [ alors x ² ∈ ] 2,25 ; 9 ] ; si x ∈ [ – 1 ; 4 [ alors x ² ∈ [ 0 ; 16 [ Justifier les deux premières réponses à l’aide du sens de variation de la fonction carré. On admet que les fonctions x ⟼ a x 2 , où a est un réel non nul, sont elles aussi représentées par une parabole de sommet O. y y et vers le bas lorsque a < 0 Elles sont tournées vers le haut lorsque a > 0 0 0 x x 2) Équations et inéquations du second degré Définition 1 On appelle polynôme du second degré une expression qui peut s’écrire sous l’une de ces trois formes : forme réduite : a x ² + b x + c forme factorisée : a ( x – x1 ) ( x – x2 ) Un élève de seconde doit savoir passer : • de la forme factorisée à la forme réduite • de la forme canonique à la forme réduite • de la forme canonique à la forme factorisée forme canonique : a ( x – α ) ² + β Exercice 2 Soit f (x) = – 2 ( x – 5 ) ( x + 3 ) , g (x) = – 3 ( x – 2 ) ² + 3 et h (x) = 2 x ² – 4 x + 1. 1) Déterminer la forme réduite de f (x) et de g (x) et la forme factorisée de g (x). 2) Vérifier que 2 ( x – 1 ) ² + 1 est la forme canonique de h (x). 3) Résoudre les équations f (x) = 0, g (x) = 0 et h (x) = 0. 4) Étudier le signe de f (x) , de g (x) et de h (x). 5) Résoudre les équations f (x) = 30 ; g (x) = 3 ; g (x) = – 9 ; h (x) = 1 et h (x) = – 1. 1/3 (1re expression de f(x) ) Exercice 3 Soit f (x) = (2 x + 1) (2 x + 5) + 3 (2e expression de f(x) ) 1) Déterminer la forme réduite de f (x). 2) Vérifier que 4 ( x + 1,5) 2 – 1 est la forme canonique de f (x). En déduire la forme factorisée de f (x). (4e expression de f(x) ) (3e expression de f(x) ) 3) En choisissant l’expression appropriée de f (x) parmi les 4 expressions précédentes, résoudre les équations suivantes : 1 f (x) = 0 2 f (x) = 3 3 f (x) = 8 4 f (x) = – 1 5 f (x) = 15. Équations et inéquations x ² = k ; x ² £ k et x ² ≥ k , où x est l’inconnue et k un réel donné. Pour résoudre graphiquement l’équation x ² = k (inconnue x) on lit l’abscisse des points d’intersection de la parabole cf d’équation y = x ² avec la droite d’équation y =k . Pour résoudre graphiquement l’inéquation x ² £ k on lit l’abscisse des points de la parabole cf d’équation y = x ² dont l’ordonnée est inférieure ou égale à k . k>0 k=0 y Cf k k<0 y Cf y Cf 1 1 1 0 0 Ensemble des solutions de l’équation x²=k Ensemble des solutions de l’inéquation x²£k Ensemble des solutions de l’inéquation x²≥k 1 0 x [– k; k x S= ∅ S= {0} x ² £ 0 équivaut à x = 0 k soit à – k £ x et x £ x x ² = 0 équivaut à x = 0 ] x ² £ k équivaut à – k £ x £ 1 k S= ∅ S= {0} S= {– k; k} x ² = k équivaut à x = – k ou x = k S= 1 k x ² < 0 est impossible S= S= ]–;– k]∪[ k;+[ S= x ² ≥ 0 est toujours vrai x ² ≥ k équivaut à x £ – k ou x ≥ k x ² > 0 équivaut à x ² ≠ 0 Résolution algébrique : Lorsque k > 0 on peut écrire k = ( k ) ² . • L’équation x ² = k est successivement équivalente à : x ² – k ² = 0 ; ( x – k ) ( x + k ) = 0 ; • L’inéquation x ² £ k est successivement équivalente à : x ² – k ² £ 0 ; ( x – k ) ( x + k ) £ 0 x – k = 0 ou x + k = 0 ; x = k ou x = – k x – – k x – k – – x+ k – 0 + (x– k)(x+ k) + 0 – k 0 + + + 0 + Exercice 4 Résoudre dans les (in)équations suivantes en utilisant les résultats du tableau ci-dessus. 1 2x2–5=1 2 ( 3 x – 1) 2 = 5 3 4 – 5 ( x – 2) 2 = 7 4 2 ( x – 3) 2 – 3 = 0 5 16 – 5 ( 2 x + 1) 2 = 0 2 x 2 – 5 ≥ 1 ( 3 x – 1) 2 < 5 4 – 5 ( x – 2) 2 < 7 2 ( x – 3) 2 – 3 > 0 16 – 5 ( 2 x + 1) 2 > 0 2/3 II. FONCTION INVERSE • • y Soit g la fonction inverse définie * par g (x) = 1 x La représentation graphique cg de la fonction inverse est une hyperbole de centre l’origine du repère. Cg Les axes de coordonnées sont les asymptotes de l’hyperbole. 1 Au voisinage de – et de + (« très loin » sur la gauche et sur la droite du graphique) l’hyperbole est pratiquement confondue avec l’axe abscisses sans jamais le couper car 0 1 x 0 n’a pas d’inverse donc pas d’image par g. Au voisinage de 0 l’hyperbole est pratiquement confondue avec l’axe abscisses sans jamais le couper car 1 ne ‘s’annule x jamais. • 1 =–1 –x x Pour tout réel x on a g (– x) = – g (x) car On dit que la fonction carré est impaire. cg est symétrique par rapport à l’origine du repère. • variations : La fonction inverse est décroissante sur les intervalles ] – ; 0 [ et ] 0 ; [. ∗ ∗ On ne peut pas dire qu’elle est décroissante sur car = ] – ; 0 [ ∪ ] 0 ; [ n’est pas un intervalle De plus on a – 2 < 2 mais 1 > 1 est faux (l’ordre n’est pas inversé) –2 2 x – 1 x – 0 + 0 On retrouve la règle de rangement des inverses : Des nombres non nuls et de même signe sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses. + 0+ – On admet que les fonctions x ⟼ a x 2 , où a est un réel non nul, sont elles aussi représentées par une hyperbole de centre O. y y et Lorsque a > 0 elles ont pour allure 0 lorsque a < 0 x 0 x Exercice 5 Compléter le plus précisément possible, à l’aide de la courbe ou du tableau de variation, le tableau ci-dessous : x∈ [3;5] [–4;–3[ ]–5;2] ]–;1] 1 ∈ x [ 0,2 ; 1/3 ] ] – 1/3 ; – 0,25 ] ] – ; – 0,2 [ ∪ [ 0,5 ; + [ ]–;–0[∪[1;+[ x∈ ] 0 ; 2/3 ] [–5;0[ ] – ; – 0,5 [ ∪ [ 0 ; + [ ] – ; – 0 [ ∪ [ 0,4 ; + [ 1 ∈ x [ 1,5 ; + [ ] – ; 0,2 [ [–2;+[ ] – ; 2,5 ] Justifier les deux premières réponses à l’aide du sens de variation de la fonction inverse. Justifier algébriquement les deux dernières réponses. 3/3